《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限.ppt

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1、高等数学高等数学(同同济六版六版)教学教学课件件第第1章章.函数与极限函数与极限目录 上页 下页 返回 结束 一、一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述 ,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：证：当“”“”目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.有定义且有说明说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法法1 找一个数列不存在.法法2 找两个趋于的不同数列及使目录 上页 下页 返回

2、结束 例例1.证明不存在.证证:取两个趋于 0 的数列及有由定理 1 知不存在.目录 上页 下页 返回 结束 2.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积二、二、两个重要极限两个重要极限 证证:当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:例例3.求解解:令则因此原式目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求解解:原式=例例5.已知圆内接正 n 边形面积为证明:证证:说明说明:计算中注意利用目录 上页 下页 返回 结束 2.证证:当时,设则(

3、P5354)目录 上页 下页 返回 结束 当则从而有故说明说明:此极限也可写为时,令目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求解解:令则说明说明：若利用则 原式目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求解解:原式=目录 上页 下页 返回 结束 的不同数列内容小结内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法法1 找一个数列且使法法2 找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则目录 上页 下页 返回 结束 2.两个重要极限或注注:代表相同的表达式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 (14)作业作业 P56 1

4、(4)，(5)，(6);2 (2)，(3)，(4);4 (4),(5)第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 都是无穷小,第七节引例引例.但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.无穷小的比较目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若则称 是比 高阶高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,当时又如又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明:当时,证证:例例2.证明:证证

5、:目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系:说明说明:上述证明过程也给出了等价关系:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.证证:即即例如例如,故目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.设且存在,则证证:例如例如,目录 上页 下页 返回 结束 设对同一变化过程,为无穷小,说明说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若 =o(),(2)和差代替规则和差代替规则:例如,例如,(见下页例3)目录 上页 下页 返回 结束(3)因式代替规则因式代替规则:界,则例如,例例3.求解解:原式 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求解解:目录 上页

6、 下页 返回 结束 例例5.证明:当时,证证:利用和差代替与取大规则和差代替与取大规则说明说明目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小目录 上页 下页 返回 结束 2.等价无穷小替换定理思考与练习思考与练习Th 2P59 题1,2 作业作业 P59 3;4(2),(3),(4);5(3)常用等价无穷小:第八节 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点

7、 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 可见,函数在点一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;目录 上页 下页 返回 结束 continue若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.例如例如,在上连续.(有理整函数)又如又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要都有目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量有函数的增量左连续右连续当时,有函数在点连续有下列等价命题:目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明函数

8、在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.目录 上页 下页 返回

9、结束 为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:目录 上页 下页 返回 结束 显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:3.P65 题 3,*8为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,目录 上页 下页 返回 结束 P65 题题*8 提示提示:作业作业 P

10、65 4;5 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则 第九节二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上

11、连续单调递增，其反函数(递减)(证明略)在1,1上也连续单调(递减)递增.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续其反函数在上也连续单调递增.证证:设函数于是故复合函数又如又如,且即单调 递增,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例

12、如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:原式例例3.求解解:令则原式说明说明:由此可见当时,有目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求求解解:原式说明说明:若则有目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点

13、处是否连续需讨论其 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习续?反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业作业P69 3 (5),(6),(7);4(4),(5),(6);6提示提示:“反之”不成立.第十节 目录 上页 下页 返回 结束 第十节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理*三、一致连续性三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上

14、一定有最大(证明略)点,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有证证:设上有界.定理定理2.(零点定理)至少有一点且使(证明略)推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.(介值定理)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至

15、少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则内容小结 目录 上页 下页 返回 结束*三三.一致连续性一致连续性已知函数在区间 I 上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义定义:对任意的都有在在 I 上一致连续上一致连续.显然:目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,但不一致连续.因为取点则 可以任意小但这说明在(0,1 上不一致连续.定理定理4.上一致连续.(证明略)思考思考:P74 题*7提示提示:设存在,作辅助函数显然目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任

16、何值;4.当时,使必存在上有界;在在目录 上页 下页 返回 结束 1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示提示:令则易证2.设作业作业P74(习题110）2;3;5一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、连续与间断连续与间断 一、一、函数函数 三、三、极限极限 习题课习题课函数与极限函

17、数与极限 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、函数函数1.概念定义定义:定义域 值域图形图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中目录 上页 下页 返回 结束 2.特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同相同相同相同目录 上页 下页 返回 结束 2.下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数?为什么?不是不是是是不是不是提示提示:(2)目

18、录 上页 下页 返回 结束 3.下列函数是否为初等函数?为什么?以上各函数都是初等函数.目录 上页 下页 返回 结束 4.设求及其定义域.5.已知,求6.设求由得4.解解:目录 上页 下页 返回 结束 5.已知,求解解:6.设求解解:目录 上页 下页 返回 结束 解解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中，求令即即令即画线三式联立即例例1.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、连续与间断连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点目录 上页 下页 返回 结束 有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.

19、3.闭区间上连续函数的性质例例2.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例例3.设函数试确定常数 a 及 b.目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设 f(x)定义在区间上,若 f(x)在连续,提示提示:阅读与练习阅读与练习且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.P65 题 1,3(2);P74 题*6目录 上页 下页 返回 结束 证证:P74 题题*6.证明:若 令则给定当时,有又根据有界性定理,使取则在内连续,存在,则必在内有界.目录 上页 下页 返回 结束 上连续,且恒为

20、正,例例5.设在对任意的必存在一点证证:使令,则使故由零点定理知,存在即证明:即 目录 上页 下页 返回 结束 上连续,且 a c d b,例例6.设在必有一点证证:使即由介值定理,证明:故 即 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、极限极限1.极限定义的等价形式(以 为例)(即 为无穷小)有2.极限存在准则及极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 3.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.两个重要极限 6.判断极限不存在的方法 5.求极限的基本方法 或注注:代表相同的表达式目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求下列极限：提示提示:无穷小有界目录 上页 下页 返回 结束 令

21、目录 上页 下页 返回 结束 则有复习复习:若目录 上页 下页 返回 结束 例例8.确定常数 a,b,使解解:原式可变形为故于是而目录 上页 下页 返回 结束 例例9.当时,是的几阶无穷小?解解:设其为 x 的 k 阶无穷小,则因故目录 上页 下页 返回 结束 阅读与练习阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解解:x=1 为第一类可去间断点 x=1 为第二类无穷间断点 x=0 为第一类跳跃间断点目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对值目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P75 4(1),(4);5;8;9(2),(3),(6);10;11;12;133.求解解:令则利用夹逼准则可知谢谢观赏谢谢观赏