第三章多维随机变量及分布.ppt

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1、3.1 3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1 1、二维随机变量、二维随机变量 设设S=e是随机试验是随机试验E的样本空间，的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X及及Y有关，而有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论讨论X和和Y的性质是不够的，需要把的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整

2、作为一个整体来讨论。随机变量体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量。常称为一维随机变量。一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 定义定义3.13.1 设设(X,Y)是二维随机变量，二元实是二维随机变量，二元实值函数值函数F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y)x(-,+),y(-,+)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的的分布函数分布函数，或称为或称为 X与与Y的联合分布函数。的联合分布函数。即即F(x,y)为事件为事件X x与与Y y同时发生的概率。同时发生的概率。2 2、二维随机变量的联合分布函数、二维随机变量的联合分布函数几何意义：几何意义：若把二

3、维随机变量若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，看成平面上随机点的坐标，则分布函数则分布函数F(x,y)在在(x,y)处的函数值处的函数值F(x0,y0)就表就表示随机点示随机点(X,Y)落在区域落在区域 -X x0，-Y y0中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：(x0,y0)xyO 对于对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2)，则随，则随机点机点(X,Y)落在矩形区域落在矩形区域x1X x2，y1Y y2内的概内的概率可用分布函数表示为率可用分布函数表示为P(x1X x2，y1Y y2)F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,

4、y1)(x1,y1)(x2,y2)O x1 x2 xy1y2y分布函数分布函数F(x,y)具有如下性质：具有如下性质：(1)对任意对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1。(2)F(x,y)是变量是变量x或或y的非降函数，即的非降函数，即 对任意对任意y R,当当x1x2时，时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意对任意x R,当当y1y2时，时，F(x,y1)F(x,y2)。(3)(4)函数函数F(x,y)关于关于x是右连续的，关于是右连续的，关于y也也是右连续的，是右连续的，即对任意即对任意x R，y R，有，有(5)对于任意对于任意(x1,y1)，(x2,y2)R2，(x1x2，y12)

5、解解 (1)由联合分布函数性质由联合分布函数性质2可知可知解得解得(2)(3)(3)由由X的分布函数可得的分布函数可得故故练习练习 .已知已知(X,Y)(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求F FX X(x)(x)与与F FY Y(y)(y)。二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布1、二维离散型随机变量、二维离散型随机变量 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多对或的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。是二维离散型随机变量。2、联合分布律、联合分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有

6、可能取值为是二维离散型随机变量，其所有可能取值为 (xi,yj)，i=1,2,，j=1,2,若若(X,Y)取数对取数对(xi,yj)的概率的概率P(X=xi,Y=yj)=pij，满足，满足 (1)pij0；(2)则称则称P(X=xi,Y=yi)=pij，i=1,2,，j=1,2,为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律的分布律 或或随机变量随机变量X与与Y的联合分布律的联合分布律律律二维离散型随机变量的联合分布律也可用二维离散型随机变量的联合分布律也可用表格形式表示为：表格形式表示为：YXy1y2.yj.x1p11p12.p1j.x2p21p22.p2j.xipi1pi2.p

7、ij.例例3.3 3.3 设袋中有设袋中有a+b个球，个球，a只红球，只红球，b只白球。今从中任取一球，只白球。今从中任取一球，观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球观察其颜色后将球放回袋中，并再加入与所取的球相同颜色的球c只，然后再从袋中任取一球，设只，然后再从袋中任取一球，设 求二维随机变量求二维随机变量(X,Y)的分布律。的分布律。解解 X的可能取值为的可能取值为0，1，Y的可能取值为的可能取值为0，1。二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律由由(X,Y)的联合分布律的联合分布律P(Xxi,Yyjpij，i,j1,2,i1,2,j1,2,其中其中p

8、i.和和p.j分别为表示分别为表示的记号。的记号。它们分别是事件它们分别是事件(X=xi)和和(Y=yj)的概率，且有的概率，且有pi.0，p.j0，称称P(Xxi)pi.，(i1,2,)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；称称P(Yyj)p.j，(j1,2,)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)关于关于Y的的边缘分布律边缘分布律。以表格形式表示为以表格形式表示为YXy1y2yjP(X=xi)x1p11p12p1jx2p21p22p1jxipi1pi1pijP(Y=yj)1例例3.63.6 设随机变量设随机变量(r.v.)X在在1，2，3，4四个整数中等

9、可能地取四个整数中等可能地取值，另一个值，另一个r.v.在在1至至X中等可能地取一整数值，试求中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联的联合分布律和边缘分布律。合分布律和边缘分布律。解解 事件事件(X=i,Y=j)中中i的取值为的取值为1、2、3、4，而，而j取不大于取不大于i的整数，的整数，因此因此i=1,2,3,4，jii=1,2,3,4j=1,2,3,4YX1234pi11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4pj25/4813/487/483/48X和和Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为X1234P1/41

10、/41/41/4Y1234P25/48 13/487/483/48注意：注意：联合分布律可以确定边缘分布律，而边缘分布联合分布律可以确定边缘分布律，而边缘分布律不一定能确定联合分布律。律不一定能确定联合分布律。二维连续型随机变量及其概率密度二维连续型随机变量及其概率密度1、定义、定义 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数若存在非负可积函数f(x,y)，使对任意实数，使对任意实数x，y，有有 则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量，且称函数为二维连续型随机变量，且称函数f(x,y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的密度函数的密度函数

11、(概率密概率密度度)，或，或X与与Y的的联合概率密度联合概率密度(联合密度函数联合密度函数)可记为可记为 (X,Y)f(x,y)，(x,y)R22、联合密度、联合密度f(x,y)的性质的性质(1)非负性：非负性：f(x,y)0，(x,y)R2;(2)归一性：归一性：(3)若若f(x,y)在在(x0,y0)处连续，则有处连续，则有事实上事实上(4)设设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变是平面上一个区域，则二维连续型随机变量量(X,Y)落在落在G内的概率是概率密度函数内的概率是概率密度函数f(x,y)在在G上的积分，即上的积分，即 例例3.73.7 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合

12、概率密度函数为的联合概率密度函数为(1)求常数求常数k；(2)求概率求概率P(X+Y1)。解解 (1)解得解得k=15O 1 x1yy=xx+y=1(2)练习：练习：设二维随机变设二维随机变(X,Y)量具有概率密度量具有概率密度(1)确定常数确定常数C；(2)求概率求概率P(XY)。O xy=x2y=xy解解 (1)(2)确定积分区域确定积分区域二维连续型随机变量的边缘密度函数二维连续型随机变量的边缘密度函数 设设(X,Y)是二维连续型随机变量，联合密度为是二维连续型随机变量，联合密度为f(x,y)，此时，此时X、Y也是连续型随机变量，也是连续型随机变量，称称X的密度函数的密度函数fX(x)为

13、为(X,Y)关于关于X的边缘密度函数，且的边缘密度函数，且有有 称称Y的密度函数的密度函数fY(y)为为(X,Y)关于关于Y的边缘密度函数，的边缘密度函数，且有且有 例例3.103.10 设二维随机变量设二维随机变量求边缘密度函数求边缘密度函数fX(x)和和fY(y)解解 当当0 x1时时,O 1 x y1y=x2y=x3当当x0或或x1时，时，fX(x)=0，所以，所以当当0y1时时,当当y0或或y1时，时，fY(y)=0，所以，所以二维连续型随机变量的常用分布二维连续型随机变量的常用分布1、均匀分布、均匀分布设设G为为xoy平面上的有界区域，平面上的有界区域，G的面积为的面积为A，若二维，

14、若二维随机变量随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 则称二维随机变量则称二维随机变量(X,Y)在在G上服从均匀分布。上服从均匀分布。若若G1是是G 内内面积为面积为A1的子区域，则的子区域，则 即：此概率仅与即：此概率仅与G1的面积有关的面积有关(成正比成正比)，而与，而与G1在在G内的位置无关。内的位置无关。例例3.113.11 设设(X,Y)服从如图区域服从如图区域G上的均匀分布，上的均匀分布，(1)求求(X,Y)的概率密度；的概率密度；(2)求求P(Y2X)；(3)求求F(0.5,0.5)。O 0.5 1 xG解解 (1)区域区域G的面积为的面积为1(2)G1y=2xy区域

15、区域G1的面积为的面积为1P(Y0、20|1，则称，则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1，1，2，2，的二维正态分布，的二维正态分布，记为记为 2、正态分布、正态分布 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为二维正态分布的重要性质二维正态分布的重要性质：若若(X,Y)服从二维正态分布，服从二维正态分布，则则同理可得同理可得由此性质看到，由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与的边缘分布都与 无关，说明无关，说明 不同，得到的二维正态分不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不

16、能唯一确定联合分布的，即使即使X,Y都是服从正态分布的随机变量，都是服从正态分布的随机变量，(X,Y)不一定是服从二维正态分布。不一定是服从二维正态分布。二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。分布函数的概念可推广到分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。维随机变量的情形。事实上，对事实上，对n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，F(x1,x2,xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，的分布函数，或随机变量或随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数的联合分布

17、函数。定义定义 若若(X1,X2,Xn)的全部可能取值为的全部可能取值为Rn上的上的有限或可列无限多个点，称有限或可列无限多个点，称(X1,X2,Xn)为为n维离维离散型随机变量，称散型随机变量，称P(X1=x1,X2=x2,.Xn=xn)，为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X1,X2,Xn)为为n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(x1,x2,xn)为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的概率密的概率密度。度。定义定义 n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，如果存在非负的如果存在非负的n元函数元函数f(x1,x2,xn)

18、使对任意的使对任意的n元立方体元立方体求求(1)P(X 0)，(2)P(X 1)，(3)P(Y y0)练习练习 随机变量随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为yD答答:P(X 0)=0O x1y0y03.2 随机变量的独立性随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性定义定义 设设F(x,y)是二维随机变量是二维随机变量(X,Y)的分布函数，的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是分别是X与与Y的边缘分布函数，若对一切的边缘分布函数，若对一切x,yR，均有，均有P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)即即 F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量则称随机变量X与与Y

19、是相互独立的。是相互独立的。此时的边缘分布可确定联合分布此时的边缘分布可确定联合分布随机变量随机变量X与与Y是相互独立的充要条件是事件是相互独立的充要条件是事件(Xx)与与事件事件(Yy)相互独立。相互独立。定理1 随机变量X，Y相互独立的充分必要条件 是X所生成的任何事件与Y所生成的任何事件相互独立。即，对任意的实数集A，B有：定理2 如果随机变量X，Y相互独立，则对任意函数g1(x),g2(y)有 g1(X),g2(Y)相互独立*若若(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则则X与与Y相互独立的充分必要条件

20、是对任意相互独立的充分必要条件是对任意i，j，P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)，即，即pij=pipj*若若(X,Y)是二维连续型随机变量，则是二维连续型随机变量，则X与与Y相互独相互独立的充分必要条件是立的充分必要条件是 对任意的对任意的x和和 y f(x,y)=fX(x)fY(y)。例例3.133.13 已知已知(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3试确定常数试确定常数a,b，使，使X与与Y相互独立。相互独立。解解 先求出先求出(X,Y)关于关于X和和Y的边缘

21、分布律的边缘分布律要使要使X与与Y相互独立，可用相互独立，可用pij=pipj来确定来确定a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)P(Y=2)，即，即因此，因此，(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为的联合分布律和边缘分布律为YX12pi11/31/61/22a1/91/33b1/181/6pj2/31/3经检验，此时经检验，此时X与与Y是相互独立的。是相互独立的。例例3.143.14 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在矩形区域在矩形区域G=(x,y)|0 x 2,0 y 1上服从均匀分布，若上服从均匀分布，若试求试求(U,V)的联合分布律

22、，并判断的联合分布律，并判断U与与V是否相互独立。是否相互独立。解解(X,Y)在在G上服从均匀分布，则联合密度函数为上服从均匀分布，则联合密度函数为O 1 2 xy1y=xx=2yG(U,V)的联合分布律和边缘分布律为的联合分布律和边缘分布律为VU01pi01/401/411/41/23/4pj1/21/2经检验，经检验，pijpi pj所以，所以，U和和V不是相互独立的。不是相互独立的。例例3.15 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数具有概率密度函数 (1)求求X,Y的边缘概率密度；的边缘概率密度；(2)问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？O 1 xy1解解 由于由于

23、f(x,y)与与fX(x)fY(y)不相等，不相等，X与与Y不相互独立。不相互独立。例例3.163.16 若二维随机变量若二维随机变量证明证明X与与Y相互独立的充分必要条件为相互独立的充分必要条件为=0证证 (X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为边缘密度函数为边缘密度函数为X与与Y相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。而此题而此题f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要条件是成立的充分必要条件是=0，补充补充:二、二、n维随机变量的独立性维随机变量的独立性 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，对任意实数，对任意实数(x1,x

24、2,xn)，有，有 P(X1x1,X2x2,Xnxn)=P(X1x1)P(X2x2)P(Xnxn)则称随机变量则称随机变量X1,X2,Xn是相互独立的。是相互独立的。若若(X1,X2,Xn)的联合分布函数以及关于的联合分布函数以及关于Xi的边缘的边缘分布函数分别记为分布函数分别记为F(x1,x2,xn)，FXk(xk)，k=1,2,n，则则X1,X2,Xn相互独立等价表示为相互独立等价表示为F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)。对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X1,X2,Xn)的情形，的情形，X1,X2,Xn相互独立，当且仅当对相互独立，当且仅当对Xk的每个

25、可能取值的每个可能取值 k=1,2,n,有等式有等式对于连续型随机变量对于连续型随机变量(X1,X2,Xn)的联合密度函数为的联合密度函数为f(x1,x2,xn)，X1,X2,Xn相互独立，当且仅当相互独立，当且仅当f(x1,x2,xn)=fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)其中其中fXk(xk)，(k=1,2,n)是关于是关于Xk的边缘密度函数。的边缘密度函数。设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，m维随机变量维随机变量(Y1,Y2,Ym)，如果对于任意的如果对于任意的(x1,x2,xn)Rn，以及任意的，以及任意的(y1,y2,ym)Rm，均有，均有P(X1x1,X2x2,

26、Xnxn;Y1y1,Y2y2,Ymym)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)P(Y1y1,Y2y2,Ymym)则称则称n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)与与m维随机变量维随机变量(Y1,Y2,Ym)相互独立。相互独立。*设设(X1,X2,Xn)与与(Y1,Y2,Ym)相互独立，相互独立，则则Xi(i=1,2,n)与与Yi(i=1,2,m)相互独相互独立；立；又若又若h,g是连续函数，是连续函数，则则h(X1,X2,Xn)与与g(Y1,Y2,Ym)相互独立。相互独立。用分布函数形式表示即为用分布函数形式表示即为F(x1,x2,xn,y1,y2,ym)=FX(x1,x2,xn)FY(y1,

27、y2,ym)3.3 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布，求的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，的概率分布，其中其中z=g(x,y)是连续函数。是连续函数。一、两个离散型随机变量的函数的分布一、两个离散型随机变量的函数的分布例例3.193.19 已知随机变量已知随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为试求试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律。的分布律。YX1211/51/5201/531/51/5解解 Z1的所有可能取值为的所有可能取值为2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)

28、=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1的分布律为的分布律为Z12345P1/51/52/51/5YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=

29、1/5+1/5=2/5Z2的分布律为的分布律为Z212 3P1/52/52/5例例3.203.20 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，它们分别服从参相互独立，它们分别服从参数为数为1和和2的泊松分布，证明的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为服从参数为1+2的泊松分布。的泊松分布。证证k1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3,XP(1)YP(2)因此因此 ZP(1+2)k=0,1,2,二、两个连续型随机变量的函数的分布二、两个连续型随机变量的函数的分布设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，是连续函数

30、，则随机变量则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为的分布函数为即即FZ(z)可利用可利用f(x,y)在平面区域：在平面区域：G=(x,y)|g(x,y)z上上的二重积分得到。的二重积分得到。Z=g(X,Y)的密度函数为的密度函数为三、常用的随机变量的函数的分布三、常用的随机变量的函数的分布1、和的分布、和的分布 设设(X,Y)f(x,y)，(x,y)R2,Z=X+Y，则，则Z是连续型随机变量，且是连续型随机变量，且Z的概率密度为的概率密度为此两公式称为此两公式称为卷积公式卷积公式。或或证明证明 对任意的对任意的zR，Z=X+Y的分布函数为的分布函数为O xyz=x+y固定固定x交换积分次序交换

31、积分次序所以所以zR同理可得同理可得zR特别地特别地，当，当X,Y相互独立时，相互独立时，或或其中，其中，fX(x)，fY(y)为为(X,Y)关于关于X和和Y的边缘密度。的边缘密度。上式也称为上式也称为fX(z)与与fY(z)的卷积公式的卷积公式例例3.223.22 设设X,Y相互独立，且两者都在相互独立，且两者都在区间区间0,1上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解解 X,Y的密度函数分别为的密度函数分别为由卷积公式由卷积公式O 1 2 zx1x=zx=z-1当当0 x1，且，且0z-x1时，时，被积函数为被积函数为1，其它区域，其它区域被积函数为被积函数为

32、0，即，即0 x1，且，且z-1x0，0，试分别就以上两种联结方式，试分别就以上两种联结方式写出写出L的寿命的寿命Z的分布函数与概率密度函数。的分布函数与概率密度函数。解解 (1)串联时，串联时，当当L1和和L2中有一个损坏时，系统中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以就停止工作，所以L的寿命为的寿命为Z=min(X,Y)。由条件可得由条件可得X,Y的分布函数分别为的分布函数分别为 Z的分布函数为的分布函数为Z的概率密度函数为的概率密度函数为(2)并联时，当且仅当并联时，当且仅当L1和和L2都损坏时，系统都损坏时，系统L才停止工作，才停止工作，因此因此L的寿命的寿命Z=max(X,Y)其分布函数为其分布函数为密度函数为密度函数为本本 章章 小小 结结