数学建模训练-第一章--建立数学模型.ppt

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1、玩具、照片、房屋模型玩具、照片、房屋模型 实物模型实物模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型：模型：为了一定目的，对为了一定目的，对原型的主要特征原型的主要特征进行简进行简化、抽象得到的一个化、抽象得到的一个低代价近似低代价近似替代物。替代物。你常见的模型你常见的模型数学模型：数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象的对象,从而更有效地解决实际问题。从而更有效地解决实际问题。1.1 什么是数学模型什么是数学模型解：用解：用 x 表示船速

2、，表示船速，y 表示水速表示水速，列出方程：，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲乙两地相距甲乙两地相距750750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需3030小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需5050小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解求解你熟悉的数学模型你熟悉的数学模型“航行问题航行问题”作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘

3、以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答问题（船速每小时回答问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤Thats all？更现实的“航行问题”水速、船速不是常数；航行条件限制调度问题经济问题扩展阅读：中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)2000钢管运输与订购 可在竞赛网站下载 A132580101031201242701088107062703020203045010430175060619420520168048030022021

4、04205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一一句话小结数学模型是复杂现实问题的合理简化，可反映现实问题的主要特征。通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象对象,从而更有效地解决实际问题。从而更有效地解决实际问题。建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表建立数学模型

5、的全过程（包括模型假设，模型表述、问题求解、结果解释、结论检验等）述、问题求解、结果解释、结论检验等）数学模型数学模型(Mathematical Model)数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型 和和 数学建模数学建模你身边的数学模型：购房贷款作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在要制作一个软件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算下列信息：房款总额、首付款额、月还款额等。分析与假设贷款种类:1 商业 2 公积金 3 组合(一般)还款方式:等额本息,等额本金假设首付比例、贷款

6、期限符合政府规定假设自借款日一个月后，每月固定时间还款不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利率改变以后失效）数学建模房款总额T=建筑面积S每平方米单价R首付款额F=房款总额T首付比例p考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款AT-F元，那么商业贷款为B=T-F-A元设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2。月还款额怎么算？月还款额怎么算？概念：月利率概念：月利率=年利率年利率/12等额本息情形设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.那么 xn=xn-1(1+r1/12)-M,计算得 xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M =x0(1+

7、r1/12)n-M(1+r1/12)n-1+1由于 x0=A,xN1=0.那么 A(1+r1/12)N1-12M(1+r1/12)N1-1/r1=0这样 M=A r1(1+r1/12)N1/12/(1+r1/12)N1-1同理 可以计算商业贷款月还款额第n月还款额公式等额本金情形月还本贷款本金还款月数，利息月月清月还款额（贷款本金还款月数）（所欠本金当月利率）第一个月公积金月还 A/N1+Ar1/12第二个月公积金月还 A/N1+(A-A/N1)r1/12.第N1个月公积金月还 A/N1+A1-(N1-1)/N1r1/12第n月还款额公式后继工作后继工作/例子例子收集数据，编写软件收集数据，编

8、写软件(界面界面计算计算)，写说明书。，写说明书。例子例子:80平米平米,单价单价15000元元,首付首付30%,公积金公积金40万万,期限期限20年年,第一套房商业利率第一套房商业利率7.05%*0.85,公公积金利率积金利率4.9%(2012年年1月月1日日6月月7日日).T,F,M=hmorgage2012(80,15000,0.3,400000,240,240,1)等额本息等额本息(1):5768元元/月月(总借总借84万，约还万，约还138万万)等额本金等额本金(2):7331，7315，,3516(约还约还130万万)习题补充题补充题1:如果是第二套住房，且全部为商业贷如果是第二套

9、住房，且全部为商业贷款（基准利率款（基准利率*1.1）,等额本息每个月要付多等额本息每个月要付多少少?最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率第一套房商业利率6.55%*0.85，公积金，公积金4.5%.补充题补充题2:如果原案例（第一套）是如果原案例（第一套）是2012年年3月月1日贷款买房，日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少年的月还款将调整为多少？(提示：存量房贷利率每年提示：存量房贷利率每年1月月1日调整一次日调整一次,可假设可假设2012年年8月以后利率不再调整月以后利率不再调整)一句话小结只要你留意，数学建模就在你身边数学建模正在不断更新中场景场景1.3 示例：示例：

10、如何施救药物中毒如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下诉说两小时前孩子一次误吞下11片片治疗哮喘病、剂量治疗哮喘病、剂量100mg/片片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100200mg，儿童是，儿童是35 mg/kg.过量服用可使血药浓度过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量单位血液容积中的药量)过高，过高，浓度浓度100g/ml会出现会出现严重中毒严重中毒,浓度浓度200g/ml可致

11、命可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100200 g/ml；如果会达到，应采取怎样的；如果会达到，应采取怎样的紧急施救紧急施救方案方案.调查与分析调查与分析转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型一室模型”.药量药量x(t)药量药量y(t)血液系统对药物的吸收率血液系统对药物的吸收率 和排除率可以由和排除率可以由半衰期

12、半衰期(下下降一半所需时间降一半所需时间)确定确定.半衰期半衰期可以从药品说明书上查到可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰氨茶碱被吸收的半衰期为期为5 h，排除的半衰期为，排除的半衰期为6 h).通常，血液总量约为人体体重的通常，血液总量约为人体体重的7%8%，体，体重重5060 kg的成年人有的成年人有4000ml左右的血液左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为为其血液总量约为2000ml.调查与分析调查与分析血药浓度血药浓度=药量药量/血液总量血液总量 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率口服活性炭来吸附药物，可

13、使药物的排除率增加到原来（人体自身）的增加到原来（人体自身）的2倍倍.临床施救的办法：临床施救的办法：体外血液透析，药物排除率可增加到原来的体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证倍，但是安全性不能得到充分保证.模型假设模型假设 1.胃肠道中药物向血液的转移率与胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系成正比，比例系数数(0)，总剂量，总剂量1100 mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道,x(0)=1100.2.血液系统中药物的排除率与血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物时血液中无药物,

14、y(0)=0.3.氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为，排除的半衰期为6 h.4.孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000 ml.胃肠道中药量胃肠道中药量x(t),血液系统中药量血液系统中药量y(t)，时间，时间t以以孩子误服药的时刻为起点（孩子误服药的时刻为起点（t=0）.模型建立模型建立转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)?注意注意:药物的转移药物的转移排除并不是匀速的排除并不是匀速的!模型建立模型建立x(t)下降下降速度速度与与x(t)成正比成正比(比比例系数

15、例系数),转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)y(t)由吸收而增长的由吸收而增长的速度速度是是x，由排除而减少的，由排除而减少的速度速度与与y(t)成正比成正比(比例系数比例系数).血药浓度血药浓度=药量药量/血液总量血液总量 x(0)=1100y(0)=0模型模型求解求解 药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5 h 药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6 h 只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除血液总量血液总量2000ml血药浓度血药浓度200g/ml结果及分析结果及分析 胃肠道药量胃

16、肠道药量血液系统药量血液系统药量血药浓度血药浓度100g/mly(t)=200mg严重中毒严重中毒y(t)=400mg致命致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约约3h3h后将有生命危险！后将有生命危险！y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率增至原来的增至原来的2倍倍.孩子到达医院孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作就开始施救，血液中药量记作z(t)=0.1386(不变)，=0.11552=0.2310 注意：施救前的注意：施救前的 与施救后的与

17、施救后的 不同，须分段计算！不同，须分段计算！施救方案施救方案 t=5.26z=318 施救后血液中药量施救后血液中药量z(t)显著低于显著低于y(t).z(t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平.要使要使z(t)在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少应为至少应为0.4885.若采用体外血液透析，若采用体外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693，血液，血液中药量下降更快中药量下降更快(习题习题7)；临床上是否需要采取这种办；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.一句话小结数学建模用数学方法可以

18、帮助我们（以较低的成本）对情况的发展做预判，从而帮助我们做出正确的决策。数学模型：数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所实际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的对象研究的对象,从而更有效地解决实际问题。从而更有效地解决实际问题。习题P21:ex6,ex7 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好

19、的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型建立模型建立模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方

20、法初等数学、最优化（规划）、微分差分方初等数学、最优化（规划）、微分差分方程、概率统计程、概率统计、图论、图论 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续数学应用题与数学建模的区别数学应用题数学建模问题来源数学教学实际背景问题条件明确清晰不完全明确，需要作进一步了解或假设解决方法多种多种问题结论有标准答案有参考解答但无标准答案。不同的假设下有不同的模型和结论数学建模数学建模 技术技术+艺术艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目1.6 怎样学习数学建模