华中科技大学复变函数课件.ppt

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1、引引 言言 在十六世纪中叶，在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次在研究一元二次方程方程 时引进了复数时引进了复数。他发现这个方程没有根，并他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为把这个方程的两个根形式地表为 。在当时在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的被认为是没有意义的，不能接受的“虚数虚数”。直到十七与十八世纪。直到十七与十八世纪，

2、随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式公式 揭示了复指数函数与三角函数之揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威挪威.1745-1818)和和R.Argand(法国法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示将复数用平面向量或点来表示，以及，以及K.F.Gauss(德国德国1777-1855)与与W.R.Hamilton(爱尔兰爱尔兰1805-18

3、65)定义复数定义复数 为一对有序实数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，的长久疑虑，“复变函数复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立这一数学分支到此才顺利地得到建立和和发展。发展。复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平平面问题面问题的有力工具。的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展推

4、广和发展 。第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.11.1复数及其表示法复数及其表示法 一对有序实数一对有序实数（）构成一个构成一个复数复数，记为，记为 .自变量为复数的函数就是复变函数自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象它是本课程的研究对象.由由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的本章将在原有的基础上作简要的复习和补充基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠为进一步研究解析函

5、数理论和方法奠定必要的基础定必要的基础.x,y 分别称为分别称为 Z 的的实部实部和和虚部虚部,记作记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为称为 Z 的共轭复数的共轭复数。与实数不同与实数不同,两个复数相等两个复数相等他们的实部和虚部都相等他们的实部和虚部都相等特别地，特别地，1.代数形式代数形式:复数的表示法复数的表示法1)点表示点表示yz(x,y)xx0y复复平面平面实轴实轴虚轴虚轴z(x,y)XOY上点上点复平面复平面一般说来一般说来,任意两个复数不能比较大小任意两个复数不能比较大小.2)向量表示向量表示-复数复数z的的辐角辐角(argument)记作记作Arg z=q.任何一个复数任

6、何一个复数z 0有无穷多个幅角有无穷多个幅角,将满足将满足-p-p q q0 p p 的的q q0 称为称为Arg z的的主值主值,记作q0=arg z.则则Arg z=q0+2kp=arg z+2kp (k为任意整数为任意整数)0 xyxyqz=x+iy-复数复数z的的模模zqr与与x轴正向的夹角轴正向的夹角当当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定而幅角不确定.说明：当说明：当 z 在在第二象限时第二象限时，arg z与与x和和y的关系的关系:2.2.指数形式与三角形式指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系:x=r cosq,y=r sinq,可以将可以将

7、z表示成表示成三角表示式三角表示式:利用欧拉公式利用欧拉公式 e iq=cosq +i sinq 得得指数表示式指数表示式:例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解解 1)z在第三象限在第三象限,因此因此因此因此2)2)显然显然,r=|z|=1,又又因此因此练习：练习：写出写出 的辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。解：解：1.21.2复数的运算复数的运算设设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1 ;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .复数运算满足交

8、换律复数运算满足交换律,结合律和分配律结合律和分配律:1 1.四则运算四则运算加减法与平行四边形加减法与平行四边形法则的几何意义法则的几何意义:乘、除法的几何意义乘、除法的几何意义:,定理定理1 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和复数乘积的幅角等于它们幅角的和.几何上几何上 z1z2 相相当于将当于将 z2 的的模扩大模扩大|z1|倍倍并旋转一个角并旋转一个角度度Arg z1.01;按照乘积的定义按照乘积的定义,当当z10时时,有有定理定理2 2 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商,两个

9、复数两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.2 2.乘方与开方运算乘方与开方运算1 1）乘方乘方De Moivre 公式：2）开方开方:若满足，若满足，则称则称w为为z的的n次方根次方根，记为记为 于是于是推得推得从而从而几何解释几何解释：z1/n的的n个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆为半径的圆 的内接正的内接正n边形的边形的n个顶点个顶点。例例2 2 求求 解解 因为因为所以所以即即四个根是内接于中心在原点半径为四个根是内接于中心在原点半径为2 21/81/8的圆的正方形的四个顶点的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w

10、2w3Oxy练习练习 求复数求复数 的模与辐角主值。的模与辐角主值。1.31.3复数形式的代数方程与平面几何图形复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式或不等式)来来表示表示;也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来来确定它所表示的平面图形确定它所表示的平面图形.例例3 将通过两点将通过两点z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的直线用复数形式的直线用复数形式的的方程来表示方程来表示.解解 通过点通过点(x1,y1)与与(x2,y2)的直线可用参数方程表示的直线可用参数方程表示为为 因此因此

11、,它的复数形式的参数方程为它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-tM平面上以平面上以 z0为中心为中心,d d(任意的正数任意的正数)为半径的圆为半径的圆:|z-z0|d d 内部的点的集合称为内部的点的集合称为z0的的邻域邻域,而称由不等式而称由不等式 0|z-z0|M（M0）无穷远点的邻域无穷远点的邻域M|z|+无穷远点的去心邻域无穷远点的去心邻域无穷远点的邻域无穷远点的邻域oxyN 设设G为一平面点集为一平面点集,z0 0为为G中任意一点中任意一点.如果存在如果存在z0 0的一的一个邻域个邻域,该邻域内的所有点都属于该邻域内的所有点都属于G,则称则称z0 0为为G的的内

12、点内点.平面点集平面点集D称为一个称为一个区域区域,如果它满足下列两个条件如果它满足下列两个条件:设设D为复平面内的一个为复平面内的一个区域区域,如果点如果点P不属于不属于D,但在但在P的任意小的的任意小的邻域邻域内总包含有内总包含有D中的点中的点,这样的点这样的点P称为称为D的的边界点边界点.D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界.区域的区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.如果如果G内的每个点都是它的内点内的每个点都是它的内点,则称则称G为为开集开集.1)1)D是一个是一个开集开集;2)2)D是是连通连通的。就是说的。就是说D

13、中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连接起来的一条折线连接起来.区域区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作记作 D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数即存在正数 M,使区域使区域 D的每个点的每个点z都满足都满足|z|M,则称则称 D为为有界有界的的,否则称为否则称为无界无界的的.2.单连通域与多连通域单连通域与多连通域 没有重点的连续曲线没有重点的连续曲线 C,称为称为简单曲线简单曲线.如果简单曲如果简单曲线线 C的起点与终点闭合的起点与终点闭合,则曲

14、线则曲线 C 称为称为简单闭曲线简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集个互不相交的点集,其中除去其中除去 C 外外,一个是有界区域一个是有界区域,称为称为 C 的的内部内部,另一个是无界区域另一个是无界区域,称为称为 C 的的外部外部,C 为它们的公共边界为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质简单闭曲线的这一性质,其几何直其几何直观意义是很清楚的观意义是很清楚的.内部内部外部外部C定义定义 复平面上的一个复平

15、面上的一个区域区域 D,如果在其中任作一条简单如果在其中任作一条简单闭曲线闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D,就称为就称为单连通域单连通域,一个一个区域如果不是单连通域区域如果不是单连通域,就称为就称为多连通域多连通域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD1.5 复变函数复变函数1.1.复变函数的定义复变函数的定义定义定义 设设 D 是复平面中的一个点集是复平面中的一个点集,称为复变函数称为复变函数.其确定了自变量为其确定了自变量为x和和y的两个二元实变函数的两个二元实变函数 u,v.因而函数因而函数 w=z2 对应于两个二元函数对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2x

16、y例如例如,考察函数考察函数 w=z2.令令 z=x+iy,w=u+iv,则则 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,在以后的讨论中在以后的讨论中,D常常是一个平面常常是一个平面区域区域,称之为称之为定义域定义域 .如无特别声明如无特别声明,所讨论的函数均为所讨论的函数均为单值函数单值函数.2.2.映射的概念映射的概念 函数函数 w=f(z)在几何上可以看做是把在几何上可以看做是把 z平面上的一个点平面上的一个点集集D(定义集合定义集合)变到变到 w平面上的一个点集平面上的一个点集G(函数值集合函数值集合)的的映射映射(或或变换变换).).如果如果 D 中的点中的点 z 被映射被映射

17、 w=f(z)映射映射成成 G中的点中的点 w,则则 w 称为称为 z 的的象象(映象映象),),而而 z 称为称为 w 的的原原象象.xuDGZzwW=f(z)vyW设函数设函数 w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有有 u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w11.6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性1.函数的极限函数的极限定义定义 设函数设函数 w=f(z)定义在定义在 z0的的去心邻域去心邻域 0|z-z0|0,相应地必有正相应地必有正数数d d(e e)(0 d d ),使得当使得当 0|z-z0|d d 时时,有有|f(z)-A|e e,

18、则称则称A为为f(z)当当 z趋向于趋向于z0时的时的极限极限,记作记作或记作当或记作当 zz0 时时 ,f(z)A.注意：注意：几何说明几何说明:xyOz0dzOuvAef(z)等价定义：等价定义：设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则则运算性质：运算性质：当当 z0 时的极限不存在时的极限不存在例例1 1 证明函数证明函数证证 令令 z=x+i y,则则由此得由此得让让 z z 沿直线沿直线 y=k x 趋于零趋于零,我们有我们有故极限不存在故极限不存在.2.2.函数的连续性函数的连续性 则说则说 f(z)在在 z0 处处连续连续.如果如果 f(z)在区域在区域D内处内处处处连续连续,我们说我们说 f(z)在在D内连续内连续.函数函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 z0=x0+iy0处连续处连续的充要条件是的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在(x0,y0)处连续处连续.性质：性质：(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；连续函数的四则运算仍然连续；(2)(2)连续函数的复合函数仍然连续；连续函数的复合函数仍然连续；(3)(3)连续函数的模也连续；连续函数的模也连续；定义定义