《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(2)1.ppt

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1、高等数学高等数学(同同济六版六版)教学教学课件件第第9章章.多元函数微分法及其多元函数微分法及其应用用(2)1复习复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 此处

2、要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.如个别为0,则理解为分子为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0,因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数,则 为 r(t)的矢端曲线,处的导向量 就是该点的切向量.例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:由于对应的切向量为在机动 目录 上页 下页 返回 结束,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或机动 目录 上页 下页 返回 结

3、束 也可表为法平面方程法平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法解法1 令则即切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程即机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2.方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平

4、面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程复习 目录 上页 下页 返回 结束 曲面时,则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习 目录 上页 下

5、页 返回 结束 例例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.确定正数 使曲面在点解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、 空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1)隐式情况.的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设 f(u)可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上

7、述方程.点的切平面为 1.证明曲面与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿

8、方向 l(方向角为)存在下列极限:机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角例例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:向量 l 的方向余弦为例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为机动 目录

9、 上页 下页 返回 结束 例例3.设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机

10、动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线等值线.则L*上点P 处的法向量为 同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证证:试证机动 目录 上页 下页 返回 结束 处矢径 r 的模,三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.已知位于坐

11、标原点的点电荷 q 在任意点试证证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 梯度在方向 l 上的投影.思考与练习思考与练习1.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在

12、M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线1.(1)在点解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示提示:则(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应

13、用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但

14、在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动 目录 上页 下页

15、返回 结束 例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大大)(大大)依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为

16、2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极

17、值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如例如,故 故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组

18、可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、

19、高尺寸如何?提示提示:长、宽、高尺寸相等.内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A(1,

20、3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为边的面积最大的四边形,试列出其

21、目标函数和约束条件?提示提示:目标函数目标函数:约束条件约束条件:答案答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以机动 目录 上页 下页 返回 结束*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第九章 一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示定理定理1 1.的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,

22、则有其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:令则 利用多元复合函数求导法则可得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,由 的麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页

23、 下页 返回 结束 例例1.求函数解解:的三阶泰勒公式.因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,因此机动 目录

24、上页 下页 返回 结束 从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则 时,有异号;同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,机动 目录 上页 下页 返回 结束+若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则若 A0,则 B0,为零或非零机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时因此 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 不能断定(x0,y0)是否为极值点.第九章*第十节第十节问题的提出问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类

25、型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准 实验数据有误差,不能要求机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小二乘法最小二乘法 偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f(x).最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式经验公式.,它们大体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b 令满足:使得解此线性方程组即得 a,b称为法方程组机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1

26、.为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为(P67 例1)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 得法方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0机动 目录 上页 下页 返回 结束 为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:称为均方误差,对

27、本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8

28、 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 例例2.在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据:57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中 表示从实验开始算起的时间,y 表示时刻 反应 物的量.试根据上述数据定出经验公式(P70例2)解解:由化学反应速度的理论知,经验公式应取其中k,m 为待定常数.

29、对其取对数得(线性函数)(书中取的是常用对数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 a,b 应满足法方程组:经计算得 解得:所求经验公式为其均方误差为机动 目录 上页 下页 返回 结束 观测数据:用最小二乘法确定a,b 通过计算确定某些经验公式类型的方法通过计算确定某些经验公式类型的方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。