B第4章随机变量的数字特征浙江农林汇总.ppt

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计第第2 2页页返回目录返回目录第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1随机变量的数学期望随机变量的数学期望2随机变量的方差随机变量的方差3协方差与相关系数协方差与相关系数第四章习题课第四章习题课概率论与数理统计概率论与数理统计第第3 3页页返回目录返回目录第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征概率论与数理统计概率论与数理统计第第4 4页页返回目录返回目录1随机变量的数学期望随机变量的数学期望引例引例 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的

2、环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率概率论与数理统计概率论与数理统计第第5 5页页返回目录返回目录解解平均射中环数平均射中环数设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量 Y.概率论与数理统计概率论与数理统计第第6 6页页返回目录返回目录 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定的稳定值值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环

3、数的可能值与其概率之积的累加概率论与数理统计概率论与数理统计第第7 7页页返回目录返回目录1.1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望不存在不存在 概率论与数理统计概率论与数理统计第第8 8页页返回目录返回目录所以所以A的射击技术较的射击技术较B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数XBA射手名称例例 有有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？问哪一个射手本领较好？解解 A射击平均击中环数为射击平均击中环数为B射击平均击中环数为射击平均击中环数为概率论与数理统计概率论与数理统计第第9 9页页

4、返回目录返回目录 解解 分布律为：分布律为：平均废品数为：平均废品数为：概率论与数理统计概率论与数理统计第第1010页页返回目录返回目录例例 设随机变量设随机变量X具有如下的分布，求具有如下的分布，求E(X).解解 虽然有虽然有但是但是因此因此E(X)不存在不存在.=?=?概率论与数理统计概率论与数理统计第第1111页页返回目录返回目录1.2连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望离散型随机变量离散型随机变量X的数学期望为的数学期望为自然要问连续型随机变量自然要问连续型随机变量X的数学期望是什么的数学期望是什么?概率论与数理统计概率论与数理统计第第1212页页返回目录返回目录设设p(x

5、)是连续型随机变量是连续型随机变量X的密度函数的密度函数,取分点取分点x0 x1xn+1则随机变量则随机变量X落在落在xi=(xi,xi+1)中的概率为中的概率为与与X近似的随机变量近似的随机变量Y的数学期望为的数学期望为由微积分知识自然想到由微积分知识自然想到X的数学期望为的数学期望为概率论与数理统计概率论与数理统计第第1313页页返回目录返回目录不存在不存在 概率论与数理统计概率论与数理统计第第1414页页返回目录返回目录例例 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为试求试求X的数学期望的数学期望.解解概率论与数理统计概率论与数理统计第第1515页页返回目录返回目录例例 若随

6、机变量若随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为问随机变量问随机变量X的数学期望的数学期望E(X)是否存在是否存在.解解所以所以E(X)不存在不存在.但但概率论与数理统计概率论与数理统计第第1616页页返回目录返回目录1.3随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 概率论与数理统计概率论与数理统计第第1717页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第1818页页返回目录返回目录 解解 概率论与数理统计概率论与数理统计第第1919页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第2020页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第2121页页返回目录返回目录

7、解解例例 设设(X,Y)的分布律为的分布律为概率论与数理统计概率论与数理统计第第2222页页返回目录返回目录由于由于概率论与数理统计概率论与数理统计第第2323页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第2424页页返回目录返回目录1.4数学期望的性质数学期望的性质1.设设 C 是常数是常数,则有则有2.设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，C 是常数，则有是常数，则有3.设设 X,Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有概率论与数理统计概率论与数理统计第第2525页页返回目录返回目录解解 概率论与数理统

8、计概率论与数理统计第第2626页页返回目录返回目录从而由期望的性质可得从而由期望的性质可得 概率论与数理统计概率论与数理统计第第2727页页返回目录返回目录2随机变量的方差随机变量的方差引例引例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：分布律：易知易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种手由数学期望无法判别两种手表的优劣表的优劣.但直觉告诉我们但直觉告诉我们A优于优于B,怎么样用数学怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢的方法把这种直觉表达出来呢?概率论与数理统计概率论与数理统计第第2828页页返回目录返回目录2.1方差的概念方差的概念标

9、准差（标准差（Standard variance）:概率论与数理统计概率论与数理统计第第2929页页返回目录返回目录方差的意义方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量.如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取取值分散程度大值分散程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以 E(X)作为随作为随机变量的代表性好机变量的代表性好.概率论与数理统计概率论与数理统计第第3030页页返回目录返回目录证明证明定理定理概率论与数理统计概率论与数理统计第第3131页

10、页返回目录返回目录例例 A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律，问哪种手表质量好些布律，问哪种手表质量好些?解解 易知易知E(XA)=E(XB)=0.所以所以由于由于D(XA)0从而有从而有D(X)E(X-C)2概率论与数理统计概率论与数理统计第第4040页页返回目录返回目录3协方差与相关系数协方差与相关系数概率论与数理统计概率论与数理统计第第4141页页返回目录返回目录3.1协方差协方差概率论与数理统计概率论与数理统计第第4242页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第4343页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数

11、理统计第第4444页页返回目录返回目录证明证明 Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(Y-E(Y)(X-E(X)=Cov(Y,X)概率论与数理统计概率论与数理统计第第4545页页返回目录返回目录证明证明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY)=Ea(X-E(X)b(Y-E(Y)=abEX-E(X)Y-E(Y)=abCov(X,Y)概率论与数理统计概率论与数理统计第第4646页页返回目录返回目录证明证明 Cov(X+Y,Z)=E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z)=E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z)=EX-E(X)Z-E(Z)+Y-E(Y)Z-E(

12、Z)=EX-E(X)Z-E(Z)+EY-E(Y)Z-E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)概率论与数理统计概率论与数理统计第第4747页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数理统计第第4848页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数理统计第第4949页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第5050页页返回目录返回目录3.2相关系数相关系数 协方差的数值在一定程度上反映了协方差的数值在一定程度上反映了X与与Y相互相互间的联系间的联系,但它受但它受X与与Y本身数值大小的影响本身数值大小的影响.如令如令X*=kX，Y*=kY，这时，这时X*与与Y

13、*间的相互联系和间的相互联系和X与与Y的相互联系应该是一样的，但是的相互联系应该是一样的，但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)引进相关系数的概念引进相关系数的概念克服这一缺点克服这一缺点.概率论与数理统计概率论与数理统计第第5151页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第5252页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第5353页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第5454页页返回目录返回目录解方程组得：解方程组得：概率论与数理统计概率论与数理统计第第5555页页返回目录返回目录相关系数的性质：相关系数的性质：概率论与数理统计概率论与数

14、理统计第第5656页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数理统计第第5757页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数理统计第第5858页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数理统计第第5959页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第6060页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第6161页页返回目录返回目录oXYoooXXXYYY01-10=1=-1相关情况示意图相关情况示意图概率论与数理统计概率论与数理统计第第6262页页返回目录返回目录证明证明 概率论与数理统计概率论与数理统计第第6363页页返回目录返回目录解

15、解 概率论与数理统计概率论与数理统计第第6464页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第6565页页返回目录返回目录 解解 概率论与数理统计概率论与数理统计第第6666页页返回目录返回目录所以所以因此因此概率论与数理统计概率论与数理统计第第6767页页返回目录返回目录第四章习题课第四章习题课数学期望数学期望方方 差差离离散散型型连连续续型型性性 质质协协方方差差与与相相关关系系数数二二维维随随机机变变量量的的数数学学期期望望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差的协方差的性质性质相关系数相关系数定理定理概率论与数理统计概率论与

16、数理统计第第6868页页返回目录返回目录随机变量的数学期望随机变量的数学期望概率论与数理统计概率论与数理统计第第6969页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第7070页页返回目录返回目录数学期望的性质数学期望的性质1.设设 C 是常数是常数,则有则有2.设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，C 是常数，则有是常数，则有3.设设 X,Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有4.设设 X,Y 是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有概率论与数理统计概率论与数理统计第第7171页页返回目录返回目录随机变量的方差随机变量的方差概率论与数理统计概率论与数理统计第第7

17、272页页返回目录返回目录方差的性质方差的性质概率论与数理统计概率论与数理统计第第7373页页返回目录返回目录协方差协方差概率论与数理统计概率论与数理统计第第7474页页返回目录返回目录相关系数相关系数概率论与数理统计概率论与数理统计第第7575页页返回目录返回目录oXYoooXXXYYY01-10=1=-1相关情况示意图相关情况示意图概率论与数理统计概率论与数理统计第第7676页页返回目录返回目录典型例题典型例题题型题型1 求随机变量的数学期望和方差求随机变量的数学期望和方差解解概率论与数理统计概率论与数理统计第第7777页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第7878页页返

18、回目录返回目录题型题型2 求随机变量函数的数学期望求随机变量函数的数学期望解解例例概率论与数理统计概率论与数理统计第第7979页页返回目录返回目录解解 概率论与数理统计概率论与数理统计第第8080页页返回目录返回目录解解 从数字从数字0,1,2,n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望.一般的一般的例例概率论与数理统计概率论与数理统计第第8181页页返回目录返回目录解解例例概率论与数理统计概率论与数理统计第第8282页页返回目录返回目录解解概率论与数理统计概率论与数理统计第第8383页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率

19、论与数理统计第第8484页页返回目录返回目录X Y-10100.070.180.1510.080.320.20解解X201P0.40.6Y201P0.50.5概率论与数理统计概率论与数理统计第第8585页页返回目录返回目录X2Y201P0.720.28概率论与数理统计概率论与数理统计第第8686页页返回目录返回目录解解因为因为X+Y=n,且且XB(n,1/2),YB(n,1/2)所以所以D(X)=D(Y)=n/4概率论与数理统计概率论与数理统计第第8787页页返回目录返回目录考研真题考研真题概率论与数理统计概率论与数理统计第第8888页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第89

20、89页页返回目录返回目录解解概率论与数理统计概率论与数理统计第第9090页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9191页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9292页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9393页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9494页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9595页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9696页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9797页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9898页页返回目录返回

21、目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第9999页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第100100页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第101101页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第102102页页返回目录返回目录概率论与数理统计概率论与数理统计第第103103页页返回目录返回目录人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。概率论与数理统计概率论与数理统计第第104104页页返回目录返回目录