拉普拉斯变换的性质.ppt

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1、一、线性性质与相似性质一、线性性质与相似性质二、二、延迟性质与位移性质延迟性质与位移性质三、三、微分性质微分性质四、积分性质四、积分性质五、周期函数的像函数五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理9.2 Laplace 变换的性质变换的性质1所涉及到的函数的所涉及到的函数的 Laplace 在下面给出的基本性质中，在下面给出的基本性质中，且且 变换均假定存在，它们的变换均假定存在，它们的增长指数增长指数均假定为均假定为 c。对于涉及到的一些运算对于涉及到的一些运算(如如求导求导、积分积分、极限极限及及求和求和等等)的次序交换问题，均不另作说明。的次序交换问题，均不另作说明。9.

2、2 Laplace 变换的性质变换的性质2性质性质 证明证明 (略略)一、线性性质与相似性质一、线性性质与相似性质 1.线性性质线性性质 P216 P216 3解解4解解5令令 证明证明 性质性质 一、线性性质与相似性质一、线性性质与相似性质 2.相似性质相似性质(尺度性质尺度性质)P217 6二、二、延迟性质与位移性质延迟性质与位移性质1.延迟性质延迟性质 则对任一非负实数则对任一非负实数 有有 设当设当 t 0 时时 性质性质 令令 证明证明 P222 P222 7二、二、延迟性质与位移性质延迟性质与位移性质1.延迟性质延迟性质 则对任一非负实数则对任一非负实数 有有 设当设当 t 0 时

3、时 性质性质 可见，在利用本性质可见，在利用本性质求逆变换时求逆变换时应为：应为：因此，本性质也可以因此，本性质也可以直接表述直接表述为：为：注意注意 在延迟性质中专门强调了当在延迟性质中专门强调了当 t 0 时时 这一这一约定约定。8已知已知解解 方法一方法一 方法二方法二 两种方法为什么会得到不同的结果？两种方法为什么会得到不同的结果？根据根据延迟性质延迟性质有有 方法二方法二 先平移再充零先平移再充零 P222 例例9.12 方法一方法一 先充零再平移先充零再平移 9解解 由于由于 根据根据延迟性质延迟性质有有 设设 求求 例例 P223 例例9.13 修改修改 10证明证明 (略略)例

4、如例如 性质性质 2.位移性质位移性质 P223 二、二、延迟性质与位移性质延迟性质与位移性质11因此当因此当 时，有时，有 三、三、微分性质微分性质性质性质 证明证明 由由 有有 即得即得 1.导数的象函数导数的象函数 P217 P217 12 Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程方程(组组)的初值问题。的初值问题。9.4 将专门介绍将专门介绍 ）（三、三、微分性质微分性质1.导数的象函数导数的象函数 性质性质 其中，其中，应理解为应理解为 一般地，有一般地，有 13解解 利用导数的象函数性质来求解本题利用导数的象函数性质来求解本

5、题 以及以及 有有 由由 故有故有 P218 例例9.7 14由由 有有 证明证明 三、三、微分性质微分性质2.象函数的导数象函数的导数 性质性质 一般地，有一般地，有 同理可得同理可得 P218 15根据根据象函数的导数象函数的导数性质有性质有 解解 已知已知 P219 例例9.8 16根据根据线性性质线性性质以及以及象函数的导数象函数的导数性质有性质有 解解 已知已知 P219 例例9.9 17根据根据位移性质位移性质有有 解解 已知已知 再由再由象函数的导数象函数的导数性质有性质有 18四、积分性质四、积分性质1.积分的象函数积分的象函数 性质性质 证明证明 令令 由由微分性质微分性质有

6、有 则则 且且 即得即得 P219 P219 19四、积分性质四、积分性质1.积分的象函数积分的象函数 性质性质 一般地，有一般地，有 20再由再由积分性质积分性质得得 根据根据微分性质微分性质有有 解解 已知已知 21一般地，有一般地，有 四、积分性质四、积分性质2.象函数的积分象函数的积分 性质性质 证明证明 (略略)22根据根据象函数的积分象函数的积分性质有性质有 已知已知 解解 即即 在上式中，如果令在上式中，如果令 s=0，则有，则有启示启示 在在 Laplace 变换及其性质中，如果取变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值，为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。就可以

7、用来求一些函数的广义积分。利用拉氏变换利用拉氏变换计算广义积分计算广义积分P220 例例9.10 23 部分部分基本性质汇总基本性质汇总线性性质线性性质 相似性质相似性质 延迟性质延迟性质 24微分性质微分性质积分性质积分性质 部分部分基本性质汇总基本性质汇总位移性质位移性质 25证明证明 记为记为 其中，其中，令令 即得即得 性质性质 五、周期函数的像函数五、周期函数的像函数P223 26函数函数 的周期为的周期为 解解 故有故有 P224 例例9.14 27六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理1.卷积卷积 当当 时，时，如果函数满足：如果函数满足：按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指

8、按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 则有则有 显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。以及分配律等性质。P224 28解解 P224 例例9.15 29六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理卷积定理 定理定理证明证明 左边左边=D (跳过跳过?)?)30定理定理 六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理卷积定理 证明证明 左边左边=令令 记为记为 其中其中 左边左边=右边。右边。31故有故有 解解 由于由于 P225 例例9.16 32利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：

9、附：在在 Laplace 变换及其性质中，如果取变换及其性质中，如果取 s 为某些为某些特定特定的值，的值，就可以用来求一些函数的广义积分。就可以用来求一些函数的广义积分。注意在注意在 使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下一下 s 的取值范围以及广义积分的存在性。的取值范围以及广义积分的存在性。P221 注注 33由由 解解 得得 利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：附：P221 例例9.11(1)34已知已知 解解 由由积分性质积分性质有有 即得即得 (返回返回)利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：附：P221 例例9.11(2)35