实验报告-数据滤波和数据压缩实验.pdf

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1、实验报告数据滤波和数据压缩实验实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩l实验目的(1）掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法(2）使用C实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换(3）掌握数据滤波的基本原理和方法(4）掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价2实验步骤2.1算法原理2.1.1 Haar小波变换(1）平均，细节及压缩原理设xl,x2是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节为(xl+x2)/2，叫xl-x2)/2。则可以将a,d作为原信号的一种表示，且信号可由怡，d恢复，正:1川，x

2、2=a-dO 由上述可以看出，当xl,x2非常接近时，d会很小。此时，xl,x2可以近似的用a来表示，由此实现了信号的压缩。重构的信号为怡，a,误差信号为lxl-al,lx川l=ldl,ldl。因此，平均值a可以看做是原信号的整体信息，而d可以看成是原信号的细节信息。用a近似的表示原信号，可以实现对原信号的压缩，而且丢失的细节对于最终信号的重构不会有重大影响。对于多元素的信号，可以看成是对于二元信号的一种推广。(2）尺度函数和小波方程在小波分析中，引入记号（r)=Xu川，其中，X川（t)表示区间1，。上的特征函数。定义比（）次2jl-k),k=O,l,.,2j-1 称（t）为Haar尺度函数。

3、由上式可知，也（t）都可以由化的伸缩和平移得到。小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下：l,O三 tl/21/(t)=x,01,2i(r)-x川）(t)=i-l,l/2至tl）的离散信号序列，记为。”o,a,1 a川，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示：j(t)=a,.o戒.o(t)+.。”P,.i-i(t)一次小波分解的结果：f(t)叫。钱叫（t)+.”1.2阳1吃旷，t)+dn-1.01/1 n刊（t)+.+dn-1.1-1lfl叫2叫对上式积分，由尺度函数的正交

4、性，可得(J(tM,-1.k(t)dt=a”l.k。令k=O，得到仙。(a,.o 饨，1)/.Jl。一般的，有an-1.k=（呵，.ik+a,.2k,1)I J2,k=0,I,.2”_,-I 同理d,_,;:=(an.2k-a,2k刊）J2,k=0,1,.2时I2.1.2傅里叶变换(1）一维连续函数的傅里叶变换定义设f(t）为连续的时间信号，则定义F（巾汇f(t）川剧dt为f(t）的傅里叶变换，其反变换为f(t)=J:F(u）川W(2）一维离散傅里叶变换对连续的时间信号页。等问隔采样，得到离散序列加）。假设采样N次，则序列表示为f(O),j（队，j(N-1）。令n为离散变量，u为离散频率变量，

5、则一维离散傅里叶变换及其反变换定义：1 N-1 F(u）古Lf(n)e川f(n)=LF(u)e川川，n=0,1,.,N-1 傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（比如声音或图像）通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。(3）快速傅里叶变换FFT原理FFT的基本思想

6、：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。令时e-j2;mk门则凹的可改写为F(k)=7v 三f(n)1;k。令N=2M，其中M为一正整数。带入式中，得到F(k）土勺（n）叫2M;:;!F(k）二I去三（如）Wik工艺（2叫阿；k叫I 11-I 11-0 I 令乓（k)均f叫：尺，（的去艺（2川川k”,1-0 则有町k上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。(4）时间抽取的基2FFT蝶形算法对于（3

7、）中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT算法实现快速傅里叶变换。2.1.3数据压缩的评价准则(1）数据压缩比设原始信号f(n）的数据量大小为s，经过数据压缩后，信号的数据量变为M，一般情况下M1Sl日，例1民4阮l(1 S：民2民，1”S1:9)7:1 949 112626,79789.7)539.163(2961国.7,44146.7)2目7.647 127国5.5,1日日2目8)394.571(38586.8,4国574.4)218.723 23783.7,19615.7)120.427(22593.2，正10431.8)180.922:1942

8、 1.4241马l8)1 贝711(11 SU 4s.S47:7 l、214 1 ll 47717.4,26584)213.371(47249.4,9135.57)187.986 29375.3,58417.9)255.421 2275.13,4国162.3)157.135 12639.2,44210.5)179.616(44708.3,3千11日.09)175.149 25808.S.11100 9)109.745(54015.1.78567.1、372.481 321司1.4.13794.4)136.771 17507.6,5457回.7)223.869 22自由国.9,10567.5)9

9、5.34国6 5085国.6.235国6.7)218.832 24/62.4,9268.9)1”与.282(3362 J，二191/.bl139.4613506.1,81-131.7)322.-138(33115.8,6811.51)132.205 16549.8,1日96自由432.979 106632,69934.1)498.123 S 6 72 2.2.9195 4.1)422.国37 16494.3.335日2.1)145.869 698.91,22921.3)？且.2622气b日UIL9,b/1,.2)269.642 27301.9,20229.3)132.733(56113.-1,

10、68583.2)3.221 25844.2.51528.9)225.183 11014.2,39275.3)159.338 4659国.1.28968.3)214.3国3(1国322.7,2782日.3)115.913 199回1.3,2321114)11.4114 83 8 l回49720.9 巳.22381.G)9.)29 1220,.1,13,JJ)171.131 16086.6.4234.2)64.9785(5目686.6.2国723.2)213.9国416590.4,3795.65)66.48日8(4692.22,48831.9)191.628 5534.18,52日5.64)29.

11、6787(7484.18,7国9.311)29.3661 2817.44,30,J.7)119.8,7 9JJJ.4J,20844.8)89.2149 1”92 阮，：1刷刷刷6)？币21447(：民1SS2.1995刷1)129 119 5865.19,1564.48)23.7119 15829.7,61047.7)246.354 28593.3,922.413)111.751(15982.1,7737.51)69.3618 26586.3,14434.1)118.171(33935.9,17722.1)149.55 171马76R.2”阮llRS)7R 41马27(2337”弓，2S144

12、)91 R1 吨17152.6,13691.3)85.7298 759.442.13147.2)51.4417 19国71.9,185日2.4)103.797(859目56，自451)47.0727 13805.4,10478.7)67.7024(13115.9,1066.17)51 4029 6076.47.847.16、23 9658 5573 78.13028)55.3527 13481.4,11662.6)69.6326(11118.4,3011.54)44.9962 19925.7,7261.66)82.8424(5824.57.14657.2)61.6国99图6eggs.txt数据

13、傅里叶变换结果国使用eggs.txt中的数据时，由于数据量较大，此处只是部分数据截图。数据不足的部分用零补齐。可以看出，变换后的数据幅值较大，且基本没有为0数据。此时，采用阙值进行滤波处理，取阙值川即将阀值小于30的值置为0。(2）小波变换回F：马大汪的艾蓓飞耀耀眼幅倒也Haa,J恨和撑呈阳县E翻案飞FastFou阳De.L旦旦旦望画画一一一一一I 尹州l甲口：Co,1 2 3 5 HI 11 4 12 s 1J 6 14?1巳8 lb 9 10 11：日I.寸片古：1年前翠2.12132 4.94975 7.77817 1 2.12132 4.94975 7.77817 1”11旷I11./

14、111的0.7自71园70.707107因.72日I，阵主：1臼站罩E5 13 2 2 目7日71国？国.7国71日？因？”1111四I11.11111111 臼1川I；件：tr：悔站旱12 727，升巨1 巨112 7279 1 1巨巨15.65685 5.65685 5.65685 5.65685 12 13 1 3 3”11旷J.707107.7071目7.11111回J2 2 2 2 2 2 22 一0.7日71因70.707107 臼.7071070.707107 0.7自71园70.70气107因.707107因.707107”？刷71肉？”？”71日？肉？”71”？”？”71”？

15、自7日71国？国.7071日？因.7国71国？日.7071国7市I，向主芝：1年苟且1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 1 4 1S 1 h 1 2 3 4 5 6 7 8 飞去1”11 12 13 14 15 16 1ess a同ketocontinue 图7测试数据集的小波变换DWT由上图的实验结果可以看出，数据经过小波变换后，其能量集中于数据的靠前的小波系数。对于相同的数据集，可以采用不同级别的小波变换数据。,图8eggs.txt数据小波变换结果由上图，对于实验数据，经过小波变换后，大部分的数据都为0。正式小波变换的这一特点，使得小波变换可以用于数据的压缩。4实验

16、结论在文章的上两节中，分别介绍了使用傅里叶变换和小波变换处理数据的方法。由实验中，可以得到以下两点：第一，傅里叶变换时数据的整体变换方法，数据经过傅里叶变化后，其能量主要集中在变换结果的靠前的数据部分，对于后边的能量较小的部分，对于原始数据的差异描述，在存储时可以忽略，从而进行数据压缩。第二，小波变换的方法是既考虑数据整体性，又考虑数据的局部性。数据小波变换后，小波变换的前半部分系数表示数据的整体，后半部分表示数据的细节特征，对于一个连续的信号，其细节部分是微小的，可以忽略，从而使得小波变换的后半部分系数为0，从而实现了数据的压缩。小波变换可以在不同的层级上进行。对于一个连续的信号，采用傅里叶

17、变换或是小波变换，数据可以得到较好的恢复，例如实验中的测试样本数据。对于给定的eggs.txt数据集，由于其波动较大，细节差异超过了原始信号，对其进行压缩，恢复得到的数据跟原始数据的差异很大。5实验心得体会(1)傅里叶变换和小波变换的原始数据快速傅里叶变换和小波变换处理的数据都是,v=2”个。对于不足N的数据，用零补齐后进行相应的变换，原始数据实际上改变。(2）数据恢复数据压缩后，为了得到数据，数据恢复是必须的。对于傅里叶变换，采用傅里叶反变换的方法，可以得到压缩数据的回复数据：对于小波变换，则采用小波重构的方式。由于采用的压缩方式是有损的，所以恢复得到数据并非原始数据。(3）小波变换可以得到数据的不同分辨率的表示，对于数据的滤波和压缩也可以在不同的分辨率上进行。原始数据是最高分辨率。采用的分辨率越高，则对于数据的压缩比越小。(4）对于非2”个数据的原始数据集不采用补零方式，其傅里叶变换应如何计算？参考文献1数据挖掘：概念与技术加韩家炜，加坎伯（Kamber,M.）著：范明等译北京：机械工业出版社，2001.82数字图像处理霍洪涛编著北京：机械工业出版社，2003.53小波分析及其应用孙延奎编著北京：机械工业出版社，2005.34数字图像处理实例与解析钟志光，卢军，刘伟荣编著一北京：清华大学出版社，2003