概率论与数理统计-4.pptx

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1、第四章随机变量的数字特征上一章介绍了随机变量的分布函数、概率函数和分布律，它们都能完整地描述随机变量，但是在某些实际或理论问题中，往往人们感兴趣的只是能够描述随机变量的某一种特征常数。例如，一足球队队员的球龄是随机变量，但观众往往关注的只是平均年龄；一个白领一年十二个月的收入是一个随机变量，但人们往往只关注月平均收入。这种由随机变量的分布所确定的，能刻画随机变量某一方面特征的常数称为数字特征。序言01数学期望引例 设某车间有200台车床，每台车床是否工作是随机的（即有时工作、有时不工作）。为了考虑该车间的电力供应问题，需要知道同时工作的车床数。而同时工作的车床数是一随机变量，记为X现在对X进行

2、n次观察，即选择n个不同的时刻，计算同时工作的车床数，得到n个数值。设随机变量X取0,1,2,200的次数分别为m0,m1,m2,m200，显然有m0+m1+m2+m200=n，如表所示。其中，X取k的频率为。X012200次数m0m1m2m200频率由表知，同时工作的车床数平均值为这个数是与随机变量X密切相关的，但由于频率随观察次数n的变动而不同，所以这个数值带有一定的波动性。由频率稳定性知，n很大时，频率将在一定意义下接近于事件X=k的概率Pk。这样，我们可以用概率Pk代替频率，并认为为随机变量X的平均值。这是以概率为权的加权平均值，且这个数值仅仅依赖于随机变量X本身，这就是本章首先要介绍

3、的重要概念数学期望。一、离散型随机变量的数学期望定义1 设离散型随机变量X的分布律为，若级数 绝对收敛，则称级数 为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即（4-1）数学期望简称期望或均值。数学期望完全由随机变量X及其分布所确定，式（4-1）既是数学期望的定义式，也同时是数学期望的计算式。由频率稳定性知，n很大时，频率将在一定意义下接近于事件X=k的概率Pk。这样，我们可以用概率Pk代替频率，并认为为随机变量X的平均值。这是以概率为权的加权平均值，且这个数值仅仅依赖于随机变量X本身，这就是本章首先要介绍的重要概念数学期望。例1 设随机变量X(0,1)分布，求E(X)。解例2 设随机变量XB(n,

4、p)分布，求E(X)。解 由定义式（4-1）知：解 由定义式（4-1）知：例3 设随机变量 分布，求E(X)。二、连续型随机变量的数学期望定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即（4-1）数学期望完全由随机变量X及其分布所确定，式（4-2）既是数学期望的定义式，也同时是数学期望的计算式。解 由定义式（4-2）知：例4 设随机变量 分布，求E(X)。解 由定义式（4-2）知：例4 设随机变量 分布，其概率密度为其中，0，求E(X)。令则由此可知，正态分布中的参数，恰是服从正态分布的随机变量的数学期望解 因为例7 设随机变

5、量X的概率密度为，问E(X)是否存在？所以积分 非绝对收敛，故E(X)不存在。三、二维随机变量的数学期望随机变量数学期望的定义可以推广到多维随机变量譬如，设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为则其数学期望为(4-3)(4-4)二维连续随机变量(X,Y)的数学期望为(4-5)(4-6)其中 为联合分布律，f(x,y)为联合分布函数。例8 设(X,Y)的联合分布如所示。求E(X)，E(Y)。YX1231020X12P例8 设(X,Y)的联合分布如所示。求E(X)，E(Y)。解 根据表可知，随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布如表所示。Y123P所以解 (x,y)的分布如图所示例9 设(X,Y

6、)的联合概率密度函数为，求E(X)，E(Y)。四、随机变量函数的数学期望定理1 设离散型随机变量X的分布律为 是实值连续函数，且级数绝对收敛，则随机变量函数g(X)的数学期望为(4-7)四、随机变量函数的数学期望定理2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，g(x)是实值连续函数，且积分绝对收敛，则随机变量函数g(X)的数学期望为(4-8)例10 设随机变量X的分布律如表所示，求随机变量函数Y=X2的数学期望。X-101P例10 设随机变量X的分布律如表所示，求随机变量函数Y=X2的数学期望。解 根据表可知，关于Y的边缘分布如表所示。Y01P因此，由式（4-7）知，解 记圆面积为S，则例11

7、 对圆的直径作近似测量，设其测量值，求圆面积的数学期望。又由已知X的概率密度为则由式（4-8）有定理3 设二维离散随机变量(X,Y)的分布律为g(x,y)是实值连续函数，且级数 绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为（4-9）定理4 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，g(x,y)是实值连续函数，且积分绝对收敛，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为（4-10）解例12 设(X,Y)的联合概率密度为 ，求E(X)，E(Y)。例13 按季节出售的某种商品，每售出1 kg获利润6元，如到季末尚有剩余商品，则每千克净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X是一种随机变量

8、，XU(8,16)，则商店应进多少货，才可以保证利润最大。解 设t表示进货量，易知应取8t0，求E(X)。又所以解 因为例5 设随机变量 ，求D(X)。所以有令例5 设随机变量 ，求D(X)。则由上节讨论知，正态分布中的参数是服从正态分布的随机变量的数学期望。本例告诉我们，正态分布中的另一个参数2，就是服从正态分布的随机变量的方差二、方 差 的 性 质性质性质1 设随机变量X，则对于任意常数a，b，有（4-15）证：推论推论1 设b为常数，则D(b)=0，即常数的方差为0推论推论2 设X为随机变量，a为常数，则D(aX)=a2D(X)推论推论3 设X为随机变量，则。二、方 差 的 性 质性质性

9、质2 设X,Y为相互独立的随机变量，则有（4-16）证：由于X与Y相互独立，所以X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立，由数学期望性质知推论1 X,Y为相互独立的随机变量，a，b为任意常数，有特别地推论2 X1,X2,Xn为n个相互独立的随机变量，a1,a2,an为任意常数，则有解 由上节例14，为n个相互独立的随机变量，例6 设随机变量，求D(X)。且 服从（0-1）分布。又故证例7 设随机变量X，称 为X的标准化变量，证明。解 由期望和方差的性质有例8 为n个相互独立的随机变量，,i=1,2,，n，令 ，求。解 由X与Y相互独立知例9 设随机变量X与Y相互独立，且,求概率。所以于是例9 设随

10、机变量X与Y相互独立，且,求概率。同理可知，于是二、方 差 的 性 质定义定义2 对随机变量X及正整数k，若 存在，则称 为X的k阶原点矩，简称k阶矩；若 存在，则称 为X的k阶中心矩。易知随机变量X的1阶原点矩就是X的数学期望；X的1阶中心矩为0；X的2阶中心矩为X的方差。三、切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量X具有有限数学期望和方差 ，则对于任意的正数 0，有，即（4-17）证即推论 D(X)=0的充要条件是随机变量X依概率1取常数C=E(X)，即证 设则对于任意正整数n，由切比雪夫不等式，有即但概率不能大于1，故任取正整数n，有所以例9 设X为随机变量，且,试用切比雪夫不等式估计

11、。解 由切比雪夫不等式有例11 有一批种子，其中良种占 ，现从中任取6 000粒,试用切比雪夫不等式估计6 000粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.01的概率。解 由题意知，任取出的6 000粒种子中，良种数是一随机变量，将其记为X，易知从而例11 有一批种子，其中良种占 ，现从中任取6 000粒,试用切比雪夫不等式估计6 000粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.01的概率。由切比雪夫不等式有03协方差与相关系数对二维随机变量(X,Y)而言，X和Y的期望与方差仅仅描述了X和Y自身的某些特征，而关于X与Y之间的相互关系并未提供任何信息为此，我们需要引入一个数字特征，它可以

12、反映两个随机变量间的联系，这就是协方差与相关系数序言一、协方差的定义与性质定义定义1 设(X,Y)为二维随机变量，若 存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y)，即（4-18）协方差是两个随机变量函数的数学期望因此，当已知(X,Y)的分布时，可由式（4-18）计算协方差此外，计算协方差还有另一个常用公式：（4-19）性质性质1性质性质2性质性质3性质性质4性质性质5性质性质6例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如表所示，求cov(X2+3,Y2-5)。YX-10100.070.180.1510.080.320.20解 由协方差的性质可得例1 设二维离散型随机变量(X

13、,Y)的联合分布律如表所示，求cov(X2+3,Y2-5)。X01P0.40.6又由已知可得X与Y的边缘分布分别如表：Y-101P0.150.50.35例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如表所示，求cov(X2+3,Y2-5)。因此于是二、相 关 系 数定义定义2 设随机变量X，Y的数学期望和方差都存在，则称（4-20）为随机变量X与Y的相关系数。定理定理1 设为随机变量X与Y的相关系数，则（1）（2）|=1的充要条件是 （a，b为常数，且 ）。证 （1）令则所以（2）即化简得因为故从而定义定义3 设随机变量X与Y的相关系数为，若=0，则称随机变量X与Y不相关定理定理2 对二维随

14、机变量(X,Y)，下述命题等价：（1）=0；（2）cov(X,Y)=0；（3）（4）定理定理3 设(X,Y)为二维随机变量，若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关。反之不然。定理3表明，两随机变量不相关和两随机变量相互独立与否是两个不同的概念，两者是不等价的。当随机变量X与Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)，由定理2知，X与Y必不相关；而当X与Y不相关时，仅仅表明X与Y之间不存在线性关系，这并不等于说X与Y之间不存在其他形式的关系。若X与Y之间不存在线性关系（即不相关），但存在着其他形式的依赖关系，X与Y就不相互独立了。提示解 由协方差的性质推得例3 设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布。记 （a，b为常数）。问a，b取何值时，U与V不相关？。所以当|a|=|b|时，cov(U,V)=0，即U与V不相关总结Thanks!