历届全国大学生数学竞赛真题.pdf

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1、高数竞赛预赛试题（非数学类）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）1计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(_，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf_.3曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是_.4设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy_.二、（5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15 分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axx

2、fx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0 x处的连续性.四、（15 分）已知平面区域0,0|),(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10 分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10 分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10 x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15

3、 分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10 分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25 分，每小题5 分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中|1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIex dx n。（4）设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、（15 分）设函数()f

4、x在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0 x，使得0()0f x。三、（15 分）设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。四、（15 分）设10,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。五、（15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为 1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关

5、于方向(,)的最大值和最小值。六、(15 分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxx dyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxx dyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxx dyxy。2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一 计算下列各题（本题共3 小题，每小题各5 分，共 15 分）（1）.求11 cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim.12nnnnn；（3）已知2ln 1arctanttxeyte，求22d yd

6、x。二（本题 10 分）求方程2410 xydxxydy的通解。三（本 题15分）设 函 数f(x)在x=0的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数，且0,0,0fff均 不 为0，证 明：存 在 唯 一 一 组 实 数123,k kk，使 得12320230lim0hk fhk fhk fhfh。四（本 题17分）设2221222:1xyzabc，其 中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五（本题 16 分）已知S 是空间曲线22310 xyz绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是 S 在,P x y z点处的切平面，,x y z是原点到切平面的距离，,表示 S的正法向的方向余弦。计算：（1）,SzdSx y z；（2）3Szxyz dS六（本题 12 分）设 f(x)是在,内的可微函数，且fxmf x、，其中01m，任 取 实 数0a，定 义1ln,1,2,.,nnafan证 明：11nnnaa绝对收敛。绝对收敛。七（本题 15 分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足021ff，201,1fxfx dx、？请说明理由。