《不等关系与不等式》典型例题透析.pdf

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1、不等关系与不等式典型例题透析类型一：作差比较大小例 1.比较下列两代数式的大小。（1）3)(5)aa（与2)(4)aa（；（2）256xx与2259xx思路点拨:此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。解析：（1）223)(5)2)(4)(215)(28)70aaaaaaaa（，3)(5)2)(4)aaaa（.（2）222(259)(56)330 xxxxx，2225956xxxx

2、总结升华：用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论。举一反三：【变式 1】在以下各题的横线处适当的不等号：(1)2(32)62 6；（2）2(32)2(61)；（3）251561；（4）当0ab时，12loga12logb.【答案】(1)；（2）；（3）；（4）【变式 2】比较下列两代数式的大小：（1）(5)(9)xx与2(7)x；（2）22222abab与223ab.【答案】（1）2(5)(9)(7)xxx（2）22(222)(223)a

3、bababFF 一一一F F r一一一FF 一一一F.;2222(21)(21)(2)1aabbaabb222(1)(1)()110abab，22222223ababab.【变式 3】已知ab(0ab),试比较1a和1b的大小。【答案】11baabab，ab即0ba，当0ab时0baab，11ab；当0ab时0baab，11ab.【变式 4】已知a0,b0ab且，比较22ababba与的大小【答案】22()ababbaQ（）33222()2()()()()0abababaabbababab abab22.ababba类型二：作商比较大小例 2已知：a、bR,且ab,比较abbaa ba b与的

4、大小.思路点拨:本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.解析：a、bR，0aba b，0baa b作商：()()()()()abababa bbaa babaaaa bbabbb（*）(1)若 ab0,则1ba，a-b0,1)(baba,此时abbaa ba b成立；(2)若 ba0,则10ba,a-b0，1)(baba,此时abbaa ba b成立。综上，abbaa ba b总成立。总结升华：1、作商比较法的基本步骤是:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1 或等于 1 或小于 1 结论。2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举

5、一反三：【变式】已知abc、为互不相等的正数，求证：2a2b2cbcc aa ba b cabc.【答案】abc、为不等正数，不失一般性，设abc0,这时2a2b2ca b c0，b cc aa babc0，则有：2a2b2c(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)a bb ccab ccaa ba b cabcabc()()()abcbcaabc0Qabc1,ab0;1,bc0;01,c-ab,则 acbc2，则 ab;（）若 ababb2;（）若 ab|b|;（）若 ab,a1b1,则 a0,bbc2,所以 c0,从而 c20，故原命题为真命题。（）因为0aba，所以 a2ab 又

6、0bba，所以 abb2综合得a2abb2，故原命题为真命题（）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题（）因为baba11，所以0110abab所以00ababab，从而 abb，所以 a0,b0，故原命题为真命题举一反三：【变式 1】已知 a、b、c 满足 cba 且 acac B.c(b-a)0 C.cb20【答案】A；解析：abc,ac0Q，a0,c0，abac.故选 A.【变式 2】若 abv0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间222SSuStuvuvuv平均速度222Suvutu，2220uvvuuuuu，uu因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。举一反三：【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为 b;乙车用速度为a 行走一半路程，用速度 b 行走另一半路程，若ab，试判断哪辆车先到达B地.【答案】甲车先到达B地；解析：设从 A到 B的路程为S，甲车用的时间为1t，乙车用的时间为2t，则1112211,(),22222ttSSSSabSttababab222SS112S()S4S()S()S0222()2()ababababababababab abab abQ所以，甲车先到达B 地。