2021年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案.pdf

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1、“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参照答案考试时间3月19日9:00-11:00满分150分一、选取题（共5小题，每小题7分，共35分）每道小题均给出了代号为A,B,C,D四个选项，其中有且只有一种选项是对的请将对的选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分）1.设在士古乒士3雪，贝l)a.！.整数某些为（A.1 B.2 c.3 D.4【答案】B E解答】主Ici2=2+./3+2占士古在士古2-./3=6，知./6。,I 1（=62-=8+-6 6 于是。寸寸，因而，。.！.黎数某些为2.4（.！.)2 t，），贝It，值为（)A.3 B.2./3 c.丑,fi.D.2,fi.【答案】D

2、【解答】依题意线段AC中点M坐标为（巳主，止豆）2 2 牛，2牛，2由BA11/y轴，且BM=2，知8点坐标为（：，2）。2 2 句12丰 产，牛，句EBB B在抛物线y，知亏主2（)2。整顿，得2ti+2t;-8 可21,12+1;fll的t.)2=8。结合t2 1，得马 t,=2,fi.。4.如蜀，在RtMBC中，LABC=90。，D为线段BC中点，E在线段AB内，CE与AD交于点F。若AE=EF，且AC=7,FC=3，则cosLACB值为（3 A.-7 B.2.ji古7【答案】B 3 c.14 D.J古7 E解答】如图，过8作BKIIAD与CE延长线交于点K。贝I出AEF哥德，LEBK=

3、LEAF=L.ArE=LB陋。EK=EB。A E B I)第3题c 第4题又由D为BC中点，得F为KC中点。AB=AE+EB=FE+EK=KF=FC=3。BC=J;:cC万？抒芒歹2.Ji古。BC 2,/10 cosLACB一一：斗。AC 7 或解z对直线AFD及6BCE应用梅涅劳斯定理弯，BDCF EA.一一一DC FE AB 由D为线段BC中点，女日BD=DC。又AE=EF，因而，AB=CF=3。A、K、,E、飞B 结合AC=?,L.ABC=90。，运用勾股定理得，BC=2.Ji古。因此，BC 2/10 cosLACB一一一二斗斗。AC 7/)c 5.如图，0为6ABC外接圆圆心，R为外接

4、圆半径，且R=4。直线AO、BO、co分l 1 l 别交6ABC边于D、E、F，则一一一一一值为（AD BE CF A.!._ 4 B.!3【答案】c c.2 E解答】主条件及等比定程，得2 D.-3 A OA _ S 1:,.AB _ s I:,.AC-SI:,.刷8sI:,.刷c-S1:,.仙H+S f;.OAC AD s!:,HD s f;.ACI)s f;.AHDS l:,.ACIJ S f;.AHC OB s+s c oc s l:,.OHC+s 同哩，一一f;.OAH 世，一一BE s!:,ABC c F st:,.BC（第5题OA OB OC _(S6剧B+S f;.OAC)+(

5、S l:,.OAB+S l:,.O也c）（S l:,.OBC+S l:,.O.均占）-2-+-+-AD BE CF S1;叫BC又OA=OB=OC=R=4,.l I I 2 l 一一。AD BE CF R 2 二、填空题共5小题，每小题7分，共35分6.记函数y=x2-2x+3(-1:,;x:,;2）最大值为M，最小值为m，则M+mf:直为。【答案】8【解答J:y=x2-2x+3=(x-1)22,-I:,;x:,;2,.x=I时，y取最小值，flll1n=2;x=-1时，y取最大僚，即M=6。.M+m=8。7.已知二次函数y=ax2+bx+c（0）图像与x袖交于不同网点A、B,C为二次函数图像

6、顶点，AB=2。若6.ABC是边长为2等边三角形，贝Ia=。【答案】.fS E解答】依题意旷b.c=O有两个不同实根，设为X1,X1，则AB=IX1 拘1=2。.c-o=2 VA VA,b-G=2 x+x、b句cb2-4ac句句(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x=(-)2-4x一一：；一4,fllb2-4c=4a2。b 2 b2 b2,.r=-又出y旷bxc（x一）一c，及 0，知一c=-.ff,fll b2-4c=4-/3，。244 42=4$a，。$0 8.如阁，在c中，AD为BC边上高，M为线段BC中点，且BADDAM11AC。若AB=2，则c内切圆半径为。E答案1./3-1

7、DM I E解答】依题意，易主日D为BM中点，一一。儿1C2 又AM平分DAC,AD MD l 一一一一。结合AD上 DC，得LACD=30。AC MC 2 LDAC=&:J。，L.BAC=90。AC=2$,BC=4。c内切圆半径为旦严$1。B 0,I c 第8题 2 9.若二次函数y=x(4a-3)x+3a（注图像与直线y=2-x在y轴左侧恰有1个3 交点，则符合条件所有值和为【答案】29 12。【解答】依题意，关于x方程x2（4 3)x+32-x，即x2+(42)x3 2=0恰有l个负根或者两个相等负根。有下列三种情形：(1）方程有两个相等负根。I.6=(42)2-4(3a-2)=0 贝川

8、，解得 l或。均满足 注。l叫=-(42)0 4 3 因而，l，。三符合规定。4(2）方程两根中一根为零，另一根为负数。l苟且亏ja.-L.=V则l x,正2=-(42)0 解得；。满足注：。因而，。；符合规定。(3）方程阀根中一根为正数，另一根为负数。贝IJx1x2=3 2 综合（1）、（2）、（3），得符合条件。值为I,-。4 3 3 2 29 因而，符合条件所有。值和为1一。4 3 12 10.若正整数，1恰有90个不同正因数（含1和自身，且在II正因数中有7个持续室主数，则正辈革数n最小值为。【答案】25200【解答J:任意持续7个正整数乘积能被l2345x 6x7整除，II正因数中必

9、然有223 5 7这四个数。正整数，1具备形式：II=2 3 x5的7的（叭，吨，吨，均为正整数，注2）。自正整数，1恰有90个正因数，知（I+l）（2+1）（3！）（4+l）k=90，其中k为正整数。而90分解为4个不不大于1正整数乘积分解式只有一种：90=23x3x5.k=l,（I）（2+）（3+l）（，1)=90=2 335。I!最小值为232527=25200，此时，z有持续正因数1,2,3,4,5,6,7。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分11.求方程x2+20l7y2=2018x正整数解。【解答】方程化为x2-2018x+20l7y2=0。才等方程视为方程，得.6.=201

10、82-4x2017y2=4(10092-2017y2）为完全平方数。，.5分.10092-2017y2为完全平方数。设I0092-20 l 7 y2=t2(I为非负整数，则10092-f2=20l7y2。(J009-t)(l009+t)=2017y2。2017为质数，2017 I(1009-t），或却171(1009+1）。.10分又I为非负整数，且t三1009。t=1009，或t=1008。15分y=0（含去，或y=I。将y=I代入方程，得x2-2018x+2017=0，解得x=l，或x=l017。分内U句t句fnu q-1i xvd flId-L 或VAVd rB1，BEE、为解数整正程方

11、原12.如图，在等腰三角形ABC中，LACB=90。，M是边AC中点，D是边BC上一点，直线AD、BM交子点E，且ME=MA。求i正：AC DE(2）一一一一。AD DB(I)BE=CD;【解答】（1）如图，连结CE。A B 由条件知，ME=MA=MC。CE.LAE。”.5分（第12题LACB=90。，MAEDCE。BED=LAEMMAEDCE。又LEBD=LCBE,今BDEEC。分UFu-C D-E E-C B-B 又由CE.LAD,AC.LCD，失0!:,.CD E=/:,.A CE。A B BE DE CD BE CD 主lilt可得，一一一一一一，即一一一一。BC EC AC BC A

12、C BC=AC,BE=CD。.15分(2)f:EI(1)CE.LAD,AC.LCD，知！：，.CDE=MDC,CE AC CD AD DE EC 又主I(1)!:o.B DE !:o.B EC，知一一一一。DB EB AC CE EC DE 结合（1）中BE=CD，可得一一一一一一一一。AD CD EB DB 分6）使得（什+i+f;叫立，其中 x=x叶，x 为不超过x最大整数。Cl）求p最小值：叫p取最倒数。川p-、BEEt、FEEln-p raE飞570-、lttlJn-6 rlIJ、IIE、3-4-、ll飞rllJn-4 rlgllE、1-2-、115tlJn-2 rlIJ、IIE、n

13、数整正意工品,At,中叶i守A、，飞a 答解E 5分妇一口=570+3-4+1句-、attpatJn-p rat，81、目守备句使句JU-u 5-6+3-4+1句-川p叫凡是归于又p最小值为12。10分知竹、d-14件，“l-l+5-6+3-4+l-2-、lesaJn-p rEE，、.EE、+飞ILlJn-fo rht飞+飞ILrlJn-4 r84、+飞ILlJn-2 fJIL=码、d4+A,时句LI-p、，nL(5-6=、目E、，EEE，n-6 rlttlE、,3-4=、ltptlJn-4 rlIJ、IIE、l-2=、llllJn-2 rltJ、ttt、去）n=l2k+11(k为非负虫在数。

14、当p取最小值12时，当且仅当n=12k+11(k为非负整数时，立成句3、ll飞rllJn一口ftJ、tt+、ll飞rllJn-6 rtthzt+、EE飞fEEJn-4 rlB飞+、lfjn-2 rItt飞15分自n=l2k+II:;2017知，k:;167。因而，符合条件正整数，t有168个。20分14.将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：（！）对任意正数。，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为。线段：(2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色直角三角形：(3）无论如何染色，平丽上与否总存在三个顶点同色且丽积为直角三角形？E解答】（I）在平丽内任作一种边长为。等边!:,ABC。

15、贝O!:,ABC三个顶点A、B、C中必有两点同色。因此，存在两端点同色，且长为。线段。因而，对任意正数。，无论如何染色平丽上总存在两个端点同色且长度为。线段。5分(2）对任意正数。，如图，设A、D同色，且AD（却（1）知，A、D存在。觉得AD直径作圆0，设ABCDEF为圆。内接正六A 边形。JJ 着：8、C、E、F中存在一点与A、D同色，不妨设点8与A、D同色，贝IJl:,.ABD为直角三角形，其中LABD=90。，LADB=30。，且三顶点同色。10分若B、C、E、F都与A、D异色，贝IJB、C、E、F四点同色贝IJ!:,.BCE为直角三角形，其中L.BCE=90。，LCEB=30。，且三顶点同色。因而，无论如何染色平面上总存在三个顶点同色直角三角形。.15分(3）由（2）知，对任意正数。，无论如何染色总存在斜边长）a，有一种内角为30。，且三个顶点同色直角三角形。前言T宁,I、，J言、Jj82017 当民主二时，该三角形面积S（的（一份一一一一一2017。可.Ji 2 2、28!,因而，无论如何染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为直角三角形。.20分