2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷2试题及答案.pdf

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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学考前须知：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12 小题，每题5 分，共 60 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的112i12iA43i55B43i55C34i55D34i552集合223Axy xyxyZZ，那么A中元素的个数为A9 B8 C5 D4 3函数2eexxfxx的图像大致为4向量a，b满足|1a，1ab，那么(2)aabA4 B3 C2 D0 A l（川L X寸c x),O

2、fx l D 5双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，那么其渐近线方程为A2yxB3yxC22yxD32yx6在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，那么ABA 4 2B30C29D 2 57为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，那么在空白框中应填入A1iiB2iiC3iiD4ii8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中获得了世界领先的成果哥德巴赫猜测是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和，如30723在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是A112B114C115D1189在长方体1111ABCDA BC D 中，

3、1ABBC，13AA，那么异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A15B56C55D22开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否,r ,r .r,r,r r r,r,.r.r.r 10假设()cossinf xxx在,a a是减函数，那么a的最大值是A4B2C34D11()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx假设(1)2f，那么(1)(2)(3)(50)ffffA50B0 C2 D50 121F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，12PF F为等腰三角形，12120F F P，

4、那么C的离心率为A23B12C13D14二、填空题：此题共4 小题，每题5 分，共 20 分13曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为_14假设,x y满足约束条件25023050 xyxyx，那么zxy的最大值为 _15sincos1，cossin0，那么 sin()_16圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45，假设SAB的面积为5 15，那么该圆锥的侧面积为_三、解答题：共 70 分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答学科*网一必考题：共60 分

5、。1712分记nS 为等差数列 na的前n项和，17a，315S1求 na的通项公式；.r r 2求nS，并求nS的最小值18 12 分下列图是某地区2000 年至 2021 年环境根底设施投资额y单位：亿元的折线图为了预测该地区2021 年的环境根底设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000 年至 2021 年的数据时间变量t的值依次为 1 217，建立模型：?30.413.5yt；根据 2021 年至 2021 年的数据时间变量t的值依次为 1 27，建立模型：?9917.5yt 1分别利用这两个模型，求该地区2021 年的环境根底设施投资额的预测值；2你认为用哪个模型

6、得到的预测值更可靠？并说明理由19 12 分设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k的直线l与C交于A，B两点，|8AB1求l的方程；学科&网2求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程20 12 分如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中投资额240 220 200 180 160 140 120（汩汩 40 20 0，、d句d，、J句，ny l 47 53 56 37-l-2-l-2 2(XX)2001200220032004 20052006 2007 2008 2009 20102011 20122013 2014 20152016年份,r

7、 点1证明：PO平面ABC；2假设点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值PAOCBM21 12 分函数2()exf xax1假设1a，证明：当0 x时，()1f x；2假设()f x 在(0,)只有一个零点，求a二选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第一题计分 22 选修 44：坐标系与参数方程10 分在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos4sinxy，为参数，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt，t为参数1求C和l的直角坐标方程；2假设曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率23 选修

8、 45：不等式选讲10 分设函数()5|2|fxxax1当1a时，求不等式()0f x的解集；2假设()1f x，求 a的取值范围2021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1D 2A 3B 4B 5A 6A 7B 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空题132yx149 15121640 2三、解答题17 解：1设na的公差为d，由题意得13315ad由17a得 d=2所以na的通项公式为29nan2由 1得228(4)16nSnnn所以当 n=4 时，nS获得最小值，最小值为-1618 解：1利用模型，该地区2021 年的环境根底设施投资额的预测值为?30.

9、413.5 19226.1y(亿元)利用模型，该地区2021 年的环境根底设施投资额的预测值为?9917.59256.5y(亿元).r 2利用模型得到的预测值更可靠理由如下：从折线图可以看出，2000 年至2021 年的数据对应的点没有随机分布在直线30.413.5yt上下这说明利用2000 年至 2021 年的数据建立的线性模型不能很好地描绘环境根底设施投资额的变化趋势2021 年相对 2021 年的环境根底设施投资额有明显增加，2021 年至 2021 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2021年开场环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2021 年至 2021 年的

10、数据建立的线性模型?9917.5yt可以较好地描绘2021 年以后的环境根底设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠学科*网从计算结果看，相对于2021 年的环境根底设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比拟合理说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分19 解：1由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk设1221(,),(,)AyxyxB，由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk216160k，故122224kxkx所以122244

11、|(1)(1)xkABAFBFkx由题设知22448kk，解得1k舍去，1k因此 l 的方程为1yx2 由 1 得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，那么00220005,(1)(1)16.2yxyxx解得003,2xy或0011,6.xy因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy20 解：1因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP连结OB因为22ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC由222OPOBPB知POOB由,OPOB O

12、PAC知PO平面ABC2 如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.r.r 由得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAP取平面PAC的法向量(2,0,0)OB设(,2,0)(02)M aaa，那么(,4,0)AMaa设平面PAM的法向量为(,)x y zn由0,0APAMnn得22 30(4)0yzaxa y，可取(3(4),3,)aaan，所以2222 3(4)cos,2 3(4)3aOBaaan由可得3|cos,|2OB n所以2222 3|4|3=22 3(4)3aaaa解得4a舍去

13、，43a所以8 3 4 34(,)333n又(0,2,2 3)PC，所以3cos,4PC nfp,r-,r 一一一一.f,r,r（一）,r（一）,r,r,r,r,r 一,r(),r 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3421 解：1当1a时，()1f x等价于2(1)e10 xx设函数2()(1)e1xg xx，那么22()(21)e(1)exxg xxxx当1x时，()0g x，所以()g x在(0,)单调递减而(0)0g，故当0 x时，()0g x，即()1f x2设函数2()1exh xax()f x在(0,)只有一个零点当且仅当()h x在(0,)只有一个零点i当0a时，()0h x

14、，()h x没有零点；ii当0a时，()(2)exh xax x当(0,2)x时，()0h x；当(2,)x时，()0h x所以()h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增故24(2)1eah是()h x在0,)的最小值假设(2)0h，即2e4a，()h x在(0,)没有零点；假设(2)0h，即2e4a，()h x在(0,)只有一个零点；假设(2)0h，即2e4a，由于(0)1h，所以()h x在(0,2)有一个零点，.r 由1知，当0 x时，2exx，所以33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa故()h x在(2,4)a有一个零点，因此()h x在(

15、0,)有两个零点综上，()f x在(0,)只有一个零点时，2e4a22 解：1曲线C的直角坐标方程为221416xy当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x2将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(1 3cos)4(2cossin)80tt因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，那么120tt又由得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k23 解：1当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx可得()0fx的解集为|23xx2()1f x等价于|2|4xax而|2|2|xaxa，且当2x时等号成立故()1f x等价于|2|4a由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,62,)u