初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案).pdf

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1、分式竞赛专题训练1 分式的概念分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.经典例题(1)当x为何值时，分式22211xx有意义?(2)当x为何值时，分式22211xx的值为零?解题策略(1)要使分式22211xx有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x和11x，它们都不为零，即0 x且110 x，于是当0 x且1x时，分式22211xx有意义，(2)要使分式22211xx的值为零，应有2220 x且110 x，即1x且1x，于是当1x时，分式22211xx的值为零画龙点睛1.要使分式有意义，分式的分母不能为零.2.要使分式的值

2、为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1.(1)要使分式24xx有意义的x的取值范围是()(A)2x(B)2x(C)2x(D)2x(2)若分式的的值为零，则x的值为()(A)3(B)3或3(C)3(D)02.(1)当x时，分式23(1)16xx的值为零;(2)当x时，分式2101xx3.已知当2x时，分式xbxa无意义;当4x时，分式的值xbxa为零，求ab.融会贯通4.若201aa，求a值的范围.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0 的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约

3、分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.经典例题若2731xxx，求2421xxx的值解题策略因为2731xxx，所以0 x将等式2731xxx的左边分子、分母同时除以x，得1713xx，所以有1227xx因此242222211149112214351()1()17xxxxxxx画龙点睛对于含有1xx形式的分式，要注意以下的恒等变形:22211()2xxxx22211()2xxxx2211()()4xxxx举一反三1.(1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;10.50.2210.20.53abcabc(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最

4、高次项系数是正数:3211aaa2.已知13xyxy，求2322xxyyxyxy的值.3.已知13xx，求2421xxx的值.融会贯通4.已知3abba，求22224aabbaabb的值.3 分式的四则运算分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.经典例题计算：22448()()3()yxxyxyxyxyxyxyxy解题策略原式2222()4()43()()8xyyxyxxy xyxyxyxyxyg()(3)(3)()(3)(3)xyxyxyyxxyxyxyxyxyggyx画龙点睛在进行分式的四则运算时

5、，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.举一反三1.先化简，再求值：262393mmmm，其中2m.2.计算：322441124aaabababab3.(1)已知实数a满足2280aa，求22213211143aaaaaaa的值(2)已知a、b为实数，且1ab，设11abMab，1111Nab，试比较M、N的大小关系.融会贯通4.甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800 千克;乙每次用去600 元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?

6、4 分式的运算技巧裂项法我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)xxxxx反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11ABABBA，111(1)1n nnn经典例题已知54(1)(21)121xABxxxx，求A、B的值解题策略由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)xABAxB xxxxxxx(2)(1)(21)AB xBAxx，可得254ABBA，解得13AB画龙点睛已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A、B的值即可.举一反三1.若在关于x的恒等式222MxNcxxxaxb中

7、，22MxNxx为最简分式，且有ab，abc，求M，N.2.化简：222211113256712xxxxxxxx3.计算：222222abcbcacabaabacbcbabbcaccacbcab融会贯通4.已知21(2)(3)23xbcaxxxx，当1,2,3x时永远成立，求以a、b、c为三边长的四边形的第四边d的取值范围.5 含有几个相等分式问题的解法有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.经典例题已知xyzxyzxyzzyx，且()()()1x y y z z xxy

8、z，求x y z的值解题策略由xyzxyzxyzzyx得111xyxzyzzyx从而xyxzyzzyx设xyxzyzkzyx，则xykz，xzky，yzkx三式相加得2()()xyzk xyz，即()(2)0 xyzk，所以0 xyz，或2k若0 xyz，则1xy xzyzzyxg，符合条件；若2k，则()()()81xyyzzxxyz与题设矛盾，所以2k不成立因此0 xyz画龙点睛1.将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.2.在得到等式2()()xyzk xyz后.不要直接将等式的两边除以xyz，因为此式可能等于0.3.在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.举一

9、反三1.(1)已知275xyz，求值xyzz；xyz；xyzx(2)已知2310254abbcca，求56789abcab的值2.若abcdbcaa，求abcdabcd的值3.已知实数a、b、c满足0abc，并且abckbccaab，则直线3ykx一定通过()(A)第一、二、三象限(B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限融会贯通4.已知9pqr，且222pqrxyzyzxzxy，求pxqyrzxyz的值6 整数指数幂一般地，当n是正整数时，1(0)nnaaa，这就是说(0)naa是na的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.经典例题已知2mx，3

10、ny，求24()mnxy的值解题策略242(4)(4)84()mnmnmnxyxyxygg848481()()23256mnxy画龙点睛将所求的代数式转化为以mx、ny为底的乘方，进而代入相应的值进行计算.举一反三1.计算(1)222242(2)()a ba ba bg(2)541321111(1)()()()()21023(3)10222(5 10)(0.2 10)(200)2.水 与我们日常生活密不可分，科学家研 究发现，一个水分子的质量大约是263 10kg，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分 子 是 由2 个 氢 原 子 和 一 个 氧 原 子 构 成

11、 的.已 知 一 个 氧 原 子 的 质 量 约 为262.665 10kg，求一个氢原子的质量.3.已知2310aa，求(1)1aa；(2)22aa；(3)44aa融会贯通4.如图，点O、A在数轴上表示的数分别是0、0.1.将线段(OA分成 100 等份，其分点由左向右依次为1M、2M，99M;再将线1OM分成 100 等份，其分点由左向右依次为1N、2N，99N;继续将线段1ON分成 100 等份，其分点由左向右依次为1P、2P，99P.则点37P所表示的数用科学记数法表示为7 分式方程的解法分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.经典例题解方

12、程52432332xxxx解题策略解法一去分母，得(52)(32)(43)(23)xxxx2215610486129xxxxxx所以1x验根知1x为原方程的解.解法二方程两边加1，得5243112332xxxx即222332xx所以2332xx解得1x验根知1x为原方程的解.解法三原式可化为22112332xx所以222332xx以下同解法二画龙点睛1.通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的方法来解答.2.除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.3.解完分式方程后，要进行检

13、验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生增根.举一反三1.(1)解方程2227461xxxxx(2)解方程2222112xxxxxxxx2.(1)解方程22252571061268xxxxxxxxx(2)解方程253336237456xxxxxxxx3.若解方程61(1)(1)1mxxx是会有增根，求它的增根融会贯通4.已 知 方 程11xcxc(c是 常 数，0c)的 解 是c或1c，求 方 程2131462aaxxa(a是常数，且0a)的解.8 列分式方程解应用题和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的

14、方法.经典例题某市今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12 月份水费是 18 元，而今年5月份的水费是36 元，已知小明家今年5 月份的用水量比去年12 月多 6 立方米，求该市今年居民用水的价格.解题策略设该市去年居民用水价格为x元/m3，则今年用水价格为(125%)x元/m3.根据题意得:36186(125%)xx，解得：1.8x经检验：1.8x是原方程的解.所以(125%)2.25x所以该市今年居民用水的价格为2.25 元/m3.画龙点睛列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解

15、分式方程并验根;写出答案.举一反三1.某服装厂准备加工300 套演出服，加工60 套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2 倍，结果共用了9 天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?2.便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000 元购进若干件，以每件58 元的价格出售，很快售完.又用 17 600 元购进同种衬衫，数量是第一次的2 倍，每件进价比第一次贵了4 元，服装店仍按每件58 元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?3.从甲地到乙地共50 km，其中开始的10 km 是平路，中间的20 km 是上坡路，余下的 20 km 又是平路，小明骑自行车从甲地出发，

16、经过2 小时 10 分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1 小时 50 分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通4.某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完成.(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30 天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12 天，如果甲乙两组先合做20 天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天?(2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的56后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.参考答案1 分式的概念1.(1)B(2)C

17、 2.(1)3x(2)12x或1x3.6 4.21a2 分式的基本性质1.(1)1561561510abcabc(2)3211aaa2.由已知，得3xyxy，所以原式2()36333()23255xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy3.242222211111113181()1xxxxxxx4.将22224aabbaabb分子和分母同时除以ab，得13 143474abbaabba3 分式的四则运算1.262393mmmm633(3)(3)2mmmmmg33mm当2m时，原式3235323mm2.322441124aaabababab3222244224aaaababab33444444a

18、aabab7884aab3.(1)22213211143aaaaaaa213(1)1(1)(1)(1)(3)aaaaaaa2111(1)aaa22(1)a由2280aa知2(1)9a所以原式222(1)9a(2)11()()1111abMNabab111111abaabb1111abab(1)(1)(1)(1)(1)(1)abbaab(1)(1)(1)(1)abababbaab220(1)(1)abab所以MN4.设两次购买肥料的单价分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正数，且ab)，则甲两次购买肥料的平均单价为：8008008008002abab(元/千克).乙两次购买肥料的平均单价为：6

19、006002600600ababab(元/千克).因为22()2()ababababa ab，又ab，0a，0b，所以2()0()aba ab所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些4 分式的运算技巧裂项法1.222(2)22()()()()MxNxbcxcac xbcaxxxaxbxaxb且22(1)(2)xxxx，ab所以2a，1b，1cab从而可得21Mx，24Nbca2.原式1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)x xxxxxxx111111111122334xxxxxxxx114xx3.原式()()()()()()()()()()()()abacbcbacac

20、bab acbc bacacb111111acabbabccbca04.因为23bcaxx(2)(3)(3)(2)(2)(3)a xxb xc xxx25632(2)(3)axaxabxbcxcxx所以2215632xaxaxabxbcxc所以1a，50abc，6321abc解得1a，3b，8c所以四边形的第四边d的取值范围应满足138d，138d，1 82d，381d，解得412d5 含有几个相等分式问题的解法1.(1)设275xyzk，则2,7,5xk yk zk2751455xyzkkkzk27955xykkzk27522xyzkkkxk(2)设2310254abbccak则225310

21、4abkbckcak解得2akbkck56756(14)25898917abckkkabkk2.设abcdkbcaa则234,dak cdkakbckakabkak所以41k，得1k当1k时，abcd，原式0当1k时，abcd，原式23.(),(),()k abc k bca k cab于是2()k abcabc因为0abc所以12k直线132yx的图象经过第一、三、四象限故选择 D 4.设222pqrkxyzyzxzxy，故222(),(),()pk xyz qk yzx rk zxy所以222()9pqrk xyzyzzxxy又pxqyrz333()k xxyzyxyzzxyz333()k

22、 xyzxyzxyzxyz222()()k xyz xyzyzzxxy9()xyz所以pxqyrzxyz96 整数指数幂1.(1)424ba(2)149(3)125 102.232.6710个271.67510kg 3.(1)因为2310aa，且0a所以213aa所以2113aaaa(2)2212()27aaaa(3)44222()247aaaa4.1M表示的数为310.1101001N表示的数为35110101001P571101010037P表示的数为6373.7 107 分式方程的解法1.(1)原方程分母因式分解为746(1)(1)(1)(1)x xx xxx去分母得7(1)4(1)6x

23、xx解得35x检验知35x为原方程的根(2)原方程式变形为22221112xxxx整理得2212xxxx解得12x检验知12x为原方程的根2.(1)原方程分母因式分解为525710(3)(2)(4)(3)(2)(4)xxxxxxxxx去分母得5(4)(25)(2)(710)(3)x xxxxx解得1x检验知1x为原方程的根(2)原方程化为2(7)93(4)93(5)92(6)97456xxxxxxxx999923327456xxxx11117456xxxx11117654xxxx(6)(7)(4)(5)(7)(6)(5)(4)xxxxxxxx11(7)(6)(5)(4)xxxx22111342

24、920 xxxx422x解得112x检验把112x代入最简公分母(7)(4)(5)(6)0 xxxx，所以112x是原方程的根3.去分母，得6(1)(1)(1)m xxx如果增根为1x，则6(1 1)0m，3m如果增根为1x，则6(1 1)0m，无解，所以3m4.将方程2131462aaxxa整理得112323xaxa112323xaxa所以23xa，或123xa故32ax或312axa8 列分式方程解应用题1.设服装厂原来每天加工x套演出服.根据题意，得603006092xx解得20 x经检验20 x是原方程的根.2.设原进价为x元一件，则第二次进价为(4)x元一件，依题意得17600800

25、024xxg解得40 x经检验40 x是原方程的根服装店这笔生意第一次购进8000200 x件，第二次购进176004004x件，服装店这笔生意共盈利200(5840)400(5844)9200(元).3.设小明在平路上的速度是xkm/h，根据题意，得131011203()66xx，解得15x经检验15x是原方程的根，且符合题意.4.(1)设规定的时间是x天，则甲单独完成需要(30)x天，乙单独完成需要(12)x，由题意，得11120()(20)1301230 xxxx，解得24x经检验24x是原方程的根，所以规定的时间是24 天;(2)由题意，因为规定时间是24 天，所以甲单独完成需要243054(天)，乙单独完成需要241236(天).留下甲完成需要的时间是:51151()(1)654366541892724，不能在规定时间完成任务;留下乙完成需要的时间是:51151()(1)1862465436636能在规定时间完成任务.所以留下乙组好.