四年级奥数-.pdf

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1、四年级第一章计算问题第一节加减法的巧算第 1 类分组凑整类例 1：（第 2 届“希望杯”小四第1 试）计算：234+432-48+305=_.解：原式=234+432-32+66=（234+66）+（432-32）=300+400=700 说明：仔细观察算式中的数据，我们会发现，运用加法的交换律和结合律，可使算式中“234+66”和“432-32”凑为整百的数，从而使计算简便迅速。我们把这种凑整的方法叫做“分组凑整法”。例 2：计算：998+1413+9989=_.解：原式=998+2+1400+11+9989=（998+2）+1400+10000=1000+1400+10000=12400

2、例 3：计算：8+98+998+9998+99998+999998=_.分析：本题如果按多位数加法的方法把加数逐个相加会很麻烦，且容易出错。如果用借数法巧算就很方便。把8,98,998,9998,99998,999998 看做 10,100,1000,10000,100000,1000000（每个数借 2），最后把多加的6 个 2 减去（还数）。解：原式=10+100+1000+10000+100000+1000000-2 6=1111110-12=1111098 第 2 类一一法类例 1：（第 2 届“希望杯”小四培训题）计算：7+77+777+7777+77777=_.分析：在计算时，我们

3、会遇到各加数分别是由1 组成、且每个加数的数位又各不相同的式子，如下式：1+11+111+11111111=12345678.巧算时，有几个加数，个位数就是几，其他各位的值每往左则小1.利用这个式子来解决复杂计算式的方法，我们称为“一一法”。观察题中各数是有规律的排列，可将每一个数化成7 与 1、11、111、1111、11111 相乘，然后用一一法简算。解：原式=71+711+7111+7 1111+711111=7（1+11+111+1111+11111）=712345=86415 例 2：（第 5 届“希望杯”小四培训题）计算：555+5555+55555+,+55555555=_.分析

4、：观察各题中各数是有规律的排列，只是前面缺少5、55.我们可以先补上5、55，再减去 5、55，就能用一一法简算了。解：原式=5+55+555+5555+55555+,+55555555-（5+55）=5【（1+11+111+1111+11111+,+11111111）-（1+11）】=5【12345678-12】=512345666=61728330 例 3：（第 3 届“希望杯”小四培训题）33+333+3333+,+333,3(197 个 3)的末三位数字是_.分析：只需要考虑各加数的末三位数。解：因为33+333195=64968，所以末三位数字是968。第 3 类轮转数求和类例 1：

5、（第 3 届“希望杯”小四第2 试）计算：（1234+2341+3412+4123）（1+2+3+4）=_.分析：因为1234=1000+200+30+4,2341=2000+300+40+1,3412=3000+400+10+2,4123=4000+100+20+3，所以，比较上面各分解后的加数，不难发现，1000+2000+3000+4000=（1+2+3+4）1000,100+200+300+400=（1+2+3+4）100,10+20+30+40=（1+2+3+4）10，因此，本题可用提取公因数的方法进行巧算。解：原式=【（1+2+3+4）1000+（1+2+3+4）100+（1+2+

6、3+4）10+1+2+3+4】10 =【（1+2+3+4）(1000+100+10+1)】10 =10111110 =1111 例 2：计算（1234567+2345671+3456712+4567123+5671234+6712345+7123456）7=_.分析：括号内的7 个加数，都是1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成。换句话说，这7个数的每一位也分别是1、2、3、4、5、6、7，它们的和是1+2+3+4+5+6+7=28.即如果不进位，每一位的和都是28.解：因为 1+2+3+4+5+6+7=28，所以原式=（28100000028100000+2810000+28 100

7、0+28100+2810+28）7 =2811111117 =1111111(287)=11111114=4444444例 3：（第 3 届“希望杯”小四培训题）35421,54213,42135,21354,13542 的平均数是 _.解：因为这5 个数的同一个数位上的数字都分别是1、2、3、4、5，它们的平均数是3.所以，这 5 个数的平均数是33333.第 4 类等差数列求和类例 1：（第 3 届“希望杯”小四第2 试）计算：1+2+,+8+9+10+9+8+,+2+1=_.解：原式=（1+9）+(2+8)+,+(8+2)+(9+1)+10 =109+10 =100 例 2：（第 4 届

8、“希望杯”小四第1 试）计算：（2+4+6+,+2006）（1+3+5+,+2005）=_.解：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+,（2006-2006）=1+1+1+1+,+1(1003 个 1)=1003 例 3：（第 5 届“希望杯”小四培训题）计算：（100+2007）+（99+20072）+（98+20073）+,+（2+200799）+（1+2007100）=_.解：原式=（100+99+98+,2+1）+2007（1+2+3+,+99+100）=（1+2+3+,+99+100）（1+2007）=（1+100）10022008 =10140400 第 5 类分组巧妙求和类例

9、 1：（第 3 届“希望杯”小四第1 试）计算：100-99+98-97+96-95+,+4-3+2-1=_.解：原式=(100-99)+(98-97)+(96-95)+,+(4-3)+(2-1)=1+1+1+,+1+1(50 个 1)=50 例 2：（第 6 届“希望杯”小四培训题）计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+,+1993+1994-1995-1996+1997+1998=_.分析：根据数列的特征与计算规律，如果把数列中的每若干项作为一组，整个数列分成若干组时，每组中若干项的计算结果相同，或所得的结果称等差数列，由此巧算出题目的结果。我们把这种巧算思路称为分组

10、巧妙求和。本 题 中，除 首 尾 两 项 之 外，其 余 各 项 依 次 每4项 作 为 一 组；2-3-4+5=0,6-7-8+9=0,10-11-12+13=0，,，1990-1991-1992+1993=0,1994-1995-1996+1997=0.因为除首尾两项外，其余各项每4 个作为一组，每组4 个数的计算结果为0，整个算的计算结果等于首、尾两数之和。解：原式=1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+,+（1990-1991-1992+1993）+（1994-1995-1996+1997）+1998 =1+0+0+0+,+0+0+1998 =1999

11、 例 3：计算：1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-14-15-16+,+1985+1986+1987+1988-1989-1990-1991-1992+1993+1994+1995+1996=_.分析（1）:可以从第5 个数起分段，每8 个数作为一组，每组数计算结果为16：-5-6-7-8+9+10+11+12=16-13-14-15-16+17+18+19+20=16,-1989-1990-1991-1992+1993+1994+1995+1996=16 结果是 16 的数组共可分成（1996-4）8=249.整个算式结果等于1+2+3+4+16249 的和解法 1

12、：原式=1+2+3+4+（-5-6-7-8+9+10+11+12）+（-13-14-15-16+17+18+19+20）+,+（-1989-1990-1991-1992+1993+1994+1995+1996）=1+2+3+4+16+16+,+16（1996-4）8 个 16 =1+2+3+4+16249 =1+2+3+4+3984 =3994 分析（2）：还可以从第3 个数开始，每8 个数分为一组，计算结果是：3+4-5-6-7-8+9+10=0 11+12-13-14-15-15+17+18=0,1987+1988-1989-1990-1991-1992+1993+1994=0 整个算式的

13、结果等于第一、第二及最后两个数的和。解法 2：原式=1+2+(3+4-5-6-7-8+9+10)+(11+12-13-14-15-15+17+18)+,+(1987+1988-1989-1990-1991-1992+1993+1994)+1995+1996 =1+2+0+0+,+0+1995+1996 =3994 第 6 类选中间数找差凑整法类例 1：（第 1 届“希望杯”小四培训题）计算：83+76+94+78+92+93+95=_.分析：本组中的每一道题，计算时，我们可以先找出一个中间数，然后用中间数去乘相加数的个数，再用乘积加上大数与中间数的差，减去小数与中间数的差。这种方法叫做选中间数

14、找差凑整法。解：原式=857+（10+9+7+8-2-9-7）=595+16 =611例 2：（第 2 届“希望杯”小四培训题）计算：82+83+78+79+80+81+78+79+77+84=_.解：原式=8010+（2+3+1+4-2-1-2-1-3）=800+1 =801 例 3:计算：103+99+103+96+105+102+98+98+101+102=_.解：原式=10010+（3+3+5+2+1+2-1-4-2-2）=1000+7 =1007 第 7 类添去括号法类例 1：（第 1 届“希望杯”小四培训题）计算：2059-1666-334=_.分析：解本组题可借助以下规律：a-b

15、+c-d=a-(b-c+d);a-(b+c-d)=a-b-c+d 解：原式=2059-(1666+334)=59 例 2：（第 3 届“希望杯”小四培训题）计算：9741-(341+350)=_.解：原式=9741-341-350=9400-350=9050 例 3：计算：3456-1268+2467+6544-8732-1467 =_.分析：由于加数3456 与 6544 的和是 10000，减数 1268 与 8732 的和也是 10000，因此我们可运用带着符号“搬家”及添括号的性质，使运算简便。解：原式=（3456+6544）-（1268+8732）+（2467-1467）=10000

16、-10000+1000=1000 第二节乘除法的巧算第 8 类分解凑整法类例 1：（第 1 届“希望杯”小四培训题）计算：56425 12597=_.分析：用分解分组法计算比较简便。把64 分解成 248，再分别与5、25、125 结合。解：原式=5（248）2512597 =（52）（254）（125 8）97 =10100100097 =97000000 例 2：计算：375561311=_.分析：因为 375 和 8 相乘可以凑成整千的数，而算式中没有因数，所以可以采用分解的方法，把 56 分解成“87”，再把 375 和 8 这两个因数分为一组，把7、11、13 这 3 个因数分为另一

17、组。解：原式=375（87）1311 =（375 8）（713 11）=30001001 =3003000 例 3：计算：1252512839=_.解：原式=12525（8 44）39 =（125 8）（254）(439)=1000100156 =15600000 第 9 类乘法分配律的概念类例 1：（第 4 届“希望杯”小四培训题）小马虎在计算6（+8）时错看成6+8，计算出的结果比正确答案少了=_.解：由于 6（+8）=6+68，小马虎算成了6+8，少算了 5 个 8，结果就少了40.例 2：第 4 届“希望杯”小四第1 试）9000-9=_999 解：因为 9000-9 =9 1000-

18、9 1 =9（1000-1）=9 999，所以，应填写9.例 3：第 4 届“希望杯”小四第2 试）如果5（2+）-4=2006,那么=_.解：因为5（2+）-4=2006 所以 5（2+）=2010 2+=402 =400 =20 第 10 类乘法分配律的顺用类例 1：（第 4 届“希望杯”小四培训题）计算：200620062005-20052004 2006=_.解：原式=200620062005-(20052005-1)2006 =200620062005-20052005 2006+2006 =2006100012005-2005 100012006+2006 =2006 例 2：（第

19、 4 届“希望杯”小四培训题）计算：(37+12+19)(8+19+37)-(37+19)(19+37+20)=_.解：注意到每个括号中都有(37+19)，不妨设A=37+19，则原式=（A+12）（8+A）-A（A+20）=A（8+A）+12(8+A）-AA-20A =8A+AA+12 8+12A-A A-20A=96 例 3：（第 3 届“希望杯”小四培训题）计算：200520052004-20042004 2005=_.解：原式=10001 20052004-1000120042005=0 第 11 类乘法分配律的逆用表例 1：（第 4 届“希望杯”小四培训题）计算：3333 4444+

20、33342222=_.解：原式=333322222+33342222 =66662222+33342222 =（6666+3334）2222 =22220000 例 2：（第 5 届“希望杯”小四第1 试）计算：2008 2006+20072005-20072006-2008 2005=_.解：原式=2008(2006-2005)-2007(2006-2005)=2008-2007 =1 例 3：计算：19981999 19991998-19981998 19991999=_.分析：本题要求乘积之差，而且没有相同的因数，我们细心观察后，可以发现，把 19991998化成（19991999-1）

21、后，就能出现相同的因数，从而能运用提取公因数的方法进行巧算。解：原式=19981999（19991999-1）-19981998 19991999 =1998199919991999-19981999-19981998 19991999 =19991999（19981999-19981998）-19981999 =199919991-19981999 =10000 第 12 类复杂乘法分配律的逆用表例 1：计算：999,99999,99+1 999,99=_.1988个 1988个 1988个解：原式=解：原式=999,99999,99+999,99+1 000,00 1988个 1988个

22、1988个 1988个 =999,99(999,99+1)+1000,00 1988 个 1988个 1988个 =999,991000,00+1 000,00 1988 个 1988个 1988个=1000,00(999,99+1)1988 个 1988个 =1000,00 3976 个例 2：计算：23753987+9207 6013+39876832=_.解：原式=23753987+39876832+9207 6013 =3987（2375+6832）+92076013 =39879207+92076013 =9207（3987+6013）=92070000 例 3：计算：1993199

23、3+1992 1992-1993 1992-1992 1991=_.解：原式=1993(1992+1)+1992(1991+1)-19931992-1992 1991 =19931992+1993+19921991+1992-1993 1992-1992 1991 =1993+1992 =3985 第 13 类巧找规律计算类例 1：（第 4 届“希望杯”小四第1 试）观察下列算式：2+4=6=23，2+4+6=12=34，2+4+6+8=20=45，,然后计算2+4+6+,+100=_.解：2+4+6+,+100 =5051 =2550 例 2：（第 4 届“希望杯”小四培训题）观察下列算式：

24、1+3=4=22 1+3+5=9=33 1+3+5+7=16=44,计算：1+3+5+,+2005=_.解：从给出的算式可观察得出，从1 开始的 n 个连续奇数的和等于nn，从 1 到 2005 共有1003 个奇数，所以 1+3+5+,+2005 =10031003 =1006009 例 3：（第 5 届“希望杯”小四培训题）计算：2007111,1=_.2007 个 1 解：写成竖式，如下图所示：2007 111,1 _2007 2007 2007 2007,_ 2299,99777 2004个第 14 类运用除法性质巧算类例 1：（第 1 届“希望杯”小四第2 试）计算：322-2 63

25、 2+3+5-3=_.解：原式=3-2+5=6 例 2：（第 4 届“希望杯”小四第1 试）计算：1+23（4+5）6=_.解：原式=1+696 =1+669 =1+4=5 例 3：（第 2 届“希望杯”小四第2 试）计算：315+325+33 5+345=_.分析：利用除法性质（a+b）c=ac+bc.解：原式=（31+31+33+34）5 =1305 =26 第 15 类改变运算顺序和运算方法类例 1：（第 4 届“希望杯”小四培训题）计算：1（23）（3 4）（45）（56）分析：按给定的顺序计算即繁又难，而且对没有学过分数计算的同学来说，做出这道题很难。但我们应用除法的运算性质去掉括号

26、后，就将连续出现“AA”。由于“m AA=m”，可以巧算。解：原式=1233445 56 =12（33）（4 4）（55）6 =126 =162 =3 例 2：（第 4 届“希望杯”小四第2 试）计算：253214+362125=_.解：原式=25（3227+3637）=25（167+127）=25【（16+12）7】=254 =100 例 3：计算：304312 198312198304=_.分析：因为304304=1,312 312=1，198198=1，所以，我们可以先根据“搬家”性质移数，再根据添括号性质，进行分组，就能使计算简便。解：原式=304304312312198198 =（3

27、04 304）（312 312）（198 198）=111 =1 第 16 类乘积估算类例 1：（第 5 届“希望杯”小四第1 试）：在 113379902，113379904，113379906，113379908这四个数中，恰好等于6 个 22 的乘积的数是 _.解：算式 222222222222 的乘积的个位数是4，根据题意可知，乘积是 113379904。例 2：（第 5 届“希望杯”小四第2 试）为使下面算式中五个数的乘积的末尾有六个0，里的数最小是 _.810 1525解法 1：因为 81015 25=30000，所以要使连乘算式的积的末尾有6 个 0，里的数最小应填 100.解法

28、 2：乘式里的1 个因数 2 和 1 个因数 5 可使乘积的末尾产生1 个 0，而 8101525里有 4 个因数 2 和 4 个因数 5，所以里所填的数应该再加两个0，即乘 1 个最小的百位数即可，因此里最小应填100.例 3：（第 4 届“希望杯”小四培训题）在4826809，4826803，4826807，4826801 这四个数中，恰好等于六个13 的乘积的数是 _.解：算式1313131313 13 的乘积的个位数是9，根据题意可知，乘积是4826809。第 17 类求连乘积的末位数字类例 1：（第 5 届“希望杯”小四培训题）13 57,20052007 的个位数是 _.解：5 的

29、倍数的个位是0 或 5，而 1357,20052007 中的因数个位没有是0 的，而且都是奇数，所以这个式子的乘积也是奇数，所以这个乘积个位只能是5.例 2：（第 5 届“希望杯”小四培训题）12+234+3456+45678+,+10 111213,20 的末位数是 _.解：除 1 2和 2 34 外，后面各个乘式中都含有因数2 和 5，乘积的个位数都是0，所以整个式子的计算结果的个位数为12+234=26 的个位数，即所求结果为0.例 3：（第 3 届“希望杯”小四培训题）1234,100 是一个很大的数，这个数最后几位都是0，这些连续的0 共有 _个。解：0 的个数取决于123 4,10

30、0 中有多少个因数2 和因数 5.由于因数5少，所以由因数 5 确定 0 的个数。5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100每个数中都有因数5，而 25，50，75，100 又多出 4 个因数 5，所以共有24 个因数 5，故乘积最后几位有24 个连续的0.第 18 类求连续乘方数的和类例 1：（第 2 届“希望杯”小四第1 试）：如果12=11，22=22，,，252=2525，且12+22+,+252=5525，那么 32+62+,+752=_.解：因为 12+22+,+252=5525，所以32+62+,+752

31、=32（12+22+,+252）=95525=49725 例 2：（第 6 届“希望杯”小四培训题）如果13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36，,，且 13+23+33+,+n3=（1+2+3+,+n）2，那么 33+43+53+,+103=_.解：因为 13+23=（1+2）2=9，13+23+33=（1+2+3）2=36 所以 33+43+53+,+103=13+23+33+,+103-（13+23）=（1+2+3+,+10）2-9=552-9=3016 例 3：（第 5 届“希望杯”小四第 2 试）在 22=4，33=9，44=16，55=25，66=36，,这些算式中，4，9，16，25，36，,叫做完全平方数，那么，不超过2007 的最大的完全平方数是 _.解：因为4444=1936，4545=2025，而 19362007 2025 所以，不超过2007 的最大的完全平方数是1936。