第23届全国部分地区大学生物理竞赛试题.pdf

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1、考场姓名准考证号所在学校*密*封*线*考生类别第 23 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷北京物理学会编印 2006.12.10 北京物理学会对本试卷享有版权，未经允许，不得翻印出版或发生商业行为，违者必究。一 二 题号 1 12 13 14 15 16 分数 阅卷人 二 题号 17 18 19 总分 分数 阅卷人 答题说明：前16 题是必做题，满分是100 分；少学时组只做必做题；非物理B组限做 17题，满分110 分；非物理A组限做 17、18 题，满分120 分；物理组限做17、19 题，满分120 分。请同学们自觉填上与准考证上一致的考生类别，若两者不符，按废卷处理，请各组考生按上述要求

2、做题，多做者不加分，少做者按规定扣分。一.填空题（必做，共12 题，每题2 空，每空2 分，共 48 分）1.在每边长为l 的正方形光滑台球桌面ABCD 上，有两个静 止的小球P和 Q，其中 P到 AB 边和 AD边的距离同为l/4，Q 到 CD边和 AD边的距离也同为l/4，如图所示。令P 对 准 BC边的 S点以速度v 运动，相继与BC边及 CD边弹性 碰撞后，恰好能打中 Q。则 S点与 C点距离为 的，P 从开始运动直到与Q相碰，其间经过的时间 为 。2.及两球中心间距都缩小为原值的十分之一，但质量不变。那么，设想地球、月球半径以地面处原周期为1 秒的小角度单摆，现周期为 秒；将月球绕地

3、球运动的原周期仍然记为月，月球绕地球运动的现周期便为 月。半径为 R的孤立导体球，其电容为 3.。两个半径同为R的导体球，球心间距远大于 R时形成的导体对电容器，其电容可近似为 。C D A Bl/4P Q S l/41如图所示，长l、质量 M 的匀质重梯上端 A靠在光4.墙B 地面600胖男子滑的竖直墙上，下端 B落在水平地面上，梯子与地面的夹角为600。一个质量也为 M 的胖男子从B端缓慢爬梯，到达梯子的中点时，梯子尚未滑动，稍过中点，梯子即会滑动，据此可知梯子与地面间的摩擦因数 =。令质量为2M/3 的瘦男子替换胖男子从B端缓慢爬梯，为使梯子不会滑动，他可到达的最高位置与B端相距 。在水

4、平地面上的一个5.桶内盛有高为 h1+h2的水，桶的侧面有一小孔，孔与水面相距h1，水从小孔流出时的速度为v1=，对应的水平射程为S1，如图所示。如果小孔的位置改取在水面下方h2处，对应的水平射程记为S2，则 S2-S1=。质量、半径相同的匀质圆环A、匀质6.圆盘 B 和匀质球体C，开始时旋转角速度同为零，在水平地面上从同一“起跑线”以相同的水平初速度朝同一方向运动。若A、B、C 与地面间的摩擦因数相同，那么，A、B、C中最先达到匀速纯滚动状态的是 ，最终动能损失量最大的是 。某气体的状态方程可表述为pV=A h1h2v2S1等温等压等体7.f(T)，该气体所经历的循环过程如图所示。气体经bc

5、过程对外作功量为 W=p0V0，经过一个循环过程吸收的热量 Q=p0V0。比热同为常量 c，质量同为 m的8.6 个球体，其中A球的温度为 T0，其余 5 个球的温度同为2T可使 A 球的温度升高。假设接触过程与外界绝热，则 A 球可达到的最高温度为T0。通过球与球相互接触中发生的热传导，0，对应的 A球熵增量为mc。a b 2V0V0V O 00p 2ppc 2*密*封*线*9.每边长为 l的正方形 ABCD 区域外无磁场，区域内3有图示方向的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化率为常量 k。区域内有一个腰长为l/2 的等腰直角三角形导线框架ABC，直角边 AB与AB边平行，两者相距 l/4，直

6、角边 BC与BC平行，两者相距 l/4。已知框架 ABC总电阻为 R，则感应电流强度 I=。若将导线 AB和BC取走，留下导线 AC在原来位置，此时导线 AC中的感应电动势 =。某颗恒星（处理成一个点）S 外围半径R 处10.为尘埃组成的球壳所包围，该星所发射的光首先被尘埃球壳所吸收，然后由尘埃发射光。当该恒星突然经历一次新星爆炸发出很强的光脉冲后，在远处地球上的观察者将先看到由图中A 处辐射的光，然后才看到由P处辐射的光，总的效果是一个以增大的光环。将真空光速记为c，光环从出现到半径达最大，其间历时A 为中心、半径r 不断，过程中光环半径r 随时间 t 增大的速率dtdr与 r 之间的函数关

7、系为dtdr=。用主折射率为 n、n 的负晶体制成两块波片，当波长为 的单色偏振光正入射经过其中11.oe线的一块二分之一波片后，出射光为（填：部分偏振光、线偏振光或圆偏振光）。接着，又正入射经过第二块波片，出射光恰好为圆偏振光，该波片的厚度至少为。运动过程中 AB12.如图所示，各边静长为L的正方形面板 ABCD，在惯性系 S的xy坐标面上以匀速度v沿x轴运动。边和 BC边各点均朝 x轴连续发光，在S系中各点发光方向均与 y轴平行。这些光在 x轴上照亮出一条随着面板运动的轨 迹 线 段，它 的 长 度 l=L。若改取 AB 边静长为 L，BC边静长仍为 L的长方形面板，当v=0.6c时，x轴

8、上运动的轨迹线段长度恰好等 于L，那么必 有L=。计算题（必做，共4题，每题二.基本l/4 l/4 ABD考场姓名准考证号所在学校CAB?C?S R P A r 到地球A B C D v x O S 系y 13 分，共 52 分）13.（必做）如图所示，水平轻绳m1m2a1a1a2水平桌边跨过固定在质量为m1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为 m2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角 始终不变，试求 、a1和a2。4*密*封*线*14.(必做图示的密闭容器内有一空腔，加热容器会使腔)在考场姓名准考证号所在学校壁产

9、生热辐射，在空腔内形成包含各种频率的光子气。而后，腔壁会继续向空腔输运各种频率的光子，光子气中各种频率的光子也会输运到腔壁，在给定温度下达到动态平衡。平衡时，可等效地将腔壁处理成既不产生新的热辐射光子，也不吸收腔内已有的光子，这相当于假设腔壁对光子气中的光子是全反射的，于是光子气可类比成理想气体。已知腔内光子气的能量密度 u 与温度 T 的 4 次方正比，试求光子气压强p 与温度 T 的关系。空腔515.（做）5 块相同的导体大平板相互间隔地试求：一块平板左侧面电量和第5 块平和（用已知量表示）。必自左至右平行放置，各自带电量分别为1Q、2Q、3Q、4Q、5Q，如图所示，静电平衡后，（1）第Q

10、1Q2Q4 Q5Q3左1Q板右侧面电量右5Q；（2）试计算QQ左2左36考场姓名准考证号所在学校*密*封*线*16.（必做）衰变中的原子核个数N随时间 t指数减少，规律为0()tN tN e-=，其中为 衰变常数。原子核个数减少为N0/2 的时间称为半衰期，记为，有/2ln=。自然界中存在下述核衰变：，如果矿物中这三种原子核的数目已近似不随时间变，则可模型化为不随时间变化，称这三种元素已处于平衡态。从这样的矿物中提取出全部和，构成质量 M=1g 的混合物，试求：?=RnRaTh2208666.32248891.12289021dyTh22890Ra22488（1）开始时（t=0），混合物中的原

11、子核个数 NTh228901和的原子核个数 NRa224882；（2）t 0 时刻，混合物中的原子核个数NRa224882（t）;（3）原子核数减为初值一半时，的原子核数Th22890Ra22488*2N数 学 参 考 知 识：线 性 一 次 型 微 分 方 程)()(xQyxpdxdy=+的 通 解 为?+=-CdxexQexydxxpdxxp)()()()(7三计算题（每题 10 分，少学时组不做，非物理 B 组限做第17 题；非物理 A 组限做第17、18 题；物理组限做第17、19 题）17（少学时组不做，其他组必做）细圆柱形的光纤如图所示，折射率沿径向分布的函数为)1()(22202

12、rnrn-=，0，其中为光纤中央轴上（即处）的折射率。沿中央轴设置x 坐标，光线从原点O射出，与x 轴夹角为12max2 0）的粒子从t=0 时刻，以0vK初速度开始运动，运动过程中粒子速度为vK时所受阻力为vfKK-=，其中 是正的常量。(1)计算 t 0 时刻粒子速度大小v 和已通过的路程s。(2)计算粒子运动方向（即速度方向）相对初始运动方向恰好转过2/时刻的速度大小v*。10第 23 届全国部分地区 大学生物理竞赛试卷解答一填空题（12 题，每题2空，每空2 分，共 48 分）1 l/4,vl213；0.1,0316.0103=-；R04,R0263321=,21；12gh,0；C,A

13、；,；2ln212ln2-3263,?3263ln；Rkl82，0；10cR，rrRc22-；11线偏振光,)(4eonn-；12)1(2+-,31112=-,其中cv=二计算题13（13 分）解：参考图示参量，有m1)(amTTm1cos:111=-（2 分）?-=-)cos(cossinsin:2122222aamTamTgmm)3()2(分）（分）（22运动关联：m2沿绳伸长方向移动量等于m1左行量，既有 v2=v1，进而有（4）（2 分）aaa=12将（4）式代入（1）、（2）、（3）式，得)cos1(cos,sinsin,)cos1(2221-=-=-amTamTgmamT消去 T，

14、得amam12)cos1(coscos1=-（5）sinsincoscos1222amamgm=?-6）由（5）式得?=+-0/01cos)2(cos212mmkk解得?+=1)4()2(211)4()2(21coskkkkkk舍去即有?=+-+=0/)4()2(arccos2121mmkkkk（3 分）代入（6）式得?+-+=)4()2(arccoscot2121kkkgaa（2 分）m2aT1?水平桌边?Ta1a2114（13 分）解：频率为 的光子，质量为2chm=（3 分）光子气中这种光子的数密度记为n，仿照理想气体压强公式推导，可得此种光子对光子气压强的贡献为uhncmnp31313

15、12=（5 分）其中hnu=，即为光子气中 光子的能量密度。于是，光子气的总压强便为uupp3131=（3 分）其中即为光子气能量密度。因，即得=hnuu4Tu 4Tp（2 分）15（13 分）解：（1）静电平衡后，各板内场强均为零。取图中虚线所示高斯面，可证第1 块板的右侧面电量Q1右与第 2 块板的左侧面电量Q2左必等量异号，即有021=+左右QQ同理可得,0,04332=+=+左右左右QQQQ054=+左右QQ，又因52155432211)()(QQQQQQQQQQQ+=+右左右左右左右左(即 得考 虑 到，中每一组面电荷给各块板内部场强的贡献均为零，便要求面电荷组给各导体板内部场强的贡

16、献也为零，即要求Q，便得=+5151iiQQQ右左)=,(21左右QQ),(32左右QQ),(54左右QQ),(51右左QQ右左51QQ1Q2=515121iiQQQ右左（7 分）（2）)(21154322QQQQQQ，-+=左)(21215433QQQQQQ（6 分）-+=左Q4 Q5Q3216（13 分）解：由，得 dt 时间内衰变的原子核数为teNtN-=0)(dttNdteNdNt)(0=-（1）处于平衡态时，t时刻某个矿物中Th和Ra的原子个数分别记为N1(t)和N2(t)。经 dt时间，N2(t)的增量应为2211221122ln,2ln,)()(=-=dttNdttNdN（2 分

17、）因，02=dN得19066.336591.1)()(211221=tNtN（1 分）题文中混合物内原子总数为221191NNNN=+=Th 和Ra 的摩尔质量非常接近，且，平均摩尔质量近似为Th 的摩尔质量21NN g228=，得21231064.21002.62281=ANMN即有1922111038.1191,1064.2=NNNN（2 分）（2）混合物刚组成的时刻改记为t=0，t 0 时刻 Th 的原子数为（1 分）teNtN111)(-=此时 Ra原子数记为 N2(t)。经 dt时间，有dttNdttNtdN)()()(22112-=即teNtNtNdttdN11111222)()(

18、)(-=+（2 分）解为?+-=?+=-CeeNeCdteeNetNtttdttdt2122121121112)(利用，求得22)0(NN=11212NNC-=（3 分）()ttteNeeNtN221211212)(-+-=或221/2/12122212121)(tttNNtN?+?-?-=（3）Th 原子数减为一半时刻为1=t，此时 Ra的原子数为2121/2/121212*2212121)(?+?-=NNNN因21，近似有21NN 181112*21094.638012=NNN（2 分）317（10 分）r 解：参考题解图，据折射定律有?-=?-2sin)(2sin00rnn（2 分）dr

19、 dx 即cos)(cos00rnn=由此可得0O 0002202coscostannnndxdr-=（1 分）x 因)(sincoscos220220022022202002202rnnrnnnn-=-=-得02202cossinrdxdr-=（2 分）两边对 x 求导，得0220220222020222020222coscossinsincossincosrrrrdxdrrrdxrd-=-=-=即0cos02222=+rdxrd（2 分）这相当于“简谐振动”微分方程，考虑到0=x时，0=r，解为?=xAr0cossin（1 分）由00tan=xdxdr，可得0sin=A表明光线为正弦曲线。

20、从 O 点出射后，光线与x 轴的第一个交点的坐标为01cos=x，0为小角度时，=1x（1 分）若从 O点出射的是半顶角0为小角度的细圆锥形光束，则光束中所有光线都会在=1x处与x轴相交，即光束又会汇聚在x轴上的 x1点。以后还会在x轴上的 2x1，3x1等处汇聚，形成自聚焦现象。（1 分）418（10 分）解：参考题解图，有Vn-11+=nnnIiIAnnRVV1+BnAnnRVRVV1-+=-?即得nBAnnnVRRVVV?=+-+112（2 分）（2）将V代入上式，得nneV-=0BARRee+=+-2?-?+?+=?422212BABARRRRe 需为正值，e，上式取正号，得1?-?+

21、?+=42221ln2BABARRRR（3 分）（3）实验曲线可代数地表述为1000lnln001)(VVxVx=即xVeVxV?-=1000ln00)(（2 分）图 2 电路结构与图1 相同，第 n 个细胞的电压应为nneVV-=0，10 xn=即得nVnVnxneVeVxVV?-?-=100ln0101000ln01000)(034.010030ln100ln0=?V代入BARRee，得+=+-23102.12-=-+=eeRRBA（3 分）RARBRBVnRAVn+1In+1Ininin+1519（10 分）解：（1）粒子所受切向力和所得切向加速度分别为vf-=，mvadtdv-=切得-=tvvdtmvdv00tmevv-=?0（3 分）再由-=?=ttmstmdtevdsevvdtds0000得?-=-tmevms10（3 分）（2）t 到 t+dt 时间内，粒子作半径为qBmv=的无穷小圆弧运动，速度方向偏转了小角度d，则有vdtd=得dtmqBdtvd=积分后便有tmqB=2=?时，qBmt2*=此时速度大小便为qBtmevevv20*0*-=（4 分）6