复杂流体力学第二章资料.ppt
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1、第二章第二章 场论和张量初步场论和张量初步21 矢量和标量的区别矢量和标量的区别一、概念的区别一、概念的区别在选定测量单位以后,仅需用数字表示大小的量叫标量;在选定测量单位后,除用数字表示其大小外,还需用一定的方向才能说明性质,叫矢量。二、运算法则区别二、运算法则区别标量运算服从代数运算法则。矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量常用带有箭头的直线段表示。线段的长度代表矢量大小,箭头代表矢量的方向。三、正负号区别三、正负号区别 矢量正负号:在选定一个正方向的前提下,矢量的正负号实质上表示矢量的方向。若矢量为正,表示该矢量跟选定正方向相同;矢量为负表示跟选定正方向相反。标量正负号:虽然
2、标量无方向,但有的标量也存在正、负号问题。标量常见的有以下几种类型:表示相对零点大小的正负号,如重力势能、电势能、电势、分子势能、摄氏温度等这些物理量,它们的正负号,常表示大小的意义。表示相反的物理过程的正负号,例如功、热量、动能增量、势能增量、内能增量和机械能增量等过程物理量,它们的正负号就表示某一物理过程,即能量增加(或减小)过程。表示物体特性的正负号,如电量、透镜焦距、像距等物理量的正负号,表示物体的特性。如电量q0表示带正电,否则带负电;f0表示该镜是凸透镜,否则是凹透镜;像距v0,表示成实像,否则成虚像。四、矢量表达式与标量表达式的区别四、矢量表达式与标量表达式的区别矢量可采用有向线
3、段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。在标量表达式如动能定理、机械能守恒、功能关系、透镜成像公式等中,计算时只需直接将物理量即大小及正负号代入公式计算即可。五、矢量的运算五、矢量的运算2数量积标量标量3矢量积大小大小其矢量表达式其矢量表达式方向用右手规则确定方向用右手规则确定1求和与差作图法 遵循平行四边形法则和 分量法2 22 2 场的定义、分类及几何表示场的定义、分类及几何表示一、场的定义一、场的定义设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函数,则称定义在此空间区域内的函数为场。二、场的分类二、场的分类1、根据所定义的函数、根据所定义的函数标量场:标量场:在指定的时刻,空间每一点可以
4、用一个标量唯一地描述,则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。矢量场:矢量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个矢量唯一地描述,则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。2、根据场内同一时刻各点函数值是否相等、根据场内同一时刻各点函数值是否相等均匀场:定常场:非均匀场:3、根据场内函数值是否依赖于时间、根据场内函数值是否依赖于时间 非定常场:三、场的几何表示三、场的几何表示1、标量场的几何表示、标量场的几何表示空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。其特点:(其特点:(1)疏密
5、程度看出标量函数的变)疏密程度看出标量函数的变 化状况,靠得近的地方函数变化化状况,靠得近的地方函数变化 得快。得快。(2)函数值的改变主要在等值面的法线方向,沿等值面的切线方向移动)函数值的改变主要在等值面的法线方向,沿等值面的切线方向移动 时函数值并不改变。时函数值并不改变。大小和方向随空间坐标而变的场大小和方向与坐标无关的场被称为均匀场 等温线等温线 温度云图温度云图 2 2、矢量场的几何表示、矢量场的几何表示用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布,称为 矢量线。2 23 3 梯度梯度标量场不均匀性的度量标量场不均匀性的度量一、方向导数一、方向导数给定一标量场给定一标量场 在某一固定时
6、刻在某一固定时刻tt0研究标量场研究标量场。M1MMns过过M点可以作无穷多个方向,每个方向点可以作无穷多个方向,每个方向都有对应的方向导数,且都可以用过都有对应的方向导数,且都可以用过M点的等位面法线方向点的等位面法线方向n上的方向导数上的方向导数 及方向及方向n,s来表示。来表示。我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要设法求我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率变化率证明:过M点作等位面M1MMn
7、s由此可证,二、梯度二、梯度大小为 方向为n的矢量称为标量函数的梯度。梯度梯度描写了描写了M点邻域内函数点邻域内函数的变化状况,是标量场不均匀性的的变化状况,是标量场不均匀性的量度。量度。在直角坐标系中的表达式为:三、梯度的主要性质三、梯度的主要性质1、梯度梯度描写了场内任一点描写了场内任一点M邻域内函数的变化状况,它是邻域内函数的变化状况,它是标量场不均匀性的量度;标量场不均匀性的量度;2、梯度、梯度的方向与等位面的法线方向重合,且指向函数增大的的方向与等位面的法线方向重合,且指向函数增大的方向,大小是方向,大小是n方向上的方向导数方向上的方向导数 ;3、梯度矢量、梯度矢量在任一方向在任一方
8、向s上的投影等于该方向的方向导数;上的投影等于该方向的方向导数;4、梯度、梯度的方向,即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。的方向,即等位面的法线方向是函数变化最快的方向。定理定理1 梯度梯度 满足关系式满足关系式反之,若反之,若 ,则,则a必为必为 。定理定理2 若 ,且,且 矢径矢径r的单值函数,则的单值函数,则沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分满足关系式的线积分满足关系式反之,若反之,若矢量矢量a沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分的线积分,则则a必必为为某一标量函数的梯度,即某一标量函数的梯度,即例例 题题:计算仅与矢径大小计算仅与矢径大小r有关的标量函数有关的标量函数 的梯度
9、的梯度 。(1)利用性质利用性质,标量函数标量函数 的等位面是以坐标原点为心的的等位面是以坐标原点为心的球面,而球面的法线方向,即矢径球面,而球面的法线方向,即矢径r的方向,故的方向,故 的方的方向就是矢径向就是矢径r的方向;其次的方向;其次 的大小是的大小是于是(2)表示成分量形式:表示成分量形式:因故于是(3)利用定理1,微分即于是根据定理1可推出位势场位势场位势函数位势函数2 23 3矢量矢量a a通过通过S S的通量的通量 矢量矢量a的散的散度度 奥高定理奥高定理一、通量一、通量an代表矢量代表矢量a在法线方向的投影。在法线方向的投影。矢量矢量a通过面积元通过面积元dS的通量。的通量。
10、矢量矢量a通过通过S面的通量。面的通量。通量,是表示物质分子移动量的大小,指某种物质在每秒内通过每平方厘米的假想平面的摩尔或毫尔数。定义面积矢量定义面积矢量dSdS是大小为是大小为dS,方向为法线正方向,方向为法线正方向n n的量的量当当S是封闭曲面时,矢量是封闭曲面时,矢量a通过通过S面的通量面的通量在场内任取一点在场内任取一点M,以体积,以体积V包之,若包之,若V的界面为的界面为S,则,则奥高定理的奥高定理的微分形式微分形式Gauss公式此极限存在,定义为矢量此极限存在,定义为矢量a a的散度。的散度。散度是一个不依赖于坐标系选取的数量,其为一个散度是一个不依赖于坐标系选取的数量,其为一个
11、标量标量。二、散度二、散度散度(divergence)可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度,物理上,散度的意义是场的有源性。当div F0,表示该点有散发通量的正源(发散源);当div F0 表示该点有吸收通量的负源(洞或汇);当div F=0,表示该点无源。三、奥高定理三、奥高定理散度在直角坐标系中的表达式散度在直角坐标系中的表达式这里这里是是的整个边界曲面的外侧,的整个边界曲面的外侧,cos、cos、cos是是上点上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。处的法向量的方向余弦。高斯定理高斯定理:设空间闭区域设空间闭区域是分片光滑的闭曲面是分片光滑的闭曲面所围成,函数所围成,函数P(x,y,
12、z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在在上具有一阶连续偏导数,则有上具有一阶连续偏导数,则有利用奥高定理,则有利用奥高定理,则有因体积分中的被积函数是连续的,根据中值公式,上式可因体积分中的被积函数是连续的,根据中值公式,上式可改写为改写为当当V向向M点收缩时,点收缩时,Q点最后与点最后与M重合,重合,奥高定理的奥高定理的积分形式积分形式四、无源场及其性质四、无源场及其性质diva0的矢量场称为无源场或管式场。1、无源矢量a经过矢量管任一截面上的通量保持同一数值。2、矢量管不能在场内发生或终止。一般说来它只可能伸延至无穷,达到区域的边界上或自成封闭管路。3、无源矢量a经过张于一已知周线L的
13、所有曲面S上的通量均相等,亦即此通量只依赖于周线而与所张曲面的形状无关。2 26 6矢量矢量a a沿回线的环量沿回线的环量.矢量矢量a a的的旋度旋度.斯托克斯定理斯托克斯定理一、环量一、环量给定一矢量场给定一矢量场a(r,t),在场内取任意一曲线,在场内取任意一曲线L,作线积分,作线积分若是封闭曲线,则可表示为:若是封闭曲线,则可表示为:称之为矢量称之为矢量a沿曲线沿曲线L的环量。的环量。环量(circulation)是流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分,通常用来表示。绝参冯潮清绝参冯潮清 赵愉深赵愉深 何浩法何浩法,矢量与张量分析矢量与张量分析,国防工业出版社国防工业出版社,1986年年1
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