《固体物理·黄昆》第五章(1).ppt

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1、固体物理黄昆第五章(1)5.1能带理论的基本近似和假设能带理论的基本近似和假设:1)绝热近似：绝热近似：原子核质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，原子核质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为认为原子核是固定在瞬时位置上原子核是固定在瞬时位置上;价电子变化最大，原子内层电子状态变化很小价电子变化最大，原子内层电子状态变化很小;内层电子内层电子和原子核可以看成离子实。这可以得到电子体系的波动和原子核可以看成离子实。这可以得到电子体系的波动方程方程:实际晶体有大量的电子和原子核组成实际晶体有大量的电子和原子核组成:能带理论的基本近似和假设能带理论的基本近似和假设:2)平均场（单电子

2、）近似平均场（单电子）近似:多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离多电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动子势场以及其它电子的平均场中运动其中其中 代表电子代表电子i与其它与其它电子的相互作用势能电子的相互作用势能.此外此外:则第则第i个电子的哈密顿量个电子的哈密顿量:体系体系:能带理论的基本近似和假设能带理论的基本近似和假设:3)周期性势场假设周期性势场假设:所有离子势场和其它电子的平均场是所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场周期性势场在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多在以上单电子近似核晶格周期性势场假定下，多电子体系问题简化为

3、在晶格周期性势场的单电子电子体系问题简化为在晶格周期性势场的单电子问题问题:晶体中的电子晶体中的电子在在晶格周期性的等效势场晶格周期性的等效势场中运动中运动波动方程波动方程晶格周期性势场晶格周期性势场理想晶体理想晶体 晶格，等效势场晶格，等效势场V(r)均具有均具有周期性周期性根据布洛赫定理，波函数可以写成根据布洛赫定理，波函数可以写成布布洛洛赫赫定定理理：当当势势场场 具具有有晶晶格格周周期期性性时时，波波动动方程的解具有以下性质方程的解具有以下性质晶格周期性函数晶格周期性函数布洛赫函数布洛赫函数 为一矢量。当平移晶格矢量为为一矢量。当平移晶格矢量为 ，波函数，波函数只增加只增加了了位相因子

4、位相因子5.2 周期势场下电子波函数的一般特性周期势场下电子波函数的一般特性:布洛赫定理布洛赫定理晶格晶格平移任意格矢量平移任意格矢量，势场不变势场不变在晶体中引入描述这些在晶体中引入描述这些平移对称操作平移对称操作的的算符算符（1）各平移算符之间对易）各平移算符之间对易为任意函数为任意函数布洛赫定理的证明布洛赫定理的证明平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量对应的平移算符对应的平移算符（2）平移算符和哈密顿量对易平移算符和哈密顿量对易对于任意函数对于任意函数和和 微分结果一样微分结果一样平移算符的平移算符的本征值本征值周期性边界条件周期性边界条件总原胞数总原胞数T和和H存存在在对对易易关关系系，则

5、则H的的本本征征函函数数同同时时也也是是各各平平移移算符算符T的本征函数的本征函数三个方向三个方向 上的原胞数目上的原胞数目对于对于整数整数对于对于对于对于引入矢量引入矢量倒格子基矢，有倒格子基矢，有平移算符的本征值平移算符的本征值布洛赫定理布洛赫定理将将 作用于电子波函数作用于电子波函数（1）表征原胞之间电子波函数表征原胞之间电子波函数位相的变化位相的变化（2）平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数简约波矢，简约波矢，不同的简约波矢不同的简约波矢，原胞之间的，原胞之间的位相差不同位相差不同（3）简约波矢）简约波矢改变一个倒格子矢量改变一个倒格子矢量平移算符的平移算符的本征值不受影响本征值不

6、受影响 平移算符本征值的物理意义平移算符本征值的物理意义 简约波矢简约波矢简约波矢的取值简约波矢的取值第一布里渊区体积第一布里渊区体积第一布里渊区第一布里渊区为为了了使使简简约约波波矢矢 的的取取值值和和平平移移算算符符的的本本征征值值一一一一对对应应，将将简约波矢的取值简约波矢的取值限制在限制在第一布里渊区第一布里渊区简约波矢简约波矢代表在代表在 空间中第一布里渊区空间中第一布里渊区均匀分布均匀分布的的点点每个代表点的体积每个代表点的体积状态密度状态密度简约布里渊区简约布里渊区的的波矢数目波矢数目简约波矢简约波矢Bloch函数函数:Bloch函数的性质函数的性质（1）行进波因子行进波因子 表

7、明电子可以在表明电子可以在整个晶体中运动整个晶体中运动的，称为的，称为共有化电子共有化电子，它的运动具有，它的运动具有类似行进平类似行进平面波面波的形式。的形式。（2）周期函数周期函数 的作用则是对这个波的的作用则是对这个波的振幅振幅进进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性周期性振荡振荡，但这，但这并不影响态函数具有行进波并不影响态函数具有行进波的特性。的特性。晶体中电子：晶体中电子：自由电子：自由电子：孤立原子：孤立原子：在晶体中在晶体中运动电子的波函数运动电子的波函数介于介于自由电子自由电子与与孤立原子孤立原子之之间，是间，是两者的组合两者的组合。

8、晶体中的电子晶体中的电子既不是完全自由既不是完全自由的，也不是的，也不是完全被束缚完全被束缚在在某个原子周围，因此，其波函数就具有某个原子周围，因此，其波函数就具有 形式。形式。周期函数周期函数 反映了反映了电子与晶格相互作用的强弱电子与晶格相互作用的强弱。l 如果晶体中电子的运动如果晶体中电子的运动完全自由完全自由l 若电子若电子完全被束缚完全被束缚在某个原子周围在某个原子周围晶体中电子波函数的理解晶体中电子波函数的理解如果电子如果电子只有原子内运动只有原子内运动（孤立原子情况），电子（孤立原子情况），电子的的能量取分立的能级能量取分立的能级；若电子若电子只有共有化运动只有共有化运动（自由电

9、子情况），电子的（自由电子情况），电子的能量连续取值能量连续取值（严格讲电子能量应是（严格讲电子能量应是准连续准连续的）。的）。晶体中的晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动电子既有共有化运动也有原子内运动，因，因此，电子的此，电子的能量取值能量取值就表现为由能量的就表现为由能量的允带允带和和禁带禁带相间组成的相间组成的能带结构能带结构。Bloch函数中，函数中，行进波因子行进波因子 描述晶体中电子的描述晶体中电子的共有化运动共有化运动，即，即电子可以在整个晶体中运动电子可以在整个晶体中运动；周期函数因子周期函数因子 则描述电子的则描述电子的原子内运动原子内运动，取，取决于决于原子内电子的势

10、场原子内电子的势场。需要指出的是，在固体物理中，需要指出的是，在固体物理中，能带论能带论是是从从周期性势场周期性势场中推导出来的。但是，中推导出来的。但是，周期性势周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件场并不是电子具有能带结构的必要条件，在，在非非晶固体晶固体中，电子中，电子同样有能带结构同样有能带结构。电子能带的形成电子能带的形成是由于当原子与原子结合是由于当原子与原子结合成固体时，成固体时，原子之间存在相互作用的结果原子之间存在相互作用的结果，而，而并并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有即原子的排列是否具有平移对称性并不是

11、形成平移对称性并不是形成能带的必要条件能带的必要条件。非晶固体电子的能带结构说明非晶固体电子的能带结构说明一、近自由电子模型一、近自由电子模型 在周期场中，若电子的在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起势能随位置的变化（起伏）比较小伏）比较小，而电子的，而电子的平均动能比其势能的绝对值平均动能比其势能的绝对值大得多大得多，这样电子的，这样电子的运动几乎是自由的运动几乎是自由的。因此，我。因此，我们可以把们可以把自由电子自由电子看成是它的看成是它的零级近似零级近似，而将，而将周期周期场场的影响看成小的的影响看成小的微扰微扰二、运动方程与微扰计算二、运动方程与微扰计算Schrdinger方程方程

12、5.3 1D周期场电子运动的近自由电子近似周期场电子运动的近自由电子近似周期性势场周期性势场：a：晶格常数：晶格常数Fourier展开：展开：势能平均值势能平均值根据近自由电子模型，根据近自由电子模型，Un为微小量为微小量电子势能为实数，电子势能为实数，U(x)=U*(x)Un*=U-n 周期性势场周期性势场Fourier级数展开级数展开零级近似零级近似微扰项微扰项1.非简并微扰非简并微扰分别对电子能量分别对电子能量E(k)和波函数和波函数(k)展开展开将以上各展开式代入将以上各展开式代入Schrdinger方程中，得方程中，得零级近似方程零级近似方程能量本征值能量本征值零级近似方程及能量本征

13、值零级近似方程及能量本征值相应归一化波函数相应归一化波函数正交归一性正交归一性零级近似方程零级近似方程 k=k由于一级微扰能量由于一级微扰能量Ek(1)0，所以还需用二级微扰方，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量程来求出二级微扰能量.微扰结果微扰结果波函数的一级修正为波函数的一级修正为:二级微扰能量二级微扰能量二级微扰能量二级微扰能量电子能量电子能量电子波函数电子波函数电子能量和波函数电子能量和波函数其中其中波函数由两部分组成波函数由两部分组成(1)波数为波数为k的行进平面波的行进平面波 (2)该平面波受周期场的影响而产生的散射波该平面波受周期场的影响而产生的散射波因子因子是波数为是波数

14、为kk+2 n/a的散射波的振幅的散射波的振幅 电子波函数物理内涵电子波函数物理内涵当当时时即即散射波中，这种成分的振幅变得无限大，微扰不再适用散射波中，这种成分的振幅变得无限大，微扰不再适用l在一般情况下，由各原子产生的在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不相散射波的位相各不相同同，因而，因而彼此相互抵消彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅均较散射波中各成分的振幅均较小小，可以用，可以用微扰法微扰法处理处理l若行进平面波的波长若行进平面波的波长 2/k 正好满足正好满足2an ，相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们将相互加强，从而使

15、行进的平面波受到很大干涉将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉简并微扰提出原因简并微扰提出原因由上式可求得由上式可求得或或这实际上是这实际上是Bragg反射条件反射条件2asin n 在正入射情况在正入射情况（即（即 sin 1）当当时，非简并微扰已不适用时，非简并微扰已不适用2.简并微扰简并微扰布里渊区边界上布里渊区边界上和和零级近似的波函数是这两个波的零级近似的波函数是这两个波的线性组合线性组合k态和态和k态为简并态。必须用态为简并态。必须用简并微扰简并微扰来处理来处理在在k和和k接近布里渊区边界时接近布里渊区边界时布里渊区边界附近情况布里渊区边界附近情况零级近似的波函数也必须写成零级

16、近似的波函数也必须写成代入代入Schrdinger方程方程利用利用和和得得零级近似结果零级近似结果由于由于上式分别左乘上式分别左乘 k(0)*或或 k(0)*，并积分得，并积分得解得解得久期方程久期方程久期方程久期方程这里这里（1）对应于对应于k态和态和k态距离布里渊区边界较远的情况态距离布里渊区边界较远的情况（设（设 0）此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑此结果与非简并微扰计算的结果相似，上式中只考虑相互作用强的相互作用强的k和和k在微扰中的相互影响在微扰中的相互影响，而，而将其他影将其他影响小的散射波忽略不计了响小的散射波忽略不计了。影响的结果影响的结果是使是使原来能量原来能量

17、较高的较高的k态能量升高态能量升高，而，而能量较低的能量较低的k态的能量降低态的能量降低，即微扰的结果使即微扰的结果使k态和态和k态的能量差进一步加大态的能量差进一步加大k和和k态距布里渊区边界较远情况态距布里渊区边界较远情况（2）对应于对应于k和和k很接近布里渊区边界的情况很接近布里渊区边界的情况由由在布里渊区边界处自由电子的动能在布里渊区边界处自由电子的动能k和和k很接近布里渊区边界的情况很接近布里渊区边界的情况得得两个相互影响的态两个相互影响的态k和和k，微扰后能量分别为，微扰后能量分别为E和和E 0时时，k态的能量比态的能量比k态高，微扰后使态高，微扰后使k态的能态的能量升高，而量升高

18、，而k态的能量降低。态的能量降低。0时时，E 分别以抛物线的方式趋于分别以抛物线的方式趋于TnUn。E EB B 能能带带重重叠叠EC EB 有能隙有能隙能带重叠的条件能带重叠的条件（1）在一维情况下，布里渊区边界上能量的突变为：在一维情况下，布里渊区边界上能量的突变为：EEE2 Un 禁带宽度（能隙）禁带宽度（能隙）（2）在三维情况下，）在三维情况下，在布里渊区边界上沿不同的在布里渊区边界上沿不同的 方方向上，电子能量的不连续可能出现在不同的能量向上，电子能量的不连续可能出现在不同的能量范围范围用简约波矢用简约波矢 表示能量和波函数表示能量和波函数确确定定一一个个波波矢矢状状态态，必必须须同同时时指指明明简简约约波波矢矢，及及属属于哪一个能带于哪一个能带。练习：练习：对对于于立立方方晶晶系系的的晶晶格格，沿沿给给定定方方向向，在在第第一一布布里里渊渊区内画出前面的几个能带的函数曲线。区内画出前面的几个能带的函数曲线。谢谢！