专题4-1 平方根与立方根【九大题型】（苏科版）（解析版）.docx

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1、专题4平方根与立方根【九大题型】【苏科版】【题型1平方根、立方根的概念及表示】1【题型2平方根性质的运用】 3【题型3开平方、开立方的运算】 4【题型4利用开平方、开立方解方程】5【题型5算术平方根的概念及非负性】 8【题型6开方运算中的小数点移动规律】 9【题型7平方根与立方根综合】 11【题型8算术平方根、立方根的应用】 13【题型9算术平方根、立方根的规律探究】14于一三【知识点1平方根的概念及表示】定义：如果%2 =。伽20）,那么叫做a的平方根,也称为二次方根.表示方法：正数。的正的平方根记作逅，负的平方根记作-正数a的两个平方根记作土逅，读作正、 负根号a,其中。叫做被开方数.【知

2、识点2立方根的概念及性质】一般地，如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根。即如果那么x叫 做。的立方根，记作折。即工二正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.【题型1平方根、立方根的概念及表示】【例1】（2022春海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）A. -aB. - ct+C. -a2D. - a2 - 【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案.【解答】解：在小-4+1, “2, -/中，-/一是负数，没有平方根.故选：【变式1-1（2022春鞍山期末）下列说法正确的是（）A. - I是1的平方根B. - 1是-1的平方根故选:B.【

3、变式6-1（2022乐清市校级期中）（1）填表:a0.0000010.001110001000000近0.010.1110100（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律.被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位;（3）根据你发现的规律填空：已知海=1.442,则我丽 =14.42 ；已知V0.000456 =0.07696,则也茄=7.696 .【分析】（1）开立方运算，然后填表即可：（2）根据表格信息，可得答案；（3）根据（2）的规律求解即可.【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位；（3）已知遮=

4、1.442,则怖而=14.42：已知V0.000456 =0.07696,贝ij V456 =7.696：【变式 6-2 （2022 春岳麓区校级期中）已知VK超=5.03587, 7256 15.92482,则4253600 503.587 （结果保留3位小数）.【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就 相应地向左或向右移动1位，进行解答即可.【解答】解：V2536 5.03587,V253600二,25.36 X 103=V25.36 x V104,=5.03587X100,=503.587.故答案为：503.587.【变式6-3（2022

5、无棣县期木）先填写下表，观察后回答下列问题:a-0.00100.00111000y/a-0.101（1）被开方数。的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，清写出它的移 动规律.（2）已知：Va = -50, V0425 =0.5,你能求出。的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；（2）依据规律进行计算即可.【解答】解：填表结果为01，10：（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1 位；（2）能求出a的值;VV0425 =0.5,AV-0.125 = -0.5,由-0.5和

6、-50,小数点向右移动了 2位，则-0.125的小数点向右移动6位，：.a= - 125 000【题型7平方根与立方根综合】例7 （2022春海珠区校级期中）一个正数m的两个平方根分别为13a和a+5,则这个正数m的立方 根是一 4 .【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0,列出方程求出再求 出平方根，然后根据平方根的平方求出最后求，的立方根.【解答】解:根据题意，得：（1 - 3a） + （a+5） =0,1 - 3a+a+5=0,-3a+a= -1-5,-2a = - 6,=3.a+53+58,.zm=82= 64,64的立方根为4.故答案为：4.【变式7-

7、1（2022春海珠区期末）若实数5x+19的立方根是4,则实数31+9的平方根是【分析】根据立方根的定义列出方程求出x，然后求出3x+9的值，最后求它的平方根即司二【解答】解：5x+19的立方根是4,/.5x+19=43=64,：.x=9,.,3x4-9=3X9+9=36,36的平方根为6,故答案为：士6.【变式7-2 （2022春兴仁市月考）已知4 =个八一又+ 3是m+3的算术平方根，B =止?圻Qj不是 m+2n的立方根，求B - A的平方根.【分析】首先利用算:术平方根的定义以及结合立方根的定义得出，机的值，进而利用平方根的定义求 山答案.【解答】解:由题意得:？ - 2=2,- 2+

8、3=3,解得：?=4, =2,则 4= V2 - 4 + 3 =1, 13= V4 + 2 x 2 = 2,：.B-A = 2 -1 = 1,则8-A的平方根为：士1.【变式7-3（2022兴化市月考）若a、b满足/=% b3= - 8,则-b的值为 5或-1 .分析根据平方根与立方根的定义即可求出答案.【解答】解：由题意可知：。=3, h=-2,当4=3时，原式=3 - （ - 2）=3+2=5.当a= - 3时，原式=-3 - （ - 2 ）=-1.【题型8算术平方根、立方根的应用】【例8】（2022桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6/层，房间地面恰好由110块相

9、同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60s?,第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000c3则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（I）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 00（）。/,求出第二个水箱的校长，进而求出表面积即可.【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6+110=0.16 （小2）,所以正方形地砖的边长为：V0.16 =0.4 （加）.答：每块地砖的边长是04：（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603 =

10、216000 （a/）,所以第二个正方体水箱的体积为：3X216000+81000=729000 （cM）,所以第二个正方体水箱的校长为：V729000 =90 （cm）,所以需要铁皮90X90乂6=48600。层=4.86病.【变式8-1（2022秋沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2?，容积为11.52，则此水池 底面正方形的边长为（）A. 2.4/B. 4.2/?C. 9.25mD. 13.52机【分析】设水池底面正方形的边长为足，由题意得2F=11.52,再根据算术平方根的定义求得x=2.4.【解答】解：设水池底面正方形的边长为由题意得，2?=11.52.：，x=2.4.此水

11、池底面正方形的边长为2.4 m.故选：A.【变式8-2（2022南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为（）.25/,且长方体 的高是底面边长的2倍.（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积.【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可;(2)利用其表面枳的计算方法求得其表面枳即可.【解答】解：(1)设底面边长为则高为2x (?)，则 x22x=0.25解得：x=0.5,故长方形的底面边长为0.5小；(2) S全=25底+4S恻= 2X0.25+4X0.5=2.5/序【变式8-3(2022春奈曼旗期中)小明打算用一

12、块面积为900c尸的正方形木板，沿着边的方向裁出个 长方形面积为588c/桌面，并且的长宽之比为4： 3,你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽； 如果不能，请说明理由.【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边 长与正方形的边长的比，可得答案.【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x (cm)和3x (an),根据题意得，4xX3x=588.12r=588 f=49, x0,x= V49 =7,.4x=4X7=28 (cm)3x=3X7 = 21 (c/n),面积为900cW2的正方形木板的边长为30(77?, 28(7? 0,

13、/.x= V2.故答案为：（I） -4； （2） V2.【变式2-3（2022春建安区期中）若。是（-4） 2的平方根，。的一个平方根是2,则代数式的值为（ ）A. 8B. 0C. 8 或 0D. 4 或-4【分析】先依据平方根的定义和性质求得。、人的值，然后依据有理数的加法法则求解即可.【解答】解：”是（-4） 2的平方根，.*.67= 4.”的一个平方根是2,：,b=4.，当 a=4, 0=4 时，a+b=8；当。=-4,0=4 时，a+b=0.故选：C.【知识点4开平方】求一个数的壬方鬼的运算叫做开平方.【知识点5开立方】求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【题型3开平方、开立方的运算】

14、【例3】（2022春雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a=2020 , b= - 2020 .【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题.【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是加，。的立方根是加,Aw3=2020, （ -/） 3=小：,a= - 2020；又的平方根是2020和4：.b= - 2020.故答案为：- 2020, - 2020.【变式3-1 （2022春绥棱县期末）己知戈、y为实数，旦满足VE +式=（），那么2022 -呼=（）. 【分析】根据JE +Jf=0,且与Jf 均大于等于0,以此解出工、），值进而计算出结果. 【解答】解：*.*

15、 Vl + x + J1 - y =0,且Vl + x与11 y均 20,l+x=0, 1 - y=（）,得 x=- 1,）= 1，022 _）,2022= （ _ D 2022 _ I2O22= _ 1=0故答案为：0.【变式3-2（2022春五常市期末）W的平方根是_磊_,-27的立方根是-3 .【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可.【解答】解：联的平方根为土居=奈=嬴-27的立方根为私干=一3,故答案为:嬴7.【变式3-3（2022春龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的工为64时，输出的），是（）输入x 6取立方根尸取算术平方根输出y是有理数A. 2V2B. 2C. V

16、2D. V2【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案.【解答】解：由题意可得：64的立方根为4, 4的算术平方根是2, 2的算术平方根是VL即 y= V2.故选：C.【题型4利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022靖江市期末）求出下列x的值：(1) 4.V2 - 9=0：(2) 8 (x+1) 3=125.【分析】(1)移项，把二次项系数化为1,开平方求出X；(2)把二次项系数化为1,开立方求出x.【解答】解：(1)- 9=0,4f=9,4X尸X2= -1；(3) 8 (x+1) 3=125,(x+l) 3=, 8x+l= 2x=1.5.【变式4-1 (2022春闽中

17、市期中)(1)已知4 (x-3) 2=64,求X的值.(2)已知(x+l) 3+27=0,求x 的值.【分析】(1)根据题意可化为(x-3) 2 = 16,根据平方根的定义可得x-3= 彷，计算即可得出答案;(2)根据题意可化为(x+1) 3=-27,根据立方根的定义可得x+l=g7,计算即可得出答案.【解答】解：(1)4 (x-3) 2 = 64,(x - 3) 2 = 16,x - 3= /16,x - 3=4,x - 3 = 4 或 x - 3= - 4,x = 7 或 x= T；(2) (x+1) 3+27 = 0,(x+1) 3= - 27,x+l= V-27,x+l= - 3,x=

18、 - 4.【变式4-2(2022春安陆市期中)求x的值：(1)*=5()；(2) (x+1) 3+3=8【分析】(1)根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；(2)根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案.【解答】解：(1) 2?=50,两边都除以2得，=25,根据平方根的定义得，x= 5；（2） （x+1） 3+3=8移项得，（1+1）3=-：一3,合并同类项得，（%+1）3=一多 O根据立方根的定义得，1+1=-|,解得x= -|.【变式4-3（2017秋金牛区校级月考）解方程：若（X-I） 2-1=8,则尸 -2或4 ；若x3 - ?=0,则 ”=【分析】（1）方程利用平方根定义开方

19、即可求出X的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值.【解答】解：（1） （A - 1） 2- 1=8,（X - 1） 2 = 9,x - 1 = 3,x= - 2 或 4：（2） 9一色=0,27;8 X =一,272 X= 3故答案为：2或4；泉【知识点6算术平方根的概念】正数Q有两个平方根土卷，我们把正数。的正的平方根逅，叫做。的算术平方根.【知识点7算术平方根的性质】正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.当Q N 0时，必二田算术平方根具有双重非负性：a0； V50.【题型5算术平方根的概念及非负性】【例5】(2022春饶平县校级期末)J(

20、/ + 4)2的算术平方根是()A. (f+4) 4 B. (/+4) 2 C. /+4D.收 +4【分析】根据平方根的定义，求数。的平方根，也就是求一个数x,使得则工就是的平方根.我们把正的平方根叫4的算术平方根，由此即可求出J(%2 + 4)2的算术平方根.【解答】解：,%2 + 4)2=/+4, J(%2 + 4)2的算术平方根是故选：。.【变式5-1(2022春巴彦县期末)若X-5有算术平方根，则x满足的条件是.【分析】根据非负数有平方根列式求解即可.【解答】解：根据题意得，x-520,解得故答案为：x25.【变式5-2(2022春宁县期末)若后二为整数，x为正整数，则x的值为 3或6

21、或7 .【分析】根据算术平方根的定义解决此题.【解答】解：由题意得，7-x20. 后7. ”为正整数,可能为 1、2、3、4、5、6、7. 夜为整数，x=3 或 6 或 7.故答案为：3或6或7.【变式5-3(2022春椒江区期末)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若 两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如：9, -4, - 1这三个数，7(-9) x (-4) = 6, V(-9) x (-1) = 3, J(_4)x(T) = 2,其结果 6, 3, 2 都是整数，所以 1, -4,-9这三个数称为“完美组合数”.（1）- 18, -8, -

22、2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.（2）若三个数-3, ?，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12,求机的值.【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个 数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断：（2）分两种情况讨论：当仁标=12时，当=12时，分别计算即可.【解答】解：（1）- 18, -8, -2这三个数是“完美组合数”，理由如下：J（-18） x （-8） =12, J（T8） X （-2） =6, /（一8） x （-2） =4,A - 18, -8, -2这三个数是“完美组合数”；（2） V7（-3）

23、x （-12） =6,，分两种情况讨论：当 1=12 时，-3?= 144,？= - 48；当，-12m =12 时,-12?= 144,?= - 12 （不符合题意,舍）；综上，?的值是-48.【题型6开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春遵义期末）如下表，被开方数。和它的算术平方根伞的小数点位置移动符合一定的规律, 根据规律可得?，的值分别为a0.06250.6256.2562.56256250625(X)625(X)00.250.791mn2579.1250791(注：表中部分数值为近似值)()A.m=0.025,7.91B.6=2.5,7.91C.机Q7.91, n=2.5D. m=2.5,0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题.【解答】解：由题意得，V0.0625 = 0.25,血侬、0.791, V625 = m, 765 = n.VV625 = V0.0625 x 100 = ).0625 x 10 =0.25X 10=2.5,V62?5 = V0.625 x 100 = Vo625 x 10 *0.791 X 10-7.91,77z=2.5 f 於7.91 .