专题2-10 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】（苏科版）（解析版）.docx

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1、专题2.10巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】【苏科版】【题型1归类法】1【题型2凑整法】3【题型3逆向法】4【题型4拆项法】6【题型5组合法】7【题型6裂项相消法】8【题型7倒数求值法】11【知识点1归类法】运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数 结合、同分母与同分母结合等.【题型1归类法】【例1】(2022春普陀区校级期中)计算：8+ ( -田)-5-(一白. 44【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可.【解答】解：8+ ( - 1-) - 5 -(-) 44=(8 _ 5) + ( - 1-)-(-)

2、1441=3+ (-) 2= 2-. 2【变式(2022春徐汇区校级期中)计算：2| + 29+ 6： 3：.OJL 41*D【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可.【解答解:原式=(2131+ 21+6：=-6 + 6-+2 412【解答】解：（1）根据题意得：诉仁一以（2）原式+（2）原式+=1-120102010201120112011111n=1=n+1n+1n+1111n=1=n+1n+1n+1/ c、_Ly1/ 11.1111(3) 原式=x (1(-H22446201220145032014故答案为：（1）故答案为：（1）n(n-l) n-1T舞后【变式6-2（2022秋

3、虹口区期末）先阅读，再答题【变式6-2（2022秋虹口区期末）先阅读，再答题3-11125-3=1， = -T【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果;（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果;（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果.【解答】解:（1）泻y(2)=n(n+2) n n+22222222 + / +布+&+而+运+武I-7 + 7- + -T + T- + - + -T + -T- 55111113131151415故答案为:故答案为:11_9111 1n n+2【变式6-31（2022秋高安市期中）阅读下面的文字,完成解答过程.(1) =1-,1X2

4、22X31 _ 1 j23 3X42007X2008=_康-嬴_，并且用含有的式子表示发现的规律.根据上述方法计算：*+上+备+.+南焉根据，的计算，我们可以猜测下列结论：花品；（工2）（其中，攵均为正kn n+/c整数），并计算高+焉+行【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论;分别计算出七,左，器的值,再进行计算即可;（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可.【解答】解:（1）*=11 _ 12X3 - 21 13 3X42007X200820072008故答案为：嘉-短3x5151 _ J_ _ 15X7 - 35 - 2111百+后+公+2005X200711111

5、(111F +康-肃）I（1 一短）10032007故答案为:10032007（3）根据(1),的计算，我们可以猜测下列结论：n n+k111111X44X77X10-(1 一工 + 工一三 + 工一2-p344771020052008669一 2008故答案为：?（1-J-). n n+k【题型7倒数求值法】【例7】（2022秋城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题计算：（一/）+（1一 解：（方法一）原式=(一七)+ (|+ (一V _ 初=(_七)+ 弓一=-x 330-10(方法二)原式的倒数为(|一2 + ：_|) + (-高)=(|_： + ,_|)x(3。)=-20+3 - 5+

6、12 =-10.请阅读上述材料，选择合适的方法计算：+ 1 g）.【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多 少即可.【解答】解：原式的倒数为：z15 , 22、 . /1 、(-X +)()6 27 3954(-54)=-36+12 33原式=，【变式7-1 (2022秋南开区期中)(-5)+ W + 1_|).【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可.【解答】解：原式的倒数是(；+白5) + (义) 450 Z2。= -) X ( - 20) 45102=-X ( - 20) -X ( - 20) +-X ( - 20) -X ( - 20)

7、 45102= 5+8+ ( - 18) +30= 25,故原式=2.乙kJ【变式7-2（2022秋宽城县期末）阅读下列材料:ii241I-X 24 + -X 24 = 4.计算：解法一：原式=2制一点+ /或+ 2 = x3-2X4 +或X12：解法二： 原式=-4- （- - - + ） = 4- - = X6=.24 k3 412，2412244解法三：原式的倒数=G _ ： +1）+或=G _ W）X 24 = X 24所以原式=9. 4（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的;（2）计算：f1； + |）x36= 15 ；（3）请你选择合适的解法计算：（一4）+ （； +卷

8、一。一9） 乙工 V/JL kJ，JL【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；（2）利用乘法的分配律进行求解即可；（3）仿照解法三进行解答即可.【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，故答案为：一；（2） （| + ） x 36ill= -x36-x36+-x36246=18 - 9+6= 15,故答案为：15；（3）原式的倒数=（| + -（一击）(-210)z3235、(I)7151021=|x ( -210) +x ( -210) -x ( -210) -Ax ( -210)=-90 - 28+63+50=-5,=-5,【变式7-3 （2022秋怀安县期末）先计算，再

9、阅读材料，解决问题:(1)计算：(- + - - -) X 12 462(2)选择合适的方法计算：(一2)+一高+ |-”【分析】(1)根据乘法分配律可以解答本题；(2)先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值.【解答】解：(1) ( +1 x 12ill=-x 12 + -X 12 -X 12 462= 3+2-6=-1；(2)原式的倒数是：g一 +|_$ + (一=(H + |一,)x(-42)=i x (-42) - x (-42) +1 X (-42) -1 X (-42)=-7+9 - 28+12=-14,故原式=j14111= -+2 412=3?【变式1.2】（2022秋青浦区期中

10、）计算：29+O,3-以+ M【分析】运用加法交换律和结合律计算.【解答】解:原式=21卷1| +高=啰-1|)z 3, 7 .+ (1)1010【变式1-3（2022秋和平区校级月考）计算:(1) 一(-3- + (-13+ (-2f + (+1.25) - 41；(2) - 5： + (-9|) + 17, + (-31).【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可;（2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可.【解答】解：（1）一（一3看）+ （1） +（25）+ （+1.25） 4:=客-25）+（ -弓+中-弓258c9?1(2) -5|+(-9|) + 17+(-

11、3j)=-15收【知识点2凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消.【题型2凑整法】【例2】(2022秋普陀区期末)计算：3.43-2|+6.57-5(.【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算.【解答】解：3.43 - 21 +6.57 - 5(=(3.43+6.57) - (2(+5-) 55= 10-8=2.【变式 2-1 (2022 秋济南期末)计算：(-3.2) +12.5+ ( - 16.8) - ( -2.5).【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可.【解答解:原式=(-3.2) +12.5+ ( - 16.8) +2.5=

12、(-3.2) + ( - 16.8) + (12.5+2.5)=-20+15=-5.【变式2-2(2022秋上蔡县月考)计算： 2|+2：+ ( - 51 - ( - 5|).(2) 3.75+ ( - 5.18) - ( - 2.25) +5.18.【分析】(1)先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可;(2)先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可.【解答】解：(1) 2|+2义+ (-51 - (-5|)=21+27-57+51=(2- +5-) + (2- -5-) 5577=8 - 3=5；(2) 3.75+ ( - 5.18) - ( - 2.2

13、5) +5.18= 3.75 - 5.18+2.25+5.18=(3.75+2.25) + (5.18 一 5.18)=6.【变式2-3(2022秋石景山区校级期中)计算：(-12.7) - ( - ) - 87.3+3(.【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果.【解答】解：(-12.7) - (59 - 87.3 + 3|22=-12.7 + 5-87.3 + 3- 55=(-12.7-87.3) + (51+3()=-100+9=-91.【知识点3逆向法】主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更 加简单.【题型3逆向法】【例3

14、】(2022秋红谷滩区校级期中)用简便方法计算-|x(-92) + (-|)x34| + |x23|.【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取|,并利用加法结合律计 算，最后进行有理数的乘法运算即可得解.【解答】解:| x ( - 92) + ( |) X34| +1= -x92-x34- + -x23-,99595=|x (92- 34|+23|),=-x (92-11),9= -x81,9= 18.【变式3-1 (2022秋兰山区月考)25x 225x2+25X (-)424【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解.【解答】解：25x-25xi+25X （一工

15、） 424= 25X0=0.【变式3-2（2022秋红谷滩区校级期中）用简便方法计算:(1) ( - 9) X31- ( - 8) X ( - 31-)2929(-X3喙 9引(-36).【分析I （1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果;（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果.【解答】解：（1）原式=31色x （ - 9-8+16） 乙7=-3琮;原式=（哈）x （-36）= ,00X (- 36)与 x( - 36)= - 3600+9【变式3-3（2022秋红谷滩区校级期中）简便计算11G(- 48) X0.125+48X + (-48) X-84【分析】利用乘法的分配律先提取

16、48,再进行计算即可得出答案;【解答】解:(- 48) X0.125+48X-+ (-48) X-84=0【知识点4拆项法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计 算变得简洁.【题型4拆项法】【例4】(2022秋安陆市期中)阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：-5| + (-9|) + 17,+ (一3.解:原式=(-5) + (-9) + 17 + (-3) + (-|) + (-|) + + (_1) =0+(-1-) = (1)启发应用用上面的方法完成下列计算：(-3,) + (-1+ 21 (2【分析】将原式利用“拆项法”得出

17、原式=(-3- 1+2-2) + (-A-1 + I-1),再根据有理数的加 减运算法则计算可得.【解答】解：原式=(-3 - 1 +2 - 2) + (- - + 1 -) 10252=-4+ ()10=-4.10【变式4-1 (2022秋铁西区期末)计算：1.5- (-41)+3.75 -(+8工).42【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案.【角军答】解：原式=1 + ：+4+：+3+J 852442=-7+8=1.【变式4-2 (2022秋浦东新区期中)计算：5：-2升：. 364【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律 和结合律

18、，把整数与分数分别相加.【解答】解:原式=5+；-2-； + ： 364(5-2) +一渭)=3+卷【变式4-3 （2022秋凉山州期末）：（一2021今+（2022+ 4044 + （-分.【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可.【解答】解：原式=（- 2021） +（：）+ （ - 2022） +（,）+4044+（）741=(-2021 - 2022+4044) + ()777=0.【知识点5组合法】 找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.【题型5组合法】【例5】(2022秋南开区期中)计算：7+2 - 3+4 - 5+6+- 97+98 - 99= - 50【分析】根据

19、结合律，可得答案.【解答】解：原式=(-1+2) + ( - 3+4) + ( -5+6) +(一 97+98) - 9949= 1 + 1 + 1 +1 -99=49 - 99=.50,故答案为：-50.【变式 5-1 (2022 秋襄汾县期中)计算：1+2 - 3 - 4+5+6 - 7 - 8+2013+2014- 2015 - 2016【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为-4, 2016 + 4=504,正好为4的倍数，从而得出结论.【解答】解： 1+2-3-4=-4, 5+6-7-8=-4,即每四项结果为 - 4, 20164-4=504, 1+2 - 3 - 4+5+6 -

20、 7 - 8+2013+2014 - 2015 - 2016= - 4X504= - 2016.【变式5-2 (2022秋工业园区月考)计算1+ (-2) +3+ ( -4) +97+ ( - 98) +99+ ( - 100)的值A. 50A. 50B. - 50C. 101D. - 101【分析】原式两项两项合并正好得50个（- 1）,最后计算结果即可.【解答解:原式=(1 - 2) + (3-4) + (4-5) +.+ (99 - 100)50=-1 1 11=-50,故选：B.【变式5-3 (2022秋工业园区月考)计算：(1) 1 -34-5 - 7+9 - 11+-+97 - 9

21、9；(2) I-1+1-I - I-|.1021011 10310211031011【分析】(1)两个一组计算，再相加即可求解；(2)先计算绝对值，再抵消计算即可求解.【解答】解：(1) 1 - 3+5 - 7+9 - 11+97 - 99=(-2) + ( - 2) + ( - 2)=-2X25=-50；(2) |=0.【知识点6裂项相消法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计 算变得简洁.【题型6裂项相消法】【例6】(2022秋嘉定区期末)【阅读材料】问题：如何计算三+ 3 +三+】右呢？小红带领的 1X22x33x419x20数学兴

22、趣小组通过探索完成了这题的计算.他们的解法如下：解：原式=(1 _, + (,+ (, + +-)=12019- 20根据阅读材料，请你完成下列问题：(1)计算：展+表+W+熹（2）直接写出结果：打2+卷+2+2=_亮_；（不需要计算过程） O JL D O O O O 7 7X X（3）计算：&+短+总 +2017：2021【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得;心）原式利用不r 9 （之一高）裂项求和即可得;（3）利用相同的方法裂项计算可得.【解答】解:（1）原式=（1 - 2）+ + (工-工)=1 _ 2_ =/ k212372323（2）原式=卜（1号）+弓一9 +（AP +一

23、?】1/I1、=-X ( 1)11511故答案为：(3)原式=x (1 _6 +6一 +弓一卷)(3)原式=x (1 _6 +6一 +弓一卷)20172021【变式6-1 （2022秋遂宁期末）请先阅读下列一组内容,【变式6-1 （2022秋遂宁期末）请先阅读下列一组内容,然后解答问题:先观察下列等式：白=1一5*=9/1 _ 11_9X10 910将以上等式两边分别相力口得:亳+*+烹+ (渭) + (*) +与)=泻+:1 . 11 _ 11 _ 99109101010十= 1=一然后用你发现的规律解答下列问题:（1）猜想并写出:n(n-l) n-1n（2）直接写出下列各式的计算结果:20102010X20112011 n(n+l) n+l（3）探究并计算：上+自+焉+元【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可;（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果;（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果.