竞赛→高中竞赛→竞赛真题→[全国通用][竞赛相关][试题试卷]2008年全国高中数学联合竞赛一试试题及答案.pdf

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1、蓝天家教网http:/ 伴您快乐成长2008 年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）1函数254()2xxf xx在(,2)上的最小值是（C）A0 B1 C2 D3 解 当2x时，20 x，因此21(44)1()(2)22xxf xxxx12(2)2xx2，当且仅当122xx时上式取等号而此方程有解1(,2)x，因此()f x在(,2)上的最小值为22设 2,4)A，240Bx xax，若BA，则实数a的取值范围为（D）A 1,2)B 1,2C0,3D0,3)解 因240 xax有两个实根21424aax，22424aax，故BA等价于12x且24x，即2422

2、4aa且24424aa，解之得03a3 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满 6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为（B）A.24181B.26681C.27481D.670243解法一 依题意知，的所有可能值为2，4，6 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有5(2)9P，452 0(4)()()998 1P，2

3、41 6(6)()98 1P，故520162662469818181E解法二 依题意知，的所有可能值为2，4，6.令kA表示甲在第k局比赛中获胜，则kA表示乙在第k局比赛中获胜由独立性与互不相容性得12125(2)()()9PP A AP A A，1234123412341234(4)()()()()PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A332112202()()()()333381，1234123412341234(6)()()()()PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A2221164()()3381，故5201626

4、62469818181E4若 三 个 棱 长 均 为 整 数（单 位：cm）的正 方体的表面积之和为564 cm2，则这 三个正方体的体积之和为（A）A.764 cm3或 586 cm3B.764 cm3C.586 cm3或 564 cm3D.586 cm3 解 设 这 三 个 正 方 体 的 棱 长 分 别 为,a b c，则 有22265 6 4abc，22294abc，不 妨 设110abc，从而2222394cabc，231c故610cc只能取 9，8，7，6若9c，则22294913ab，易知2a，3b，得一组解(,)(2,3,9)a b c若8c，则22946430ab，5b但22

5、30b，4b，从而4b或 5若5b，则25a无蓝天家教网http:/ 伴您快乐成长解，若4b，则214a无解此时无解若7c，则22944945ab，有唯一解3a，6b若6c，则22943658ab，此时222258bab，229b 故6b，但6bc，故6b，此时2583622a无解综上，共有两组解2,3,9abc或3,6,7.abc体积为3331239764Vcm3或3332367586Vcm35方程组0,0,0 xyzxyzzxyyzxzy的有理数解(,)x y z的个数为（B）A.1 B.2 C.3 D.4 解 若0z，则00.xyxyy，解得00 xy，或11.xy，若0z，则由0 xy

6、zz得1xy由0 xyz得zxy将代入0 xyyzxzy得220 xyxyy由得1xy，代入 化简得3(1)(1)0yyy.易知310yy无有理数根，故1y，由得1x，由得0z，与0z矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0 xyz或1,1,0.xyz6设ABC的内角A B C,所对的边,a b c成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是（C）A.(0,)B.51(0,)2C.5151(,)22D.51(,)2解 设,a b c的公比为q，则2,baq caq，而sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACA

7、CBCBBCBCs i n()s i n()s i ns i n()s i n()s i nACBBbqBCAAa因此，只需求q的取值范围因,a b c成等比数列，最大边只能是a或c，因此,a b c要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca即有不等式组22,aaqaqaqaqa即2210,10.qqqq解得1551,225151.22qqq或从而515122q，因此所求的取值范围是5151(,)22蓝天家教网http:/ 伴您快乐成长答 12 图 1 二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）7 设()f xaxb，其中,a b为实数，1()()fxf x，1()()nnfxffx，1,

8、2,3,n，若7()1 2 83 8 1f xx，则ab5.解 由题意知12()(1)nnnnfxa xaaab11nnaa xba，由7()128381fxx得7128a，713811aba，因此2a，3b，5ab8设()cos22(1 cos)f xxax的最小值为12，则a23解 2()2cos122 cosf xxaax2212(cos)2122axaa，(1)2a时，()f x当cos1x时取最小值14a；(2)2a时，()f x当cos1x时取最小值1；(3)22a时，()f x当cos2ax时取最小值21212aa又2a或2a时，()f x的最小值不能为12，故2112122aa

9、，解得23a，23a(舍去)9将 24 个志愿者名额分配给3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有222种解法一 用 4 条棍子间的空隙代表3 个学校，而用表示名额如|表示第一、二、三个学校分别有4，18，2 个名额若把每个“”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“”，故不同的分配方法相当于24226个位置（两端不在内）被2 个“”占领的一种“占位法”“每校至少有一个名额的分法”相当于在 24个“”之间的 23个空隙中选出2 个空隙插入“”，故有223C253种又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31 种综上知，满足条件

10、的分配方法共有25331222 种解法二 设分配给 3 个学校的名额数分别为123,x xx，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324xxx的正整数解的个数，即方程12321xxx的非负整数解的个数，它等于3 个不同元素中取21 个元素的可重组合：2121232323HCC253又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31 种综上知，满足条件的分配方法共有25331222 种10设数列na的前n项和nS满足：1(1)nnnSan n，1,2,n，则通项na=112(1)nn n解 1111(1)(2)(1)nnnnnnnaSSaannn n，即2nn

11、annnnnna)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2nnannn，由此得2)1(1)2)(1(1(1nnannann令1(1)nnban n，111122ba(10a)，蓝天家教网http:/ 伴您快乐成长答 12 图 2 有112nnbb，故12nnb，所以)1(121nnann11设()f x是定义在R上的函数，若(0)2008f，且对任意xR，满足(2)()3 2xf xf x，(6)()63 2xf xf x，则)2008(f=200822007解法一 由题设条件知(2)()(4)(2)(6)(4)(6)()f xf xf xf xf xf xf xf x243 23

12、 263 23 2xxxx，因此有(2)()3 2xf xf x，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)ffffffff2006200423(2221)(0)f1003 1413(0)4 1f200822007解法二 令()()2xg xf x，则2(2)()(2)()223 23 20 xxxxg xg xf xf x，6(6)()(6)()2263 263 20 xxxxg xg xf xf x，即(2)(),(6)()g xg xg xg x，故()(6)(4)(2)()g xg xg xg xg x，得()g x是周期为 2 的周期函数，所以2

13、00820082008(2008)(2008)2(0)222007fgg12一个半径为1 的小球在一个内壁棱长为4 6的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是72 3解 如答 12 图 1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面111A B C/平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体111PA B C的中心，111POAB C面，垂足D为111A B C的中心因11 111113P A B CA B CVSPD1 114OA B CV111143A B CSOD，故44PDODr，从而43POPDODrrr记此时小球与面PAB的

14、切点为1P，连接1OP，则222211(3)22PPPOOPrrr考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF，如答 12 图 2记正四面体的棱长为a，过1P作1PMPA于M因16MPP，有113cos2 262PMPPMPPrr，故小三角形的边长1226P EP AP Mar小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12 图 2 中阴影部分）1PABPEFSS223(2 6)4aar23 26 3arr又1r，4 6a，所以124 36 318 3PABP EFSS由对称性，且正四面体共4 个面，所以小球不能接

15、触到的容器内壁的面 积 共 为723蓝天家教网http:/ 伴您快乐成长答 13 图三、解答题（本题满分60 分，每小题20 分）13已知函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx)0(k有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：2c o s1s i ns i n 34证()f x的图象与直线ykx)0(k的三个交点如答13 图所示，且在3(,)2内相切，其切点为(,sin)A，3(,)25 分由于()cosfxx，3(,)2x，所以sincos，即tan10 分因此coscossinsin32sin 2cos14sincos15 分22cossin4sincos21tan4tan214

16、20 分14解不等式121086422log(3531)1log(1)xxxxx解法一 由44221log(1)log(22)xx，且2log y在(0,)上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxxxx即1210864353210 xxxxx5 分分组分解12108xxx1086222xxx864444xxx642xxx4210 xx，864242(241)(1)0 xxxxxx，10 分所以4210 xx，221515()()022xx15 分所以2152x，即152x或152x故原不等式解集为5151(,)(,)2220 分解法二 由44221log(1)log(22)x

17、x，且2log y在(0,)上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxxxx5 分即6422232262133122(1)2(1)xxxxxxxx，蓝天家教网http:/ 伴您快乐成长题 15 图)1(2)1()1(2)1(232232xxxx，10 分令3()2g ttt，则不等式为221()(1)gg xx，显然3()2g ttt在R上为增函数，由此上面不等式等价于2211xx，15 分即2 22()10 xx，解得2512x(2512x舍去)，故原不等式解集为5151(,)(,)2220 分15如题 15 图，P是抛物线22yx上的动点，点B C,在y轴上，圆22(1)1

18、xy内切于PBC，求PBC面积的最小值解 设00(,),(0,),(0,)P xyBb Cc，不妨设bc直线PB的方程:00ybybxx，化简得000()0yb xx yx b又圆心(1,0)到PB的距离为 1，0022001()ybx bybx，5 分故22222000000()()2()ybxybx b ybx b，易知02x，上式化简得2000(2)20 xby bx，同理有2000(2)2xcyc10 分所以0022ybcx，002xbcx，则22200020448()(2)xyxbcx因00(,)P xy是抛物线上的点，有2002yx，则220204()(2)xbcx，0022xbcx15 分所以00000014()(2)4222PBCxSbcxxxxx2448当20(2)4x时，上式取等号，此时004,2 2xy因此PBCS的最小值为820 分