事件的条件概率和三个基本公式.ppt

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1、第三节第三节1一、条件概率一、条件概率 对对概率的概率的讨论总讨论总是相是相对对于某个确定的条件而言于某个确定的条件而言的，但有的，但有时时除了除了这这个确定的条件以外，个确定的条件以外，还还会提出会提出附加的条件，即已知某一事件附加的条件，即已知某一事件B已已经发经发生，要求另生，要求另一事件一事件A发发生的概率。生的概率。例如，考例如，考虑虑有两个孩子的家庭，假定男女出生有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，率相同，则则两个孩子的性两个孩子的性别为别为(男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女)的可能性是一的可能性是一样样的。的。若若A记为记为“一男一女

2、一男一女”，则则P(A)=1/2；但如果但如果预预先知道至少有一男孩，先知道至少有一男孩，则则上述事件的上述事件的概率概率应为应为2/3.2 例如，考例如，考虑虑有两个孩子的家庭，假定男女出生有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，率相同，则则两个孩子的性两个孩子的性别为别为(男男,男男),(),(男男,女女),(),(女女,男男),(),(女女,女女)的可能性是一的可能性是一样样的。的。若若A记为记为“一男一女一男一女”，则则P(A)=1/2；但如果但如果预预先知道至少有一男孩，先知道至少有一男孩，则则上述事件的上述事件的概率概率应为应为2/3.我们将我们将“已知事件已知事件 B 发生的条件下

3、发生的条件下,事件事件 A 发生发生的概率的概率”称为称为条件概率条件概率，记为，记为P(A|B)。若记若记B为为至少有一男孩，至少有一男孩，则则上述上述概率概率为为3条件概率的条件概率的计计算公式算公式规定规定如下：如下：例例 设袋中有设袋中有7 7个黑球，个黑球，3 3个白球，非还原摸取两次，个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？概率。若改为还原摸取，结果如何？解解 设设A,B分别表示第一、二次摸到白球分别表示第一、二次摸到白球,则则 非还原非还原:还原还原:4不不难验证难验证条件概率

4、具有以下三个条件概率具有以下三个基本性质基本性质：(1)非负性非负性(2)规范性规范性(3)可列可加可列可加性性并由此推出条件概率的其它性并由此推出条件概率的其它性质质：5二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义：由条件概率的定义：即若即若P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若已知若已知P(B),P(A|B)时时,可以反求可以反求P(AB).若若P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：推广到三个事件：P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)一般一般,与次序无关。与次序无关。乘法乘法公式公式6例例1 1 解解7例例2 2

5、某厂产品的废品率为某厂产品的废品率为4%,%,而合格品在中有而合格品在中有75%是一等品是一等品,求一等品率求一等品率.解解记记A：合格品；合格品；B：一等品，一等品，即一等品率为即一等品率为72%.%.8 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大大家家都都想想去去,只只好好用用抽抽签签的的方方法法来来解解决决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的其余的什么也没写什么也没写.将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽个人依次抽取取.“先抽的人当然要

6、比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”后抽比先抽的确吃亏吗？后抽比先抽的确吃亏吗？9 到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”10用用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”，i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/

7、5.则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”.因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.由于由于由乘法公式由乘法公式=(4/5)(1/4)同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此=1/5.11这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答.(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，12

8、三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)013A(即每次至多即每次至多发发生其中一个生其中一个)(即每次至即每次至少少发发生其中一个生其中一个)B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分集合的划分14AB1B2B3B4B6B7B5B815由概率的由概率的可加性可加

9、性及及乘法公式乘法公式,有有 这这个公式称个公式称为为全概率公式全概率公式，它是概率，它是概率论论的基本公式的基本公式.16全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以把利用全概率公式，可以把较复复杂事件概率的事件概率的计算算问题，化，化为若干互不相容的若干互不相容的较简单情形，分情形，分别求概率然后求和求概率然后求和 17例例1 1 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品,已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为30、20、50,且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 3、3、1，试求市场上该品牌产品的次品率试求市场上

10、该品牌产品的次品率.B1 1、B2 2、B3 3分别表示买到分别表示买到设设A:买到一件次品；买到一件次品；解解加权平均加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；18例例2 2 袋袋中中有有a个个白白球球b个个黑黑球球，不不还还原原摸摸球球两两次次，问问第二次摸出白球的概率为多少？第二次摸出白球的概率为多少？解解分别记分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式,练习练习 求求第三次摸出白球的概率第三次摸出白球的概率.19解解分别记分别记A,B,C为第一、二、三次摸到白球，为第一、二、三次摸到白球，由全概率公式由全概率公式,练习

11、练习 求求第三次摸出白球的概率第三次摸出白球的概率.20 在上面例在上面例1 1中，如中，如买到买到一件次品，一件次品，问问它是甲厂生它是甲厂生产产的概率的概率为为多大？多大？这这就要用到就要用到贝贝叶斯公式叶斯公式.在全概率公式的假定下，有在全概率公式的假定下，有 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观它是在观察到事件察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的每个发生的每个原因原因Bk的概率的概率.21所以这件商品最有可能是甲厂生产的所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例例3 3 已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分

12、别别为为30、20、50,次次品品率率分分别别为为3、3、1.如如果果买买了了一一件件商商品品，发发现现是是次次品品，问问它它是是甲甲、乙乙、丙丙厂厂生生产产的的概概率率分分别为多少别为多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解解22 全概率公式可看成全概率公式可看成“由原因推由原因推结结果果”,”,而而贝贝叶斯公式叶斯公式的作用在于的作用在于“由由结结果推原因果推原因”:”:现现在一个在一个“结结果果”A已已经发经发生了，在众多可能的生了，在众多可能的“原因原因”中中,到底是哪一个到底是哪一个导导致了致了这这一一结结果？果？23 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之

13、前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变现在变成了重点嫌疑犯成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙丙乙乙甲甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节但在知道案情细节后后,这个估计就有这个估计就有了变化了变化.P(B1|A)知道知道A发生后发生后P(B2|A)P(B3|A)偏偏小小最最大大24 贝贝叶斯公式在商叶斯公式在商业业决策及其它企决策及其它企业业

14、管理学科中均有管理学科中均有重要重要应应用用.有人有人依据依据贝贝叶斯公式的思想叶斯公式的思想发发展了一整套展了一整套统统计计推断方法推断方法,叫作叫作“贝贝叶斯叶斯统计统计”.”.可可见贝见贝叶斯公式的影响叶斯公式的影响.25 下面再下面再举举一个例子，一个例子，说说明明贝贝叶斯公式在叶斯公式在实际问题实际问题中的作用中的作用.解解26 因此，因此，虽虽然然检验检验法相当可靠，但被法相当可靠，但被诊诊断断为为患肝癌患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种癌之前，是不会只做一次或一种检验检验，还还会会辅辅以其以其它它检验检验手段。手段。思考思考：诊诊断断为为无病无病,而确而确实实没有患病的概率没有患病的概率为为多少？多少？2728练习：练习：P28 习题一习题一29