三年级奥数举一反三之和倍问题-.pdf

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1、第二十五周和倍问题专题简析：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出 1 倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：两数和（倍数 1）=小数（1 倍数）小数倍数=大数（几倍数）两数和小数=大数例题 1 学校将 360 本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的 2 倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？思路导航：将二年级所得图书的本数看作1 倍数，则三年级所得本

2、数是这样的 2 倍。如图所示：共360本？本？本1倍数三年级二年级由图可知，二、三年级所得图书本数的和360 本相当于二年级的（12）倍，则二年级所得图书本数的360（12）=120 本，三年级为1202=240本。练习一1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3 倍。小红和小明各有压岁钱多少元？2，学校将 360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2 倍还多 60 本。二、三年级各得图书多少本？3，甲桶有油 25 千克，乙桶有油 17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的 5 倍？例题 2 小宁有圆珠笔芯 30 枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青给小宁多少枝

3、后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8 倍？思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1 倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9 倍，所以变化后小青的枝数为（3015）（18）=5 枝，再用 155=10枝，则表示小青给小宁的枝数。练习二1，红红有邮票 80 张，佳佳有邮票 60 张，要使红红的邮票张数是佳佳的4 倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？2，甲水池有水 69 吨，乙水池有水 36 吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2 倍？3，甲书架有图书18 本，乙书架有图书8 本，班图书管理员又买来图书16 本，怎样分配才能使甲

4、书架图书的本数是乙书架的2 倍？例题 3 被除数与除数的和为320，商是 7，被除数和除数各是多少？思路导航：由商是7 可知，被除数是除数的7 倍，把除数看作1 份数，被除数就有这样的7 份，一共 71=8份。除数：3208=40 被除数：407=280 练习三1，被除数和除数和为120，商是 7，被除数和除数各是多少？2，被除数、除数、商的和为79，商是 4，被除数、除数各是多少？3，两个整数相除商是21，余数为 1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是 441。被除数、除数各是多少？例题 4 两数相除商为 17余 6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和除数分别为多少？思路导航：被

5、除数、除数、商和余数的和是479，减去商 17 和余数 6，得到被除数与除数的和为479176=456；又因为被除数比除数的17倍多 6，所以 4566=450 就相当于除数的（171）倍，因此除数为450（171）=25，被除数为 25176=431。练习四1，两个整数相除商14 余 2，被除数、除数、商和余数的和是243，被除数比除数大多少？2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的5 倍。差是多少？3，学校买来 83 本书，其中科技书是故事书的2 倍，故事书比文艺书多5 本，这三种书各多少本？例题 5 两个数之和是 792，其中一个数的最后一位数数字是0，如果把

6、0 去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？思路导航：把一个数的最后一位数字0 去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大数是小数的10 倍。又已知两个数之和是792，那我们就可以求出这两个数分别是多少了。小数：792（101）=72 大数：7210=720 练习五1，两个数之和是 253，其中一个数的最后一位数字是0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？2，师徒两人加工一批零件共693个，师傅加工零件个数的末位数字是0，如果去掉这个0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？3，甲、乙两数的和是209，甲数缩小 10 倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少

7、？第二十六周差倍问题（一）专题简析：前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1 倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。用关系式可以这样表示：两数差（倍数 1）=较小的数（1 倍数）较小的数倍数=较大的数（几倍数）例题 1 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3 倍，苹果比梨多18个。小明买苹果和梨各多少个？思路导航：将梨的个数看作1

8、倍数，则苹果的个数是这样的3 倍。如下图：苹果梨？个多18个？个1倍从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了31=2 倍，梨的 2 倍是 18个，所以梨有 182=9 个，苹果有：93=27个。练习一1，学校合唱组，女同学人数是男同学的4 倍，女同学比男同学多42 人。合唱组有男、女同学各多少人？2，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5 倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵 960元。皮衣与羽绒服各多少元？3，甲筐苹果是乙筐苹果的3 倍，如果从甲筐取出60 千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？例题 2 被除数比除数大 252，商是 7，被除数、除数各是多少？思路导航：根据“商

9、是7”可知，被除数是除数的7 倍，把除数看作1倍数，被除数就是这样的7 份，比除数多 6 份。所以除数是：252（71）=42 被除数是：42252=294 练习二1，被除数比除数大168，商是 22，被除数、除数各是多少？2，除数比被除数小212，商是 5，被除数、除数各是多少？3，被除数比商大144，除数是 7，被除数、商各是多少？例题 3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5 倍，如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60 个。原来两筐橘子各有多少个？思路导航：根据“如果从第一筐中取出300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60 个”，说明

10、原来第一筐比第二筐橘子多300260=660个。把第二筐的橘子重量看作1 倍数，第一筐橘子是这样的5 倍，比第二筐多4 倍，第二筐橘子的4 倍正好是 660 个，所以第二筐原有橘子：6604=165个，第一筐橘子原来有：1655=825个。练习三1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的3 倍。如果从六年级捐款钱数中取出 160 元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多40 元。两个年级分别捐款多少元？2，人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4 倍，如果从人民公园搬出188 盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25 盆。原来两个公园各有杜鹃花多少盆？3，两堆煤重量相等，现从

11、甲堆中运走24 吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8 吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。问两堆煤原来各有多少吨？例题 4 甲、乙两个数，如果甲数加上280 就等于乙数，如果乙数加上320就等于甲数的 3倍。两个数各是多少？思路导航：根据题意，画出线段图：？320280？乙甲“甲数加上 280就等于乙数”，说明乙数比甲数大280；如果乙数再加上320，甲、乙就相差 320+280=600，把甲数看作 1 倍数，从图上可以看出，600就相当于甲数的 31=2倍。所以，甲数为 6002=300，乙数为 300280=580。练习四1，甲、乙两人的存款相等，甲取出60 元，乙存入 20 元后，乙的存

12、款是甲的 3 倍。甲、乙两人原有存款各多少元？2，小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华6 本，小华的本数是小明的 4 倍。原来两人各有连环画多少本？3，两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的苹果是乙筐的3 倍。两筐苹果原来各有多少千克？例题 5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200 本书，而第二个书架再放入40 本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。问两个书架原来各存书多少本？思路导航：根据题意，画出线段图。第二个书架第一个书架？本40本？本取出 200本1倍数从线段图上可以看出，第一个书架取出 200 本，第二个书架放进 4

13、0 本书后，两个书架就相差200+40=240本，把变化后的第一个书架看作1 倍数，两个书架相差的 240本就相当于变化后第一个书架的（31）倍。所以，变化后第一个书架有书：（20040）（31）=120本两个书架原来各有：120200=320本。练习五1，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出2000千克，而第二个仓库再存入 400千克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的7 倍。两个仓库原来各存粮食多少千克？2，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红16 枝铅笔，给小明2 枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的3 倍。原来小红和小明各有铅笔多少枝？3，商店有数量相等的英语本

14、和算术本，英语本卖出160 本，算术本卖出420 本后，余下的英语本数是算术本的3 倍。两种本子原来各有多少本？第二十七周差倍问题（二）专题简析：有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。例题 1 有两袋玉米，大袋比小袋多56千克，如果将小袋的玉米吃掉4 千克，这时大袋的玉米重量是小袋的4 倍。两袋玉米原来各重量多少千克？思路导航：根据题意

15、，画出线段图。大袋玉米小袋玉米？千克56千克？千克4千克从图上可以看出，小袋玉为吃掉4 千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉米重 4+56=60千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的4 倍”，可知把小袋现有的玉米重量看作1 倍数，大袋比小袋多的60千克正好相当于现有小袋的 41=3倍，所以小袋现有玉米603=20千克，原有重量 20+4=24千克，大袋原有 204=80千克。练习一1，有两箱玩具，第一盒比第二盒多60 只。如果从第二盒中取出3 只，这时第一盒的只数是第二盒的8 倍。求两箱玩具原来各有多少只？2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多12 本。如果从第一层中拿走 6 本，这时第二

16、层的本数是第一层的4 倍。求第一、第二层原来各有多少本书？3，甲、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少20 千克，如果从甲桶倒出 5 千克放入 5 千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的4 倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？例题 2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8 千克，则两桶色拉油就一样重；如果向乙桶中倒入12 千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5 倍。甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？思路导航：根据题意，画出线段图。倒入 12千克？千克乙桶甲桶？千克倒入 8千克1倍数从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入8 千克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲桶油多8 千克；如果向乙桶倒入12 千克，乙桶油就

17、比甲桶油多8+12=20千克，与 20 千克相对应的倍数差是51=4倍。所以，甲桶原有：（8+12）（51）=5 千克，乙桶原有 5+8=13千克。练习 1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入10 千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶中倒入4 千克水，乙桶的水就是甲桶的3 倍。原来甲、乙两桶各有多少千克水？2，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去1 人，男、女参赛人数相等；如果女生少去1 人，男生参赛人数是女生的2 倍。三（1）班参加英语比赛的男、女生各几人？3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文3 粒，两人的玻璃球数就一样多；如果小文给小敏 1 粒，小敏的玻璃球数就是小文的5 倍。

18、小敏、小文原有玻璃球各几粒？例题 3 甲的钱数是乙的 3 倍，甲买一套 180 元的百科大全，乙买一套 30元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？思路导航：根据题意，画出线段图。？元180元30元甲乙把乙原有的钱看作1 份，甲原有的钱不是3 份；甲买书用去 180 元，乙买书用去 30 元，甲比乙多用去18030=150元。从图上可以看出，这多出的150 元正好相当于乙原有钱数的31=2倍，所以乙原有钱：1502=75元，甲原有钱 753=225元。练习三1，甲的钱数是乙的4 倍，甲买了一只30 元的书包，乙买了一枝6 元的钢笔后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？2，丹丹的钱数

19、是小敏的5 倍，丹丹买了一套 115 元的衣服，小敏买了一双 15 元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？3，云云的钱是小月的4 倍，云云买了一套水彩笔用了19 元钱，小月买了一块 1 元钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？例题 4 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的4 倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进 12 盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的3 倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？思路导航：根据题意，如果彩色粉笔购进12 盒，而白粉笔购进 124=48盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的4 倍，可见 4812=36盒就是彩色粉笔现有盒数的 43=1倍，所以彩色粉笔现有36

20、1=36盒，原来有 3612=24盒，白粉笔原有 244=96盒。练习四1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的3 倍，如果两筐苹果各增加 8 千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的2 倍。甲、乙两筐原来各有多少千克苹果？2，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的5倍。如果每人再买 4 枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的4倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多少枝？3，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的5 倍。如果每桶分别倒入8 千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的3 倍。甲、乙两桶原来各有多少千克油？例题 5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的4 倍多 5 个，篮球

21、比足球多 26个。篮球和足球各多少个？思路导航：根据题意，画出线段图。篮球足球?个多5个多26个?个从图上可以看出，如果把足球的个数看作1 倍数，那么篮球减少5 个就是足球个数的 4 倍，所以足球有（265）（41）=7个，篮球有 745=33个。练习五1，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的3 倍多 2 个，红皮球比白皮球多24 个。红、白皮球各有多少个？2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的5 倍多 12 千克，乙袋比甲袋少132 千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的4 倍少 8本，故事书比连环画多28 本。图书室里有故事书和

22、连环画各多少本？第二十八周和差问题专题简析：已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。用数量关系表示：（和差）2=大数（和差）2=小数例题 1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4 分。两人各考了多少分？思路导航：根据题意画出线段图。188分?分?分李杨王平我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加 4 分，变为

23、 188+4=192分，这就表示王平的 2 倍，所以王平考了：1922=96分，李杨考了 964=92分。练习一1，两筐水果共重 124千克，第一筐比第二筐多8 千克。两筐水果各重多少千克？2，小宁与小慧的身高总和是264 厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高多少厘米？3，三（1）班和三（2）班共有学生 124 人，如果从三（2）班调 2 人到三（1）班，两班学生同样多。三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？例题 2 某机床厂第一、二两个车间共有车床96 部，如果第一车间拨给第二车间 8 部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？思路导航：用线段图表示题意。8部8部96部?

24、部?部第二车间第一车间已知第一、二两个车间共有车床96 部，又根据“如果第一车间拨给第二车间 8 部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多 82=16 部车床。所以，第一车间原有：（96+82）2=56 部，第二车间原有 5682=40部。练习二1，红星小学一年级新108 人，分成甲、乙两个班。如果从甲班转3 个学生到乙班去，两班学生就一样多。甲、乙两班各有学生多少人？2，甲、乙两筐共有水果80 千克，若从甲箱取出6 千克放到乙箱中，这时两箱水果同样多。两箱原来各有水果多少千克？3，有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第三

25、只船少运200 块。三只船各运木板多少块？例题 3 哥弟俩共有邮票70 张，如果哥哥给弟弟4 张邮票，这时哥哥还比弟弟多 2 张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70 张，根据“如果哥哥给弟弟 4 张，还比弟弟多 2 张”，说明原来哥哥比弟弟多422=10张邮票。所以，弟弟有邮票：（7010）2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。练习三1，一只两层书架共放书72 本，若从上层中拿出9 本给下层，上层比下层多 4 本。上、下层各放书多少本？2，姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7 块，就比妹妹少 3 块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？3，两笼兔

26、子共 16 只，若甲笼再放入4 只，乙笼取出 2 只，这时两笼兔子只数就同样多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？例题 4 把一条 100 米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16 米，第三段比第一段少 18 米。三段绳子各长多少米？思路导航：用线段图来表示题意。第三段第二段第一段？米？米100米？米18米16米可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和第一段同样长，那么总长就变为1001618=102米。第一段绳子长：1023=34米第二段绳子长：34+16=50米第三段绳子长：3418=16米练习四1，某工厂第一、二、三车间共有工人280 人，第一车间比第二车间多10

27、 人，第二车间比第三车间多15 人。三个车间各有工人多少人？2，某工厂将 857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得 250元，第二名比第三名多得125 元。三名优秀工人各得多少元？3，小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是95 分，数学比语文多6 分，英语比语文多9 分。小明期终考试三门功课各多少分？例题 5 四个人年龄之和是88 岁，最小的 3 岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8 岁。最大的年龄是多少岁？思路导航：我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别看作大数与小数，根据四个人的年龄和是88 岁，年龄差是 8 岁，即可求出大数与小数。大数：（88+8）2=48岁最大的年龄：483=45岁练习五1，小军一家四口年龄之和是129 岁，小军 7 岁，妈妈 30 岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5 岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？2，某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，四年级 101人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52 人。二、三年级各有多少人？3，某校四个年级共有138 名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共70名，一、三年级共65 名，二、三年级共59 名。四年级有多少名？