历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答.pdf

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1、1 历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第届（1967 年于波兰的华沙）【题】质量0.2kg 的小球静置于垂直柱上，柱高5m。一粒质量0.01kg、以速度0500m/s 飞行的子弹水平地穿过球心。球落在距离柱s20m 的地面上。问子弹落在地面何处？子弹动能中有多少转换为热能？解：在所有碰撞情况下，系统的总动量均保持不变：MVmvmv0其中v和V分别是碰撞后子弹的速度和小球的速度.两者的飞行时间都是01.12ghts 球在这段时间沿水平方向走过20m的距离，故它在水平方向的速度为：8.1901.120V（m/s）由方程 0.01 500 0.01v 0.2 19.8可求出子弹在碰撞后的速度为：v1

2、04m/s 子弹也在 1.01s 后落地，故它落在与柱的水平距离为Svt1041.01 105m 的地面上。碰撞前子弹的初始动能为2021mv1250 J 球在刚碰撞后的动能为221MV39.2 J 子弹在刚碰撞后的动能为221mv54 J 与初始动能相比，两者之差为1250 J 93.2 J 1156.8 J 这表明原来动能的92.5%被系统吸收而变为热能。这种碰撞不是完全非弹性碰撞。在完全弹性碰撞的情形下，动能是守恒的。而如果是完全非弹性碰撞，子弹将留在球内。【题2】右图（甲）为无限的电阻网络，其中每个电阻均为r，求、两点间的总电阻。解：如图（乙）所示、两点间的总电阻应等于、两点间的总电阻

3、与电阻的并联，再与串联图（甲）后的等效电阻。如果网络是无限的，则、两点间的总电阻应等于、两点间的总电阻，设为x。根据它们的串并联关系有：mMhSsABrrrrrrrrABrrrrrrrr2 rRrRrRxxx图（乙）解上式可得：rRx251【题 3】给定两个同样的球，其一放在水平面上，另一个以细线悬挂。供给两球相同的热量，问两球温度是否趋于相同？说明你的理由（忽略各种热量损失）解答：如右图所示，球体受热，体积增大。放在水平面上的球重心升高，克服重力做功要耗费一部分热量，于是剩下提高球体温度的热量减少了些。以细线悬挂的球与之相反。结果放在水平面上球的温度将稍小于以细线悬挂球的温度。（这一差别是很

4、小的，对于半径为10cm的铜球来说，相对差值约为10-7 K）【实验题】测定石油的比热。可供使用的物品有：天平、量热器、温度计、电源、开关、导线、停表、电热器、容器、水和石油。解答：把已知温度t1和质量m1的水，与已知温度t2和质量m2的石油在量热器里混合，测出混合物的温度t3。从包含一方放热和另一方吸热的方程中可算出石油的比热。这是通常测定石油比热的方法。也可以先用电热器加热水，再加热等量的石油，并且及时观察温度的改变。两条温度曲线起始点的切线斜率与比热成反比关系，据此可以测定石油的比热。【替换题】（为在校没有上过电学的学生而设。）密闭容器中装有一个大气压、温度为的干燥空气10 升，加入3

5、克水后将系统加热到100，求容器的压强。解：在 100时，全部水都处于汽相。3 克水是61摩尔（183 6），它们在 100和atm 下的体积是：11.5273373614.22（升）由状态方程求出61摩尔水蒸气的压强：373102734.2261水气p解得：水气p0.507 atm 由空气的状态方程：3732731空气p解得：空气p1.366 atm 把两部分压强相加得到总压强为：水气空气ppp1.366 atm 0.507 atm 1.873 atm 3 历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第 2 届（1968 年于匈牙利的布达佩斯）【题】在倾角为300的斜面上，质量为m24 kg 的木块经

6、细绳与质量为m18 kg、半径为r 5 cm 的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系数 0.2，忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。解：如果绳子是拉紧，则圆柱体与木块一同加速运动，设加速度为a，绳子中的张力为F，圆柱体与斜面之间的摩擦力为S，则圆柱体的角加速度为ar。对木块有：m2am2gsin m2gcosF对圆柱体有：m1am1gsin SF S rIa r其中I是圆柱体的转动惯量，S r是摩擦力矩。解以上方程组可得221221cossin)(rImmmmmga（1）2212212cossin)(rImmmmmgrIS（2）2212212sincos)(rImmrIrImg

7、mF（3）均匀圆柱体的转动惯量为221rmI代入数据可得a0.3317g 3.25m/s2S 13.01 N F 0.196 N 讨论：系统开始运动的条件是a 0。把a0 代入（1）式，得出倾角的极限1为：3tan2121mmm0.0667 13049/单从圆柱体来看，1；单从木块来看，1tg-111019/如果绳子没有拉紧，则两物体分开运动，将F0 代入（3）式，得出极限角为：3)1(t a n212Irm0.6 230058/m1m2a4 圆柱体开始打滑的条件是S值（由（2）式取同样的动摩擦系数算出）达到 m1gcos，由此得出的3值与已得出的2值相同。圆柱体与木块两者的中心加速度相同，都

8、为g（sin gcos）圆柱体底部的摩擦力为 m1gcos，边缘各点的切向加速度为a（Irm21）gcos，【题 2】一个杯里装有体积为300 cm3、温度为 00C的甲苯，另一个杯里装有体积为110 cm3、温度为1000C的甲苯，两体积之和为410 cm3。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯的体膨胀系数为0.001（0C），忽略混合过程中的热量损失。解：若液体温度为t1时的体积为V1，则在 00C时的体积为11101tVV同理，若液体温度为t2时的体积为V2，则在 00C时的体积为22201tVV如果液体在00C时的密度为d，则质量分别为m1V10dm2V20d混合后，液体的温度为2122

9、11mmtmtmt在该温度下的体积分别为V10（t）和V20（t）。所以混合后的体积之和为V10（t）V20（t）V10V20（V10V20）t V10V2021221121mmtmtmdmm V10V20（dtmdtm2211）V10V10t1V20V20t2V10（t1）V20（t2）V1V2体积之和不变，在本题仍为410 cm3。当把多杯甲苯不断地加入进行混合，对任何数量的甲苯这个结果都成立。【题 3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内，以450角射在半圆柱体的平面上（如右图），玻璃的折射率为2。试问光线在何处离开圆柱体表面？解：用角度 描述光线在玻璃半圆柱体内的位置如解图2.3 所示。按

10、照折射定律：5 2sin45sin0得：sin300所有折射光线与垂直线的夹角均为300，有必要研究一下，当 角从 00增至1800的过程中发生了什么现象。不难看出，角不可能小于600。光线从玻璃射向空气全反射的临界角由解图 3.2 221sinnt求出：t 450，则：t1800600450750如果 角大于 750，光线将离开圆柱体。随着 角的增加，光线将再次发生全反射，此时 t900300450 1650故当：750 1650时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为1650750900。【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子，每个盒上有两个插孔。不许打开盒子，试确定盒中元件的种类

11、，并测定其特性。可供使用的是，内阻和精度已知交流和直流仪器，以及交流电源（频率50 HZ）和直流电源。解：在任何一对插孔中都测不到电压，因此，盒子都不含有电源先用交流，再用直流测电阻，有一盒给出相同的结果。结论是：该盒包含一个简单电阻，其阻值由测量确定。另一盒有极大的直流电阻，但对交流来说是导体。结论是：该盒包含一个电容，其电容值由RC1算得。第三个盒子对交流和直流都是导体，而交流电阻较大。结论是：该盒包含一个电阻和电感，两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第 3 届AOB6（1969 年于捷克斯洛伐克的布尔诺）【题 1】右图的力学系统由三辆车组成，质量分别

12、为mA0.3kg，mB0.2kg，mC1.5kg。（a）沿水平方向作用于C车的力F很大。使A、B两车相对C车保持静止。求力F及绳子的张力。（b）C车静止，求A、B两车的加速度及绳子的张力。（忽略阻力和摩擦力，忽略滑轮和车轮的转动惯量）解：（a）A、B两车相对C车保持静止，A车在竖直方向没有加速度，因此它对绳的拉力为mAg。这个力使B车得到加速度gmmaBAB。又三车系统以相同的加速度运动，则：gmmmmmFBACBA)(由给定的数值得：aBaCaA1.5g 14.7m/s2绳中的张力为：TmAg2.94N 水平推力为：F29.4N（b）如果C车静止，则力mAg 使质量mAmB加速，加速度为：B

13、AAABmmgma0.6g 5.88N 绳中的张力为：T/mAgmA0.6g 1.176N【题 2】在质量为m1的铜量热器中装有质量为m2的水，共同的温度为t12；一块质量为m3、温度为t3的冰投入量热器中（如右图所示）。试求出在各种可能 情 形 下 的 最 终 温 度。计 算 中t3取 负 值。铜 的 比 热c10.1kca l/kg 0C，水的比热c21kcal/kg 0C，冰的比热c30.5 kcal/kg 0C，冰的熔解热L80kcal/kg。解：可能存在三种不同的终态：（a）只有冰；（b）冰水共存；（c）只有水。（a）冰温度升高，但没有熔化，达到某一（负）温度ta；放出的热量和吸收的

14、热量相等：c3 m3（tat3）（c1 m1c2 m2）（t12ta）m2L 得出最终的温度为3332112333122211)(cmcmcmLmtcmtcmcmta（1）情况（a）的条件是ta（注：指00C），如果上式的分子为负值，我们得到下列条件：（c1 m1c2 m2）t12c3 m3t3m2L（2）（c）现在让我们讨论冰块全部熔化的情况。设它们最终的温度为tc，冰块吸收的热量等于量热器和水放出的热量：c3 m3（0t3）m3 Lc2 m3tc（c1 m1c2 m2）（t12tc）得出最终的温度为2322113333122211)(cmcmcmLmtcmtcmcmtc（3）这种情况只有在

15、tc时才能发生。取上式的分子为正值，得到下列条件：（c1 m1c2 m2）t12c3 m3t3m3L（4）（b）冰水共存这种情况是冰和水混合后都以00C共存于量热器中。根据（2）式和（4）式，条件为：c3 m3t3m2L（c1 m1c2 m2）t12c3 m3t3m3LABCFm1c1t1m2c2t2m3c3t37 如果混合后有x克冰熔化了，则c3 m3t3x L（c1 m1c2 m2）t12故冰熔化了的质量为Ltcmtcmcmx333122211)(于是混合后，在量热器中有质量为（m3x）的冰和质量为（m2x）的水。x为负值意味着有水结为冰，冰的质量增加。对于给定的数值，我们可以从公式容易得

16、到最终的结果。【题 3】在竖直平面内有半径R5cm的线圈（如图）。质量m1g 的小球系在长度为l的绝缘轻绳上，从线圈的最高点悬挂着。当线圈和小球两者都带有Q910-8C 的相同电量时，发现小球在垂直线圈平面的对称轴上处于平衡。求绳的长度。解：如果线圈上的全部电荷集中与一点，则库仑力为22lQkF线圈上各点施于小球的力与对称轴夹角为，它们在轴上的投影为FnFcos。小球的重量为mg。由上图可得：22sinlQkmglRFmg所以：32mgRkQl7.2cm（k9 109N m2/C2）（注：以上解答为原解，可能有错）另解：如解答图3.3.1，在线圈上取一电荷微元，长为d d 2R Q。则微元电荷

17、对小球的作用力为：2ldQkFi把Fi沿平行轴和垂直轴分解：FniFi cosFtiFi sin在线圈上取与上电荷微元对称的电荷微元，如解答图3.3.2。对称的电荷微元，长也为d，电荷d，它对小球的作用力为：2/ldQkFi把Fi沿平行轴和垂直轴分解：Fn/iFi/cos解答图 3.3.2 Ft/iFi/sinFni与Fn/i方向相同，合力为大小相加，Fti与Ft/i方向相反，合力为大小相减，等于零。所以线圈对小球作用的库仑力为：FnFnicoscos2222lQklQk对小球受力分析，小球受三力作用：重力mg、库仑力Fn、拉力T，如解答图3.3.3。则：mgFFnlRFiFnilRFtiFi

18、FnilRFtimgFFnlRT8 mgFRlncos解答图 3.3.3 把Fncos22lQk代入上式解得：32mgRkQl7.2cm（k9109N m2/C2）【题 4】一块平板玻璃放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的薄空气隙。波长在0.4 m到 1.15 m之间的电磁波垂直入射到平板上，经空气隙的两边表面反射而发生干涉。在此波段中只有两种波长获得极大的增强，其一是10.4 m。求空气隙的厚度。解：光在厚度为d的空气隙中往返，经过的距离为2d。光被玻璃反射时，还经受1800的相位改变。于是对波长为1的光，增强的条件为：2d2111k（k10，1，2，3，,）类似地，对其它

19、波长的光，产生极大增强的条件是：2d2222k（k20，1，2，3，,）比较这两个条件，得到：12211212kk根据波长给定的范围，得到：875.24.015.112这个比值的最小可能值为1，最大可能值为2.875。因此我们得到关于k1和k2的下列条件：121221kk2.875（1）对不同的k1和k2，我们算出上述分数值，得到下表：k1 k20 1 2 3 4 5 0 1 3 5 7 9 11 1 0.33 1 1.67 2.33 3 3.67 2 0.2 0.6 1 1.4 1.8 2.2 3 0.14 0.43 0.71 1 1.29 1.57 4 0.11 0.33 0.56 0.7

20、8 1 1.22 5 0.09 0.27 0.45 0.64 0.81 1 只有分数值满足条件（）式的各个k1和k2对才是合格的，我们已在表格中算出。但其中只有一对是允许的。这就是说，我们应当找出这样的一列，其中只能有一对是允许的k1和k2。从表中看出，仅有的是k12，k21 这一对，其分数值是1.67，这就是解答。对于 k10.4 m的光，根据2d20.4 0.2 1m，得到空气隙的厚度为d0.5 m d9 由 20.5222得到第二个波长为k20.667 m【实验题】给定一闭合电路，它是由已知电阻R、未知电阻X以及内阻可以忽略的电源组成的。电阻X是可调电阻器，由引线、毫米标尺、滑动接触块组

21、成。另一电路由干电池和零点在中心的电流计组成，它与主电路的连接方式使得没有电流流过电流计。试测定电阻X及端电压之比。EURXxEURXy解答图 3.5.1 解答图 3.5.2 解答：联接两种补偿电路，如解答图3.5.1和解答图3.5.2。第一次测量不包括R。滑动接触块的位置在第一次测量中由比率x给出，在第二次测量中由y给出，在此两中测量下，电阻值之比等于电势差之比，所以有XRxXUE，XRyXRUE解得：)1(yxRX把)1(yxRX代入XRxXUE得：yxxUE1历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答第届（1970 年于苏联的莫斯科）【题 1】如图 4.1（a)、（b），在质量M 1kg 的木板

22、上有质量m 0.1kg 的小雪橇。雪橇10 上的马达牵引着一根绳子，使雪橇以速度v00.1m/s运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数 0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L0.5m。绳子拴在（a）远处的桩子，（b）木板的端面上。试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面？mMLmML图 4.1（a）图 4.1（b）解：（a）在第一种情形中（如图4.1（a），雪橇处于匀速运动状态。雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为mg，它作用在木板上，产生的加速度Mmga，直至木板达到雪橇的速度v0为止。加速

23、时间为mgMvavt0005.1s 在这段时间内，雪橇的位移为mgMvavS22202000.255m 因此，雪橇离木板右端点的距离为0.5m 0.255m0.245m 雪橇不能达到木板的一端，因为这段时间以后，木板与雪橇以相同的速度v0一起运动。在木板加速期间，马达必须用力mg牵引绳子，但以后马达不能施加力的作用，它只是卷绳子。（b）在第二种情形中（如图4.1（b），木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个孤立系统，可以用动量守恒定律。当我们放开木板时，雪橇的动量为mv0，释放后的木板具有速度v2，它由下式决定：mv0M v2m（v0v2）此式表明v2，所以木板保持不动，雪橇以同一速度继续前

24、进。雪橇达到木板右端的时间为1.05.00vLt5 s【题 2】NaCl 的晶体点阵由边长为5.6 10-8cm的立方晶胞组成，它是面心立方点阵。钠原子量约为23，氯原子量为35.5，NaCl 密度为2.22g/cm3。试计算氢原子的质量（如图4.2）。解：我们先求出一个晶胞的Na离子数。在立方晶胞中心有一个离子，在立方晶胞的每一边也有一个离子，但后者仅有四分之一是属于这个晶胞的。故钠离子数为：44121氯离子也是这个数。密度可以表示为晶图 4.2 5.610-8cm11 胞的质量与体积之比，故若用m表示氢原子的质量，则密度可表示为：22.2)106.5(5.35423438mm解上式可求得氢

25、原子的质量为m1.66 10-24g 1.66 10-27kg【题 3】半径r10cm的金属球置于半径R20cm的薄金属空心球内，两球同心。内球靠一根长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量Q10-8C，求外球电势（如图4.3）。解：这里有两个电容，并联连接。其一由外球和内球组成，另一由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。导体球相对远处地球的电容为kR，其中k9109 N m2/C2，R为导体球半径。在空心球情形，如果内球接地，电容为：)11(1RrkCa，图 4.3 所以：rRRrkCa1两个电容并联总电容为：rRRkrRRrkkRC211把R0.2m，r0.1m，k9109 N m2/C2

26、代入上式得：C44.410-12F44.4 pF 故外球相对与地球的电势为：CQU 225V（注：Ca是内外球组成的球形电容器的电容，与内球是否接地无关。）【题 4】在半径r2m、孔径d0.5m 的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅由原来的1/8，问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上？解：我们只有采用较精确形式的反射定律，通过利用某些数学近似来求解本题。按照教科书中通常的理论推导，半径POR的凹面镜的焦点位于距离R的中点F处。我们用h表示凹面镜孔径之半。在P与轴交于F1点。

27、OP F1是等腰三角形。则：cos21ROF故实际焦点与理论距离的偏差为)1(s e c22c o s211RRROFOFFFrRhPFF1O12 我们把圆形屏放在点F处，要求出屏幕的最小半径值x。在直角三角形P F F1中，应用通常的小角近似，得：)1(sec2)1(sec222sin2tan111hRhRRhFFFFFFx对于小角度：21cos2，故21cos1sec2将Rh代入，得焦“斑”的半径为232Rhx将数值：h50/2 25cm；R 200cm，代入即得：x0.195cm1.95mm 再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为x，则入射到凹面镜的光束半径为322xRh如果我们用半径k

28、x的屏代替半径为x的屏，则入射光束的半径为：322kxRhk入射光的量正比于2kh，因此322222)2(khkxRhk本题情形是81k，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的41【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜，一块有几何图形的屏，一支杆和一把卷尺。仅用所给的工具，以不同的方法测定透镜的焦距。解答：有几种可能的方法。在凸透镜情形，我们用目视观查虚像的消失，并测定透镜的距离。我们注视着实像，借助于视差把杆放在实像的位置上，测量物距和像距，从而计算出焦距。再看凹透镜情形。我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起，并用上述方法之一测量系统的焦距，然后算出凹透的焦距。历届国际物理奥林匹克竞赛

29、试题与解答第 5 届（1971 年于保加利亚的索菲亚）【题 1】质量为m1和m2的物体挂在绳子的两端，绳子跨过双斜面顶部的滑轮，如图 5.1。斜面质量为m，与水平面的夹角为1和2。整个系m2m1m13 统初态静止。求放开后斜面的加速度和物体的加速度。斜面保持静止的条件是什么？摩擦可以忽略。解：我们用a表示双斜面在惯性参照系中的加速度（正号表示向右的方向）。用a0表示物体相对斜面的加速度（正号表示左边物体m下降）两个物体在惯性系中的加速度a1和a2可由矢量a和a0相加得到（如解图 5.1图 5.1）。用F表示绳子中的张力。对沿斜面方向的分量应用牛顿第二定律。使物体m1加速下降的力是m1gsin1

30、F在惯性系中，沿斜面方向的加速度分量为a0acos1所以，对此斜面分量，牛顿第二定律为：解图 5.1 m1（a0acos1）m1gsin1F同样，对于m2有m2（a0acos2）Fm2gsin2两式相加：（m1cos1m2cos2）a（m1m2）a0（m1sin1m2sin2）g（1）我们用动量守恒原理来研究斜面的运动。斜面在惯性系中的速度为v（向右）。物体相对斜面的速度为v0。故斜面上两物体在惯性系中的速度的水平分量（向左）分别为：v0 cos1v和v0 cos2v利用动量守恒原理：m1（v0 cos1v）m2（v0 cos2v）m v对匀加速运动，速度与加速度成正比，因此有：m1（a0co

31、s1a）m2（a0cos2a）m a所以0212211coscosammmmma（2）上式给出了有关加速度的信息。很明显，只有当两物体都静止，即两个物体平衡时，斜面才静止，这是动量守恒原理的自然结果。由方程（1）和（2），可得到加速度为：gmmmmmmmmmmmma222112121221121)coscos()()sinsin)(gmmmmmmmmmmma22211212122112211)coscos()()sinsin)(coscos(如果m1sin1m2sin2即1221sinsinmm则两个加速度均为零。【题 2】在一个带活塞的圆筒内装配着著名的托里拆利装置。在水银柱上方有氢气，在圆

32、筒内有空气。第一步，水银柱高度h170cm，空气压强pk1 1.314atm 133.4kPa 100cmHg，温度为 00C 273K。第二步，向上提升活塞，直至水银柱高度降为h240cm，这时空气压强为pk20.79atm 80kPa60cmHg。第三步，保持体积不变，提高温度到T3，此时水银柱的高度为h350cm。最后，第四步，温度为T4，水银柱的高度为h445cm，空气压强没有改变。求出最后一步中氢气的温度和压强。m2m1ma2aaa1a0a0a14 解：我们将空气和氢气的数据列成表。两者温度是相同的。玻璃管的长度用L表示。为了简单起见，我们以装有氢气的管子长度的厘米数来度量氢气的体积

33、。压强全部用cmHg为单位给出（见解图5.2 第一步至第四步）。L70cm40cm50cm45cm次数 1 2 3 4 氢气压强ph1ph2ph3ph4氢气体积V h1V h2V h3V h4空气压强100cmHg 60cmHg pk3pk4空气体积V k1V k2V k3V k4两者温度273K 273K T3T4解图 5.2 从第一步到第二步，对氢气应用玻意耳定律：（L70）（10070）（L40）（6040）由此式求得玻璃管的长度L130cm，因此，氢气在第一步至第四步中体积分别为：V h160cm，V h2 90cm，V h380cm，V h485cm 从第二步到第三步，氢气的状态方程

34、为：3380)50(27390)4060(Tph对空气应用盖吕萨克定律：2736033Tpk从第三步到第四步，我们只有向上提升活塞，以便使空气压强保持不变。氢气的状态方程为：443385)45(80)50(TpTpkk解以上方程组，得：pk3pk4 80cmHg，T3364K，T4 451K，所以氢气的压强为：ph330cmHg ph435cmHg 算出空气的体积比为：V k1:V k2:V k46:10:12.4（注：cmHg为实用单位，应转换成国际单位Pa）15【题 3】四个等值电阻R、四个C1F 的电容器以及四个电池分别在立方体的各边连接起来，如图5.3 所示。各电池的电压为U1 4V，

35、U28V，U312V，U416V，它们的内电阻均可忽略。（a）求每个电容器的电压和电量，（b）若H点与B点短路，求电容器C2上的电量。解：（a）将这个网络展开成平面图（如解图5.3.1）。由于电流不能通过电容器，所以只在图图 5.3 解图 5.3.1 中 A-B-C-G-H-E-A 回路的导线中有电流。在这个回路中，电压为12V，电阻为4R。因此电流为：RUUI414于是就知道了电阻和电源两端的电压。设A点的电势为零，就能很容易地算出各点的电势。A 0 V B(U4U1)/4 3 V C(U4U1)/2 6 VG(U4U1)/2 U1 10 VH(U4U1)/2 U1(U4U1)/4 13 V

36、E(U4U1)/2 U1(U4U1)/2 16 VD(U4U1)/2 U1(U4U1)/4 U3 1 VF(U4U1)/4 U3U2 11 V 从每个电容器两端的电势差，可以算出其电量如下：C1（1110）V1V，110-6C。C2（1611）V5V，510-6C。C3（61）V5V，5 10-6C。C4（10）V1V，1 10-6C。我们可以算出各电容器的储能量CU 2/2。电容器C1和C4各有 0.5 10-6 J，电容器C2和C3各有 12.5 10-6 J。（b）H点与B点连接，我们得到两个分电路。如解图5.3.2。在下方的分电路中，电流为RU24，E点相对 A点的电势是U416 V，

37、H点与B点的电势是U42 8 V。F点的电势为242UU 16 V 于是，电容器C2两极板的电势均为16 V，结果C2上无电量。解图 5.3.2 ABCDEFGHC2U2C3U3C1U1C4U4RRRR+_+_+_+_RRC4C3U2+_U3+_RRC1C2U1+_U4+_ABCDEFGHRRRRU1+_U4+_ABCEGHU2+_C216【题 4】在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心距离镜面 3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸。一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到的鱼的两个像的相对速度。水的折射率为34n。如图 5.4

38、（a），5.4（b）解：鱼在 1 秒钟内游过的距离为v。图 5.4（a）我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦用角度本身图 5.4（b）去近似。在T1点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像，如图5.4（a）所示。从T1点以角度rA T1O发出的光线，在A点水中的入射角为r，在空气中的折射角为n r。把出射光线向相反方向延长，给出虚像的位置在K1，显然K1A T1n rr（n1）r从三角形K1 T1 A，有：1)1(111nrrnAKTK利用通常的近似：K1AK1OR，K1AT1K1OR于是111nROKROK所以这个虚像与球心的距离为

39、RnnOK21水的折射率34n，从而K1O2R。若折射率大于2，则像是实像。有像距与物距之商得到放大率为nnOTOK211对水来说，放大率为2。以与速度v相应的线段为物，它位于在E处的平面镜前的距离为2R处，它在镜后2R远的T2处形成一个与物同样大小的虚像。T2离球心的距离为5R。在一般情形下，我们假设T2OkR。T2处的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定T2的实像而无需再去考虑平面镜。如图5.4（b）所示。我们需要求出以r角度从T2发出的光线在C点的入射角，其中rCT2F。在三角形T2OC中，kRkRCOOTr2k r玻璃中的折射角为：CDODCOnkrnv2v

40、ABK1T1OvT2BCDEFOK2r17 需要算出DOB。因为：COF rk r rr（k1）而且COD与C点和D点的两角之和相加，或与COF和DOB之和相加，两种情况都等于 1800，因此nkrkrDOB2)1(即)12(knkrDOB从三角形DOK2，有12)12(22knkkknkrDKOK此外1222knkkROKOK，因此像距为：RkknnkOK2)12(2若k5，n34，得ROK3102放大率为kknnOTOK2)12(22若k5，n34，则放大率为32综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度v向上运动，而鱼的实像以速度32v向下运动。两个像的相对速度为v32v38v

41、，是原有速度的38倍。我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在做此实验时，他将看到什么现象呢？两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的，实际上观察到两个反向的速度，其中一个是另一个的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像。两个像的距离8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们在比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近38。他当然必须具有关于鱼的实际速度（

42、v）的一些信息。两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为：nnknknn)1(2)1)(1(22用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。【实验题】测量作为电流函数的给定电源的有用功率。确定电源的内阻Rb和电动势U0。18 画出作为外电阻R函数的有用功率，总功率以及效率的曲线。解答：端电压为bRRRUU0电流为RURRUIb0总功率为P0U0I 有用功率为：P UI效率为 0PP利用以上公式，得到要求的六个函数，如解图5.4（a）（f）所示。PI（a）PR（b）PU0IRbI2P220)(RRRUbP0I（c）R（d）P0P0U0IP

43、0RRUb20I（e）R（f）1IURb0RRRb测出适当选择的两个值，由以上公式便可求出Rb和U0。这些数据应该是独立于外负载，所以这样的测量并不可靠，大负载时尤其如此。历届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答19 第届（1972 年于罗马尼亚的布加勒斯特）【题】给定三个圆柱，它们的长度、外径和质量均相同。第一个是实心圆柱；第二个是空心圆筒，壁有一定厚度；第三个是同样壁厚的圆筒，但两端用薄片封闭，里面充满一种密度与筒壁相同的液体。如将它们放在倾角 为的斜面上，如图6.1 所示，求出并比较这些圆柱的线加速度。研究光滑滚动与又滚又滑两种情况。圆柱与斜面的摩擦系数为，液体与筒壁之间的摩擦可以忽略。解：沿

44、斜面方向作用在圆柱上的力是：作用于质心重力的分量mgsin和作用于接触点的摩擦力S，如图 6.1 所示。产生的加速度a：mamg sinS纯滚动时的角加速度为：Ra转动的运动方程为：IRaRS以上方程组的解为：21sinmRIga221sinmRImRImgS（）当S达到最大可能值mg cos时，也就到了纯滚动的极限情形，这时：221sincosmRImRImgmghh即维持纯滚动的极限条件为)1(tan2ImRh（）下面我们来研究三个圆柱体的纯滚动情形。（）实心圆柱的转动惯量为221mRI从（）式和（）式分别得到sin32ga，tan ah mg sinSR20 角加速度为：Ra（）设空心圆

45、筒壁的密度是实心圆柱密度的n倍。因已知圆柱的质量是相等的，故可以算出圆筒空腔的半径r：)(222rRLnLR即nnRr122转动惯量为：nnmRrLRnRLRnI125.05.05.022222由（）式和（）式分别算出：sin142gnna，1214tannnh角加速度为：Ra（）对充满液体的圆筒，因液体与筒壁之间无摩擦力，故液体不转动。总质量为m，但转动惯量只需对圆筒壁计算：nnmRrLRnRLRnI125.05.05.022222由（）式和（）式分别算出：sin12222gnnna，12122t a n2nnnh角加速度为：Ra现在比较三个圆柱体的运动特点：线加速度和角加速度之比为：114

46、3nn122322nnn极限角正切之比为：1)22(314nn)12(31222nnn如果斜面倾角超过极限角，则圆柱又滑又滚。此时三个圆柱体的摩擦力均为mgcos，故线加速度相同，为：ag（sincos）角加速度由ImgRcos给出，但转动惯量在三种情况下各不相同。因此，若圆柱体又滚又滑，则三种情况下的角加速度分别为：gRcos2121 gnnR12cos22gnnR12cos223【题】有两个底面积为1dm2的圆筒，如图6.2 所示，左方圆筒装有一种气体，气体的质量 4g，体积 22.4L，压强 1atm，温度 00C。右方圆筒装有同种气体，气体的质量7.44g，体积 22.4L，压强 1a

47、tm，温度 00C。左方圆筒筒壁绝热，右方圆筒靠一个大热库维持温度00C。整个系统在真空中。放开活塞，它移动了5dm后达到平衡并静止。试问右方圆筒中的气体吸收了多少热量？气体等容比热为0.75cal/g?K。00C图 6.2 解：放开连杆前，右方气体压强为：7.44/4 1.86（atm）在达到平衡时，左方气体体积为22.4 517.4（dm3），右方气体体积为22.4 527.4（dm3）。左方气体经绝热过程升高温度到T，压强为p。右方气体经等温膨胀到同一压强。等温膨胀由下式表示：1.86 22.4 27.4 解得：p1.521 atm 对左方气体应用绝热过程定律，得：122.4k1.521

48、 17.4k由此可求得比热之商k如下521.1)4.174.22(k1.2874k1.521 k1.66（看来它是一种单原子气体：氦。）左方气体的温度可从状态方程算出：T4.17521.12734.221解得：T322.5K t49.50C 在这个过程中，右方气体的温度没有改变，它吸收了0.75449.5 148.5 cal 的热量，这些热量表现为气体的内能注。（注：此处是指左方气体的内能。因为右方气体等温膨胀，所吸收的热量等于它对左方气体所作的功。左方气体绝热压缩，右方气体对它所作的功等于左方气体内能的增量。）【题】将焦距为f的一个透镜，沿其表面的垂直方向切割成两部分。把两个半透镜移开一段小

49、距离，如果在透镜的一方距离t f处放置一个单dhS22 色点光源，问在透镜的另一方距离H处的屏幕上将出现多少干涉条纹？解：由两部分透镜所产生的像是相干光源，所以可以发生干涉。设两个点光源的距离为d，若光程差等于波长，则在h远处的屏幕上将出现第一个极强，如解图6.1 所示。即：dsin解图 6.1 hSsin，各级极强的间距为：hdS，dhS下面计算两个焦点的位置。一个点光源位于焦距为f的透镜前t距离处，它产生的实像位于fttfk，如解图6.2 所示。dtkHK1K2AB hD解图 6.2 若切口的宽度为，则两实像点间的距离可从下列比例式中得到：tktd因此ftttktd像点K1和K2是相干光源

50、。它们发射出来的光束的干涉在屏幕上观察到。条纹的间距为dhS，其中d为已知。屏幕到像点的距离为：fttfftHkHh)(在此实验中，条纹间距为：tfftHtS)(干涉条纹出现在K1和K2发出的两束光交叠处。由相似三角形求得两束光交叠部分的直径为tthD用S除D，得条纹数目为tfftHtHSDN)(2如果f 10cm，t 20cm，0.1cm，0.5 m，H50cm，则得N46.6。当屏幕比A点更近时，对D必须另作计算。如屏幕在B点以内，则无干涉条纹。23 xydO【实验题】给定两个圆柱体，它们的大小、形状、材料均相同，其一是实心体，另一个内部有一个与圆柱轴平行的圆柱形空腔。后者两端用薄片封闭。