复变函数与积分变换公式汇总.pdf

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1、复变函数与积分变换公式汇总复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z=x+iy，时是实数，x=Re(z),y=lin(z).i2=-1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数有大小2.复数的表示1）模：lzl=P万：2）幅角：在zacO时，矢量与x轴正向的夹角，记为的（z)（多值函数；主值吨（z）是位于（Ji,Jr中的幅角。3)arg(z）与arcta咛之间的关系如下：当xO，吨z=arc阳主，x xO,y注O,argz 创ctanZx y O,arg z=arctanZ-JT 当x ,4）三角表示：z=lzl(cos8+isin哟，其中argz：注：中间一定是“”号。5）指数表示

2、：z=I扩，其中argz。（二）复数的运算1.加减法：若z,荷叶，Z2=,ti+iY2，贝tlz,z2（恰与）i(y,y2)2.乘除法：1)若z,叫妙的的，则币2（伊2-Y,Y2)+i(XiY1+X 1Y2)Z1 引iyl-（均iyl）（与iy2)叫与Y 1Y2,:Y1也y2x1G毛iy2（与iy2）（与饥）x J+Yi.乓Yi。2）若z,=lz1I产品勺Ie;,i,则z,_ lz1I j（问）Z1Z2=lz,11马产鸣J;同c3.乘罪与方根若z=I仰仇isir 若z=I机si剑in仿lzle则何lzl(cos与生isin与生）(k=0,1,2-n-1)（有II个相异的值（三复变函数1.复变函

3、数：v=f(z），在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射2.复初等函数1）指数函数：e=e(cosy+isin y），在z平面处处可导，处处解析：且（e)=e。注：e是以加为周期的周期函数。（注意与实函数不同对数函数：以lnlzl+i(argz加）(k 阳，丑）（多值函数；主值：lnz=lnb辽的每一个主值分支Inz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（仇z），注：负复数也有对数存在。（与实函数不同l 3）乘罪与幕函数：ab=ebL(a*0）：卢户。,t,Q)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且。b z 30=、，b z l飞4）三角函数：z-z o-

4、u c-s z vo c z-z-n-O COE户lvz oo t-+-2 6-z 03 o puv e-t-q-e-z 川，cosz在z平面内解析，且（sin z)=cosz,(cos山注：有界性JsinzJ乱叫到不再成立：（与实函数不同双曲函数shz气巳chz气乙：shz奇函数，chz是偶函数。仇chz在z平面内解析，且(shz)=chz,(chz)=shz。（四）解析函数的概念1.复变函数的导数,.f(Z+&)-f Zo)1）点可导：（zo）旦旦与;2）区域可导zf(z）在区域内点点可导。2.解析函数的概念1）点解析：f(z）在Zo及其Zo的邻域内可导，称（z在Zo点解析：2）区域解析：

5、J(z）在区域内每一点解析，称J(z）在区域内解析：3）若f(z）在Zo点不解析，称Zo为f(z）的奇点：3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、2 商（除分母为零的点）仍为解析函数：解析函数的复合函数仍为解析函数：（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：I（u(x,y忡忡，y）在Z叮叮可导。u(x,y）和巾，y）在（x扑可微，且在（x,y）处满足C-D条件：t地，av au av ox oy Byx 此时，有（z)争i去。2.函数解析的充要条件zI（牛u(x,y)+i杠，y）在区域内解析 u(x,y）和巾，y）在（x,y）在D内可微，且满足C-D条件：。uvau av x

6、秒oyox;此时f(z)去乞注意：若巾，y）汁（x,y）在区域D具有一阶连续偏导数，则巾，y），巾，y）在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明w具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数f(z)=u+iv一定是可导或解析的。3.函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1)3 2）利用充要条件（函数以！（才巾，y)+i巾，y）形式给出，如第二章习题2)3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f(z）是以z的形式给出，如第二章习题3)（六复变函数积分的概念与性质fcf(z）！巳巳LI（生抖zk复变函数积分的概念：k-1 C是光滑曲线。注：复变函数的积分

7、实际是复平面上的线积分。复变函数积分的性质f J(z)dz=-fc-,f(z)dz(c与c的方向相反：f,af(z）内（斗dzif(z)dz+,Bfcg(z)3)若曲线c由c，与C2连接而成，则J,f(z)dz=J,f(z)dz+J,f(z）出3.复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：f,J(z)dz=fc附vdy+iJ,毗叫：（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c:z=z(t）（叩二月，其中对应曲线c的起点，对应曲线c的终点，则f,J(z)dz=J:Jz(t）旷的dt。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1.柯西一古萨基本定理：设f(z）在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则手f(z

8、）仇。2.复合闭路定理：设f(z）在多连域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，叭，.c.，是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以叭，c，为边界的区域全含于D内，则手f(z）也三二手f(z）饨，其中c与乌均取正向：(f l(z）出0，其中r由C及c-1(k 口，n）所组成的复合闭路。3.闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z）不解析的奇点。4.解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z）在单连域B内解析，G(z）为f(z）在B内的一个原函数，则I,.f（批G（马）G(z1)句，币的说明：解析函数f（

9、小沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f(z）在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D,Zo为c内任意一点，则生兰卡z=26.高阶导数公式：解析函数f(z）的导数仍为解析函数，l 它的n阶导数为手坠-dz=3.主1()（马）(n=l,2-)c(z-zo)n!其中C为f(z）的解析区域D内围绕Zo的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7.重要结论：？二pdz了i；二。(c是包含a的任意正向简单闭曲线8.复变函数积分的计算方法1）若f(z）在区域D内处处不解析，用一般积分法fcf 机J:fz(t）作）cit2）设f(z）在

10、区域D内解析，C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，c是D内的一条非闭曲线，M对应曲线c的起点和终点，则有fcf（机J,:f(z）化F（马）F(z1)3）设f(z）在区域D内不解析生咛Z川（Zo)d卡dz守州（f(z）在c内曲线c内仅有一个奇点：解析2 手f(z）成I:J(z）化曲线c内有多于一个奇点：k-1 c,(C；内只有一个奇点zk)或：f！（机2n-itResf(z),zk（留数基本定理若被积函数不能表示成（z气，）川，则须改用第五章留数定理来计算。（八解析函数与调和函数的关系1.调和函数的概念：若二元实函数（盯）在D内有二阶连续偏导数且满足百宗0,仰，y）为D内的调和函数。

11、2.解析函数与调和函数的关系解析函数J（中川i的实部u与虚部都是调和函数，并称虚部v为实部It的共辄调和函数。两个调和函数u与构成的函数f(z)=u+iv不一定是解析函数：但是若w如果满足柯西一黎曼方程，则u+i一定是解析函数。3.己知解析函数f(z）的实部或虚部，求解析函数J(z)=u+i的方法。1）偏微分法：若己知实部u=u(x,y），利用C-R条件，得仇，xY;对石去两边积分，得v=f杂川（x)(*)3 再对（）式两边对x求偏导，得去f(f杂小（x)（叫由条件，去言，得去才（f去l小（吟，可求出作）；代入。式，可求得虚部fiyg(x)2）线积分法：若己知实部户巾，y），利用C-R条件可得

12、vUu dv=-dx+-dy=-dx-dy x句句J缸，r(.,.y）iu.it.故虚部为J（川）8_yX+fuu+C;由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线计算它，其中（句，Yo）与（x,y）是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部u=u(x,y的导数公式和C-R条件得知，u ov 011ti f(z)一I一一一xy句句将此式右端表示成z的函数U(z），由于f(z）仍为解析函数，故J(z)=fu（收c(c为实常数注：若己知虚部也可用类似方法求出实部u（九复数项级数1.复数列的极限1）复数列龟，仇i鸟，（时，2.）收敛于复数bi的充要条件为li,na,，li,n鸟，bn祠，_（同时

13、成立4 2）复数列J收敛。实数列伐，札同时收敛。2.复数项级数.（，ib,)1）复数项级数岱收敛的充要条件是级数？”与？”同时收敛：2）级数收敛的必要条件是！如，0。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十寡级数的敛散性I:c.,(z马）”I:c，”1.幕级数的概念：表达式，.o或，.oz为幕级数。2.幕级数的敛散性1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）：如果幕级数Ez”在Zo;c O处收敛，那么对满足lzlI马的一切z，级数必发散。2）幕级数的收敛域一圆域幕级数在收敛圆域内，绝对收敛：在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法

14、：收敛圆的半径称收敛半径。比值法根值法如果！坦1亏1;cO，则收敛半径R寸！出归;cO，则收敛半径R=;5 如果0，贝tlR叨：说明在整个复平面上处处收敛：如果，贝tlR=O；说明仅在Z=Zo或z=O点收敛：注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如泞，z)3.幕级数的性质1）代数性质：设军；b,z的收敛半径分别为R，与R2记R=nlin（尺，时，则当lzlR时，有三（”弘）zL a,z L b,z（线性运算）（三；，z（乘积运算2）复合性质：设当占lr时，f(;)=;a.；，当lzlR时，4=g(z)解析且lg(z)I r,则当lzlR时，fg(z)J 泞，g(z)l”。分析运算

15、性质：设幕级数军。，z的收敛半径为R判，则其和函数！（；a.,z是收敛圆内的解析函数：在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变：且f（三叩lzlR 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；6 J0f(z)dz主士Iz1（十一）幕函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f(z）在圆域lz马l1-z,_ 0 二（1）”2.1 Z3 Z5(-1）”2时lzl呻lz l I，一，一一一.一3）、缸（2川I）！也3!5!(2n+l）！、.;.(-!)2.z2 z4(-!)2”一一一一I-4）、但（2n）！2!4!(2n）广3.解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出飞，击f()lzl司lz loo 2）间接法：

16、利用己知函数的泰勒展开式及寡级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幕函数的洛朗展开7 Lc,(z-z0)”1.洛朗级数的概念：，含正幕项和负罪项。2.洛朗展开定理：设函数f(z）在圆环域代lz勾乓内处处解析，c为圆环域内绕Zo的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f(z）主巾Zo），且展开式唯一。3.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设f(z）在lz勾lR内解析，c为lz马lR内的任何一条正向简单闭曲线，则打（机2时1。其中为f(z）在lz勾l3.本性奇点：！出f(z）不存在且不为的。4.零点与极点的关系1

17、）零点的概念：不恒为零的解析函数f(z），如果能表示成f(z)=(z句），其中（z）在Zo解析，队）阳为正整数，称Zo为f(z）的，I级零点：2）零点级数判别的充要条件ff(u)(Zo)=0,（户1,2,.”-1)Zo是f(z）的m级零点。lf(m)(Zo);=0 3）零点与极点的关系：Zo是f(z）的m级零点。Zo是f(z）的m级极点：4）重要结论若z=a分别是（z）与f/(z）的m级与n级零点，则z。是（z),f/(z）的mn级零点：9 当n1 n时，z。是fl(z）的1n-n级零点；当111 n时，z。是fl(z）的川n级极点：当111=n时，z。是fl(z）的可去奇点：当时n时，z。是

18、伊（z)+f/l(z）的l级零点，l=n咀n(当111=n时，z。是伊（斗f/l(z）的l级零点，其中I:1n(n)（十五留数的概念1.留数的定义：设Zo为f(z）的孤立奇点，f(z）在Zo的去心邻域。lz马内解析，c为该域内包含Zo的任一正向简单闭曲线，贝0称积分f.f（机为f(z）在z的留数（或残留，记作Resf(z.=,f(z)(2.留数的计算方法若Zo是f(z）的孤立奇点，则Resf(z),z.,=c_1，其中c_1为f(z）在Zo的去心邻域内洛朗展开式中（z-Zo)-1的系数。1）可去奇点处的留数：若Zo是f(z）的可去奇点，则Resf(z),z0=o 2）川级极点处的留数法则I若Z

19、o是f(z）的m级极点，则I.dm-1 Resf(z),z0 币1页！否口（z-z0)f(z)l 特别地，若Zo是f(z）的一级极点，则Res/(z),z0)=！出（z-zo)f(z)10 注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则II设f(z）妃，附），Q（情Zo解析，P(z,o)*O,Q（马）=0,Q(Zo）飞则Res喘z.揣（十六留数基本定理设f(z）在区域D内除有限个孤立奇点叭，z，外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则生f(z）出2LResf(z),z,说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f(z）在c内各孤立奇点处留数的局部问题。11