函数的单调性(教案).pdf

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1、函数的单调性（教案）数学科学学院陈曼一、三维目标（一）、知识与技能1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。（二）、过程与方法1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力；2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。（三）情感态度与价值观1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志

2、，简历学习数学的自信心。二、教学重点领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。三、教学难点利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。四、教学过程（一）创设情景，引入新课师：同学们，在初中的时候我们已经学过了函数图像的一些基本画法，而且我们也知道，函数的图像在一定的程度上能够反映一个函数的基本性质。那么现在就让我们通过函数的图像来进一步研究函数的性质。请同学们观察下面两组在相应区间上的函数图像，然后指出这两组图像有什么区别？（多媒体显示下面两组图像）第一组：第二组：（请一位同学回答：从第一组函数的图像可以看到，图像从左到右是上升的；第二组函数图像，从左到右是下降的。师总结：对，这位同学回答

3、得很好。在第一组图像中，我们可以看到，在给定的区间上图像呈上升趋势；在第二组图像中，在给定区间上呈下降趋势。函数图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质单调性。那么如何描述函数的“上升”“下降”呢？（请一位同学回答。也许学生回答得不全，老师可适当提示和引导，以)(),(21xgyxfy为例。）生：函数1()yfx的图像在区间,ba上“上升”，也就说当x在区间,ba上取值时，随着x的增大，相应的y值也增大；函数2()ygx的图像在区间,ba上“下降”，也就是说当x在区间,ba上取值时，相应的y值反而减小。师：对，这正是两组函数的主要区别当x 变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的

4、函数值都变小虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质而这些研究结论是直观地由图象得到的在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意）（二）新课讲解师：请同学们打开课本第33 页，大家一起把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍（学生朗读）师：通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同

5、学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y 随自变量 x 的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的定义中的“当时，都有”描述了 y 随 x 的增大而增大；“当时，都有”描述了y 随 x 的增大而减少师：说得非常正确 定义中用了两个简单的不等关系“”和“或”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数和的图象，体会这种魅力（指图说明）师：图中对于区间 a，b 上的任意，当时，都有，因此在区间a，b 上是单调递增的，区间 a，b 是

6、函数的单调增区间；而图中对于区间 a，b 上的任意，当时，都有，因此在区间 a，b上是单调递减的，区间 a，b 是函数的单调减区间（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解渗透数形结合分析问题的数学思想方法）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师）生：较大的函数值的函数师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整）师：好我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分

7、析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气 在学生感到无从下手时，给以适当的提示）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概

8、念时还要注意区别它们之间的不同增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在 x=5 时是递增或递减的？为什么？生：不能因为此时函数值是一个数师：对函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能比如二次函数，在 y 轴左侧它是减函数，在y 轴右侧它是增函数因而我们不能说是增函数或是减函数（在学生回答问题时，教师板演函数的图像，从“形”上感知）师：好他（她）举了一个例子来帮助我们理

9、解定义中的词语“给定区间”这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语师：你答的很对能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量，必须取自给定的区间，不能从其他区间上取师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于，或

10、都大于师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻）生：可以构造一个反例考察函数，在区间-2，2 上，如果取两个特定的值，显然，而，有，若由此判定是-2，2 上的减函数，那就错了师：那么如何来说明“都有”呢？生：在-2，2 上，当，时，有；当，时，有，这时就不能说，在-2，2 上是增函数或减函数师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，根据它们的函数值和的大小来判定函数的增减性师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可

11、以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立这恰是辩证法中一般和特殊的关系（三）例题讲解例 1 图 4 所示的是定义在闭区间-5，5 上的函数 f（x）的图象，根据图象说出 f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？（用投影幻灯给出图象）生甲：函数 y=f（x）在区间-5，-2，1，3 上是减函数，因此-5，-2，1，3 是函数 y=f（x）的单调减区间；在区间-2，1，3，5 上是增函数，因此-2，1，3，5 是函数 y=f（x）的单调增区间生乙：我有一个问题，-5，-2 是

12、函数 f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是 f（x）的单调减区间呢？师：问得好这说明你想的很仔细，思考问题很严谨容易证明：若 f（x）在a，b 上单调（增或减），则 f（x）在（a，b）上单调（增或减）反之不然，你能举出反例吗？一般来说若f（x）在a，b上单调（增或减），且，a，b，则 f（x）在，（增或减）反之不然例 2 证明函数 f（x）=3x+2在（-，+）上是增函数师：从函数图象上观察函数的单调性是最直观的，但如果每次都要画出函数图像就太麻烦了，而且有些函数不容易画出它的图像，一次我们必须学会根据解析式和定义来证明。师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出

13、证明过程（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发）师：对于和我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数 a，b，如果 ab，那么它们的差 a-b 就大于零；如果 a=b，那么它们的差 ab 就等于零；如果 ab，那么它们的差 a-b 就小于零，反之也成立因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系生：（板演）设，是（-，+）上任意两个自变量，当时，所以 f（x）是增函数师：他的证明思路是清楚的一开始设，是（-，+）内任意两个自变量，并设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进

14、行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”作差，变形”）但美中不足的是他没能说明为什么0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号应写明“因为x1x2，所以，从而0，即”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“定符号”）最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“下结论”）这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可小调函数吗？并用定义证明你的结论师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因

15、此我觉得它在定义域（-，0）（0，+）上是减函数生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义 比如取 x1（-，0），取 x2（0，+），显然成立，而，显然有，而不是，因此它不是定义域内的减函数生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-，0）和（0，+）上都是减函数域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-，0）和（0，+）每一个单调区间内都是减函数因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“”连接另外，x=0 不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间上是减函数（教师巡视对学生证明中出现的问题给予点拔可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）

16、分式问题化简方法一般是通分（2）要说明三个代数式的符号：k，（3）如果用作商的方法，要注意说清12()()fxfx与 1 的关系，还要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。（四）课堂练习课本 38 页练习 1、2、3.（五）课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤（六）布置作业课本 P45练习第 1，2，3，4 题