第23届全国中学生物理竞赛预复赛试题及答案.pdf

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1、1 2006 年第 23 届全国中学生物理竞赛预复赛试题及答案目录第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题 1第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 5第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 16 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准 20 1 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛试题（2006 年 9 月 3 日）本卷共九题，满分200 分一、（20 分，每小题10 分）1.如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球 A 与球B 之间用线相连。球B 与球C 之间用弹簧S2相连。A、B、C 的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计。开始

2、时它们都处在静止状态。现将A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C 的加速度。2.两个相同的条形磁铁，放在平板AB 上，磁铁的N、S 极如图所示，开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动。（）现将AB 突然竖直向下平移（磁铁与平板间始终相互接触），并使之停在A B处，结果发现两个条形磁铁碰在一起。（）如果将AB 从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A B位置，结果发现两条形磁铁也碰在一起。试定性地解释上述现象。二、（20 分，第 1 小题 12 分，第 2 小题 8 分）1.老爷爷的眼睛是老花眼。（）一物体P 放在明视距离处，老爷爷看不清楚。试在示意图1 中画出此时P 通过眼睛成像的光

3、路示意图。（）带了一副300 度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2 中画出P 通过老花镜和眼睛成像的光路示意图。2.有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和 f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和 f4。已知，f1 f2|f3|f4|。如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大图 1 2 倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为_的透镜作为物镜，应选焦距为_的透镜作为目镜。三、（20 分，第一小题12 分，第 2 小题 8 分）1.如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O 处，电荷量为q2的正点电荷固定在x 轴上，两电荷相距

4、l。已知q22q1。（）求在x 轴上场强为零的P 点的坐标。（）若把一电荷量为q0的点电荷放在P 点，试讨论它的稳定性（只考虑q0被限制在沿x 轴运动和被限制在沿垂直于x 轴方向运动这两种情况）。2.有一静电场，其电势U 随坐标x 的改变而变化，变化的图线如图1 所示，试在图 2 中画出该静电场的场强E 随 x 变化的图线（设场强沿x 轴正方向时取正值，场强沿x 轴负方向时取负值）。四、（20 分）一根长为L（以厘米为单位）的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中。大气的压强与H 厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长 L H。现把细管弯成L 形，如图所示。假定细管被弯曲时，

5、管长和管的内径都不发生变化。可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出。当细管弯成L 形时，以l 表示其竖直段的长度，问l 取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值（用水银柱的长度表示）。图 1 图 2 3 五、（20 分）一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子。电子偶素中的正电子与负电子都以速率v 绕它们连线的中点做圆周运动。假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量 m、速率v 和正、负电子间的距离r 的乘积也满足量子化条件，即2hmrvn式中n 称为量子数，可取整数值1，2，3，,；h 为普朗克常量。试求电子偶素处在

6、各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差。六、（25 分）如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和 O2转动，O1和 O2相互平行，水平放置。每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为 a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略。半径为 a0的绝缘圆盘D 与 A1同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在D 边缘上的某点，绳在D 上绕足够匝数后，悬挂一质量为m 的重物P。当 P 下落时，通过细绳带动D 和 A1绕 O1轴转动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间

7、保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R 的电阻相连。除 R 和 A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计。整个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行。现将P 释放，试求P 匀速下落时的速度。七、（25 分）图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O 处。圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B。筒壁的H 处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q 的带电粒子P 以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P 与筒壁碰撞是弹性的，P 与筒壁碰撞时其电荷量

8、是不变的。若要使P 与筒壁碰撞的次数最少，问：1.P 的速率应为多少？2.P 从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？4 八、（25 分）图中正方形ABCD 是水平放置的固定梁的横截面，AB 是水平的，截面的边长都是l。一根长为2l 的柔软的轻细绳，一端固定在A 点，另一端系一质量为m 的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B 点使小球处于C 点。现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB 边无接触地向下运动，当20v分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？1.2023 31)2(6vgl2.202(3 311)vgl设绳的伸长量可不计而且是非弹性的。九、（25 分）从赤道上的C 点发射洲际

9、导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为R 的球体，R6400 km。已知质量为m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E 与椭圆半长轴a 的关系为2MmEGa式中M 为地球质量，G 为引力常量。1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心O 到发射点C 的连线之间的夹角表示）。2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3.试导出2MmEGa。5 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准一、参考解答：1.线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧S1的弹力B1AC()Fmmmg（1）弹簧S2的弹力2C

10、Fm g（2）在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时球A、B、C 的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有1AAAFm gm a（3）BBB2Fm gm a（4）2CC CFm gm a（5）解以上有关各式得BCAAmmagm方向竖直向上（6）BCBBmmagm方向竖直向下（7）C0a（8）2.开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。（）从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速

11、度方向向下、速度向下的运动。在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在A B处。在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变。（）从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大

12、，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动。接着，磁铁和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动，直到停在A B处。在这过程中，磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。评分标准：（本题 20 分）1.10 分。（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）式各 1 分，aA、aB的方向各1 分。6 2.10 分。（）5 分，（）5 分（必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5

13、 分，否则不给分）。二、参考答案1.()132.f1，f4。评分标准：（本题 20 分）1.12 分。（）4 分，（）4分，（）4 分。2.8 分。两个空格都填对，才给这8 分，否则0 分。三、参考解答：1.（）通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标为x0，则有122200()qqkkxlx（1）已知212qq（2）由（1）、（2）两式解得0(21)xl（3）（）先考察点电荷q0被限制在沿x 轴运动的情况。q1、q2两点电荷在P 点处产生的场强的大小分别为11020qEkx22020()qEklx且有E10E20二者方向相反。点电荷q0在 P 点受

14、到的合力为零，故P 点是q0的平衡位置。在x 轴上P 点右侧0 xxx处，q1、q2产生的场强的大小分别为图 1 图 2（）（）7 111020()qEkExx方向沿x 轴正方向222020()qEkElxx方向沿x 轴负方向由于21EE，0 xxx处合场强沿x 轴的负方向，即指向P 点。在 x 轴上P 点左侧0 xxx处 q1、q2的场强的大小分别为111020()qEkExx方向沿x 轴正方向222020()qEkElxx方向沿x 轴负方向由于21EE，0 xxx处合场强的方向沿x 轴的正方向，即指向P 点。由以上的讨论可知，在x 轴上，在P 点的两侧，点电荷q1和 q2产生的电场的合场强

15、的方向都指向 P 点，带正电的点电荷在P 点附近受到的电场力都指向P 点，所以当q00 时，P 点是q0的稳定平衡位置。带负电的点电荷在P 点附近受到的电场力都背离P 点，所以当q00 时，P 点是q0的不稳定平衡位置。再考虑q0被限制在沿垂直于x 轴的方向运动的情况。沿垂直于x 轴的方向，在P 点两侧附近，点电荷 q1和 q2产生的电场的合场强沿垂直x 轴分量的方向都背离P 点，因而带正电的点电荷在P 点附近受到沿垂直x 轴的的分量的电场力都背离P 点，所以，当 q00 时，P 点是q0的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在P 点附近受到的电场力都指向P 点，所以当q00 时，P 点是q0的稳定

16、平衡位置。2.评分标准：（本题 20 分）1.12 分（）2 分（）当q0被限制在沿x 轴方向运动时，正确论证q00，P 点是 q0的稳定平衡位置，占3 分；正确论证 q0 0，P 点是q0的不稳定平衡位置，占3 分（未列公式，定性分析正确的同样给分）。当 q0被限制在垂直于x 轴的方向运动时，正确论证 q00，P 点是q0的不稳定平衡位置，占 2 分；8 正确论证q00，P 点是q0的稳定平衡位置，占2 分。2.8 分。纵坐标标的数值或图线有错的都给0 分。纵坐标标的数值、图线与参考解答不同，正确的同样给分。四、参考解答开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为H（以cmHg 为单位），注入少量

17、水银后，气柱将因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为x 时，管内空气压强p（Hx），根据波意耳定律，此时空气柱长度HLLHx（1）空气柱上表面与管口的距离LdLLxHx（2）开始时x 很小，由于LH，故1dHx即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至dx（即水银柱上表面与管口相平）时为止。何时水银柱表明与管口相平，可分下面两种情况讨论。1.水银柱表明与管口相平时，水银柱未进入水平管此时水银柱的长度xl，由波意耳定律有()()Hx LxHL（3）由（3）式可得xLH（4）由此可知，当lLH时，注入的水银柱的长度x 的最大值maxxLH（5）2.水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管此时

18、注入水银柱的长度x l，由波意耳定律有()()HlLxHL（6）LlxHl（7）LllxHl（8）由（8）式得lLH，或LHl（9）LxLHLHHl（10）即当lLH时，注入水银柱的最大长度maxxx。由上讨论表明，当lLH时，可注入的水银量最大，这时水银柱的长度为maxx，即（5）式。评分标准：（本题 20 分）正确论证lLH时可注入的水银量最大，占13 分。求出最大水银量占7 分。若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分。9 五、参考解答：正、负电子绕它们连线的中点作半径为2r的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即222(/2)evkmrr

19、（1）正电子、负电子的动能分别为KE和KE，有2KK12EEmv（2）正、负电子间相互作用的势能2PeEkr（3）电子偶素的总能量KKPEEEE（4）由（1）、（2）、（3）、（4）各式得212eEkr（5）根据量子化条件2hmrvnn 1，2，3，,（6）（6）式表明，r 与量子数n 有关。有（1）和（6）式得与量子数n 对应的定态r 为22222nn hrke mn1，2，3，,（7）代入（5）式得与量子数n 对应的定态的E 值为22422nk e mEn hn1，2，3，,（8）n1 时，电子偶素的能量最小，对应于基态。基态的能量为22412k e mEh（9）n2 是第一激发态，与基态

20、的能量差224234k e mEh（10）评分标准：（本题 20 分）（2）式 2 分，（5）式 4 分，（7）式、（8）式各 5 分，（10）式 4 分。六、参考解答：10 P 被释放后，细绳的张力对D 产生机械力矩，带动D 和 A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动 A2作顺时针的加速转动。由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R 构成闭合电路。A1、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力。不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓。

21、A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和 A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P 匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度10va（1）A1带动A2转动，A2的角速度2与 A1的角速度1之间的关系为1 122aa（2）A1中每根辐条产生的感应电动势均为211112BaE（3）轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式。同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为222212BaE（4）A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电阻是A1中四条辐条电阻的并联

22、，其数值为114ARR（5）A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电阻是A2中四条辐条电阻的并联，其数值为224ARR（6）A1轮、A2轮和电阻R 构成串联回路，其中的电流为1111AAIRRREE（7）以（1）至（6）式代入（7）式，得1110121()244Ba aa vaIRRR（8）当 P 匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即21244RRmgvIR（9）以（8）式代入（9）式得2120222111(4)(mgRRR avB aaa（10）评分标准：（本题 25 分）11（1）、（2）式各 2 分，（3）、（4）式各 3 分，（5）、（6）、（7

23、）式各 2 分，（9）式 6 分，（10）式 3 分。七、参考答案：1.如图 1 所示，设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外，带电粒子P 带正电，其速率为v。P 从小孔射入圆筒中，因受到磁场的作用力而偏离入射方向，若与筒壁只发生一次碰撞，是不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次，它就有可能从小孔射出。造此情形中，P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧HM、MN、和NH 组成。现考察其中一段圆弧MN，如图 2 所示。由于P 沿筒的半径方向入射，OM 和 ON 均与轨道相切，两者的夹角23（1）设圆弧的圆半径为r，则有2vqvBmr（2）圆弧对轨道圆心O所张的圆心角3（3）由几何关系得cot2rR

24、（4）解（2）、（3）、（4）式得3qBRvm（5）2.P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为sr（6）经历时间为1stv（7）P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为13tt（8）由以上有关各式得mtqB（9）评分标准：（本题 25 分）1.17 分。（1）、（2）、（3）、（4）式各 3 分，（5）式 5 分。2.8 分。（6）、（7）、（8）、（9）式各 2 分。八、参考解答：小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C 点开始，小球沿竖直方向作图 1 图 2 12 初速度为v0、加速度为g 的匀加速直线运动。当小球运动到图1 中的M 点时，绳刚被拉直，匀加速直线运

25、动终止，此时绳与竖直方向的夹角为30。在这过程中，小球下落的距离2 cos(13)slll（1）细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：22102vgsv（2）在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可以不计，而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度1cosv变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M 点开始以初速度1111sin2vvv（3）在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l，圆心位于A 点，如图 1 所示。由（1）、（2）、（3）式得212011(13)42vvgl（4）当小球沿圆周运动到图中的N 点时，其速度为v，细绳与水平方向的夹角为，由能量关系有21211(32 sin)22mv

26、mvmgll（5）用 FT表示绳对小球的拉力，有2Tsin2vFmgml（6）1.2023 31)2(6vgl设在1时（见图2），绳开始松弛，FT0，小球的速度1vu。以此代入（5）、（6）两式得221112(32 sin)vugll（7）211sin2ugl（8）由（4）、（7）、（8）式和题设v0的数值可求得145（9）12ugl（10）即在145时，绳开始松弛。以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从N1处以大小为u1，方向与水平方向成45角的初速度作斜抛运动。以 N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy，x 轴水平向右，y 轴竖直向上。若以小球从N1处抛出的时刻作为计

27、时起点，小球在时刻t 的坐标分别为图 1 图 2 13 112cos452xutu t（11）2211121sin 45222yutgtu tgt（12）由（11）、（12）式，注意到（10）式，可得小球的轨道方程：22212xxyxgxul（13）AD 面的横坐标为2 cos452xll（14）由（13）、（14）式可得小球通过AD 所在竖直平面的纵坐标y0（15）由此可见小球将在D 点上方越过，然后打到DC 边上，DC 边的纵坐标为(2 sin45)(21)ylll（16）把（16）式代入（13）式，解得小球与DC 边撞击点的横坐标x1.75 l（17）撞击点与D 点的距离为2 cos45

28、0.35lxll（18）2.20311)2(3vgl设在2时，绳松弛，FT0，小球的速度2vu，以此代替（5）、（6）式中的1、u1，得2212232 sin)2(vllug（19）222sin2umgml（20）以20311)2(3vgl代入（4）式，与（19）、（20）式联立，可解得290（21）22ugl（22）(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以D 点为圆心，l 为半径的圆周打到梁上的C 点。评分标准：（本题 25 分）（3）式 2 分，（5）、（6）式各

29、 1 分，（9）、（10）式各 3 分，得出小球不可能打在AD 边上，给3 分，得出小球能打在DC 边上，給2 分，正确求出小球打在DC 边上的位置，給2 分。求出（21）、（22）式各占 3 分，得出小球能打在C 点，再給2 分。如果学生直接从抛物线方程和(2 sin 45)(21)ylll求出x 1.75 l，同样给分。不必证14 明不能撞击在AD 边上。九、参考解答：1.这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到N 点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N 和赤道上的发射点C 组成的平面（此平面是C 点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度v）

30、必须也在此平面内，地心O 是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的C、N 两点到焦点O 的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O 点垂直CN 的的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB 上。已知质量为m 的物体在质量为M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴a 的关系为2GMmEa（1）要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现 C 点到一个焦点O 的距离是定值，等于地球的半径是R，只要位于长轴上的另一焦点到C 的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显

31、然，当另一焦点位于C 到 AB 的垂线的垂足处时，C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知222aRR（2）设发射时导弹的速度为v，则有212MmEmvGR（3）解（1）、（2）、（3）式得2(21)GMvR（4）因2MmGmgR（5）比较（4）、（5）两式得2(21)vRg（6）代入有关数据得v7.2 km/s（7）速度的方向在C 点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角OCP，从图中可看出，速度方向与OC 的夹角1904567.52（8）2.由于地球绕通过ON 的轴自转，在赤道上C 点相对地心的速度为2CRvT（9）式中R 是地球的半径，T

32、 为地球自转的周期，T243600 s 86400 s，故0.46 km/sCv（10）15 C 点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（C 点）的发射速度应有一大小等于vC，方向与vC相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为22Cvvv（11）代入有关数据得v 7.4 km/s（12）它在赤道面内的分速度与vC相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。3.质量为m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒

33、定律，故对于近地点和远地点有下列关系式2212121122GMmGMmmvmvrr（13）1 1221122rvr v（14）式中v1、v2分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2为远地点和近地点到地心的距离。将（14）式中的v1代入（13）式，经整理得222221211 211()2rGMmmvrrrr r（15）注意到r1 r22a（16）得2122122rGMmmvar（17）因22212GMmEmvr（18）有（16）、（17）、（18）式得2GMmEa（19）评分标准：（本题 25 分）1.14 分。（2）式 6 分，（3）式 2 分，（6）、（7）式共 4 分，（8）式 2 分

34、。2.6 分。（11）式 4 分，（12）式 2 分。3.5 分。（13）、（14）式各 1 分，（19）式 3 分。16 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、（23 分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻

35、璃管底部距离的可能值。二、（25 分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D 和 C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度0v沿垂直于杆 DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。三、（23 分）有一带活塞的气缸，如图1 所示。缸内盛有一定质量的气体。缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝热的，它们的热容量都不计。轴穿过气缸处不漏气。如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实

36、验测得，气体的压强p和体积V遵从以下的过程方程式图 1 kpVa其中a,k均为常量,a1（其值已知）。可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为1112111aaVVakW式中2V和1V,分别表示末态和初态的体积。如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量p和经过的时间t遵从以图 2 下的关系式LVatp1式中V为气体的体积，L表示气体对叶片阻力的力矩的大小。上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图 2中气体原来所处的状态A与另一已知状态B之间的内能之差（结果要用状态A、B的压强Ap、B

37、p和体积AV、BV及常量a表示）四、（25 分）图 1 所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路。图中图 1 1D和2D是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容），17 1C和2C是理想电容器，它们的电容都为C，初始时都不带电，G点接地。现在A、G间接上一交变电源，其电压Au，随时间t 变化的图线如图2 所示试分别在图3 和图 4 中准确地画出D点的电压Du和 B点的电压Bu在 t 0 到 t=2T 时间间隔内随时间t 变化的图线，T 为交变电压Au的周期。图 2 图 3 18 图 4 五、（25 分）磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系

38、统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间 t 和空间位置x 变化规律为)cos(),(0kxtBtxB式中0B、k均为已知常量，坐标轴x 与轨道平行。在任一时刻t，轨道平面上磁场沿x 方向的分布是不均匀的，如图所示。图中Oxy 平面代表轨道平面，“”表示磁场的方向垂直Oxy 平面指向

39、纸里，“”表示磁场的方向垂直Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时B取正值。“”和“”的疏密程度表示沿着x 轴 B的大小分布。一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框MNPQ 处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为l，与轨道平行的金属框边MQ 的长度为d，金属框的电阻为R，不计金属框的电感。1试求在时刻t，当金属框的MN边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x 轴正方向移动的速度为v。2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。19 六、（23 分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为1f、2f和3f的透镜

40、1L,2L,3L，321fff；观察屏P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的图 1 分光元件（如图1 所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为 D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率Dn1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠 D线的折射率Dn=1.720

41、0。1.试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角的数值。图 2 七、（16 分）串列静电加速器是加速质子、重离子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图。S是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分N 为充有氮气的管道，通过高压装置 H使其对地有61000.5V的高压。现将氢气通人离子源 S，S的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子。氢负离子（其初速度为0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道 N后将与氮气分子发生相互

42、作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。已知氮气与带电粒子的相互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子T。试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达T 时的速度v。电子电荷量191060.1qC，质子的静止质量27010673.1m kg。20 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准一、参考解答：解法一小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h 随时间 t 变化的关系如图所示设照片拍摄到的小球位置用A 表示，A 离玻璃管底部的距离为hA，小球开始下落处到玻璃管

43、底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A 点，也可在上升的过程中经过A 点.现以表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），1表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），2表示小球从A 点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至A 点所需的时间）.显然，12.根据题意，在时间间隔的起始时刻和终了时刻小球都在A 点用n 表示时间间隔内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A 点的次数（n2）.下面分两种情况进行讨论：1A 点不正好在最高点或最低点当 n 为奇数时有12111Tnnn3

44、,5,7,n（1）在（1）式中，根据题意1可取10中的任意值，而21（2）当 n 为偶数时有211222Tnnnn2,4,6,n（3）由（3）式得12（4）由（1）、（3）、（4）式知，不论n 是奇数还是偶数，都有1Tn2,3,4,n（5）因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为t H O hATh 21 2211221nTHggn2,3,4,n（6）若用nH表示与 n 对应的 H 值，则与nH相应的 A 点到玻璃管底部的距离2112AnhHg2,3,4,n（7）当 n 为奇数时，1可取10中的任意值，故有0AnhH2121nTHgnn=3,5,7,（8）可见与nH相应的Ah的可能值

45、为0 与nH之间的任意值当 n 为偶数时，112，由（6）式、（7）式求得nH的可能值34AnhH2121nTHgnn=2,4,6,（9）2若 A 点正好在最高点或最低点无论 n 是奇数还是偶数都有21Tnn=2,3,4,（10）22112221nTHggnn=2,3,4,（11）AnhH21221nTHgnn=2,3,4,（12）或0Ah（13）解法二因为照相机每经一时间间隔T 拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T 和这个周期的比值应该是一整数下面我们就研究小球通过某个位置的周期性设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为，从最高点下落至相片

46、上小球所在点（A 点）所需时间为1，从 A 点下落至管底所需时间为2，则12（1）（小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是、1和2）22 从小球在下落过程中经过A 点时刻开始，小球经过的时间22后上升至A 点，再经过时间12后又落到 A 点，此过程所需总时间为12222以后小球将重复这样的运动小球周期性重复出现在A 点的周期是多少？分两种情况讨论：（1）12，1和2都不是小球在A 点重复出现的周期，周期是2（2）12，小球经过时间22回到 A 点，再经过时间12又回到 A 点，所以小球重复出现在 A 点的周期为下面就分别讨论各种情况中H的可能值和A 点离管底的距离A

47、h的可能值（如果从小球在上升过程中经过 A 点的时刻开始计时，结果一样，只是1和2对调一下）1 H 的可能值（1）较普遍的情况，12T与2的比值应为一整数，的可能值应符合下式2Tk，1,2,3,k（2）由自由落体公式可知，与此相应的kH的数值为2211222kTHggk1,2,3,k（3）（2）12的可能值应符合下式Tk1,2,3,k（4）故kH的可能值为221122kTHggk1,2,3,k（5）当k为偶数时，即2,4,6,k时，（5）式与（3）式完全相同可见由（3）式求得的H的可能值包含了12的全部情况和12的一部分情况当k 为奇数时，即1,3,5,k时，由（5）式得出的H的可能值为212

48、kTHgk1,3,5,k（6）它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的H合在一起是H的全部的可能值2与各 H 值相应的Ah的可能值a.与kH相应的Ah的可能值23 由于在求得（3）式时未限定A 点的位置，故Ah的数值可取0 和kH之间的任意值，即0AkhH2122kTHgk1,2,3,k（7）b.与kH（k 为奇数）相应的Ah的可能值这些数值与A 位于特定的位置，122，相对应，所以对于每一个kH对应的Ah是一个特定值，它们是21122AkThHgk212kTHgk1,3,5,k（8）评分标准：本题 23 分二、参考解答：1 求刚碰撞后小球A、B、C、D 的速度设刚碰撞后，小球A、B、

49、C、D 的速度分别为Av、Bv、Cv、Dv，并设它们的方向都与0v的方向相同由于小球C 位于由 B、C、D 三球组成的系统的质心处，所以小球C 的速度也就是这系统的质心的速度因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有0AC3MMmvvv（1）碰撞前后质点组的角动量守恒，有CD02mlmlvv（2）这里角动量的参考点设在与B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220ABCD11111+22222MMmmvvmvvv（3）因为杆是刚性杆，小球B 和 D 相对于小球C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有BCCDvv=vv（4）解（1

50、）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解Cv=0（5）和C0456MMmvv（6）因为Cv也是刚碰撞后由B、C、D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D 三球的速度24 A05656MmMmvv（7）B01056MMmvv（8）D0256MMmvv（9）2讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B、C、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（6）式的速度即C0456MMmvv沿0v方向作匀速运动由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D 两小球将绕小球 C 作匀角