椭圆余弦波.ppt

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1、第第8讲讲 海浪：海浪：非线性波海浪的数学物理模型海浪的数学物理模型n n水波动力学理论线性波线性波非线性波非线性波n n随机海浪理论有限振幅波有限振幅波n n波高较大时，海浪常表现为波峰变尖，波谷变平，并有波峰破碎，水质点有净位移。n n不能用线性波进行解释。n n根据有限振幅波理论，主要有四种波：斯托克斯波，摆线波，椭圆余弦波和孤立波。n n有限振幅波的波面形状不是简单的正弦曲线，而是波峰较陡，波谷较坦的非对称曲线，这是由于非线性作用所致。波陡H/L,相对波高H/D,相对波长L/D越大，非线性作用越强。n n18471847年斯托克斯（年斯托克斯（StokesStokes）提出，将波动的速

2、度势）提出，将波动的速度势函数用一个级数表示，然后展开使其满足非线性函数用一个级数表示，然后展开使其满足非线性边界条件，得到了有限水深条件下边界条件，得到了有限水深条件下2 2阶近似解和无阶近似解和无限深水的限深水的3 3阶近似解。阶近似解。Stokes波波n n控制方程和边界条件如小振幅波一样。控制方程和边界条件如小振幅波一样。n n对于波陡较小的弱非线性问题，采用了摄动法对于波陡较小的弱非线性问题，采用了摄动法求解。假设速度势函数求解。假设速度势函数和波面曲线和波面曲线都是某都是某一微小参数一微小参数的幂级数，即的幂级数，即n n频散关系波速与振幅有关。n n水质点运动轨迹摆线波摆线波n

3、n去掉小振幅假定，并认为水质点运动轨迹是椭圆。n n根据拉格朗日式方程，求解得：波剖面为一摆线波剖面为一摆线；运动有旋运动有旋。n n在海洋工程中应用较广。椭圆余弦波椭圆余弦波n n去掉小振幅假定。利用幂级数展开，求解得：式中含有式中含有JocabbiJocabbi椭圆函数椭圆函数cncn，因此得名。，因此得名。波峰高度为波峰高度为HHc c，波谷高度为，波谷高度为-HHt t 。n n椭圆余弦波是浅水波，波形在传播过程中保持不变，当波长趋于无穷时，为孤立波。孤立波孤立波n nRussel于1834年发现河流中的孤立波现象。即有一个孤立的波峰保持波形，向前传播。n n至今，孤立波仍是一个研究热

4、点。其原因是，孤立波体现了强非线性的影响。n n其求解可以从椭圆余弦波开始，当波长趋于无穷时，得到：波谷高度为0，只有波峰。孤立波与非线性科学孤立波与非线性科学n n非线性科学贯穿数理科学、生命科学、空间科学和地球科学，是当代科学研究重要的前沿领域。孤立波与孤立子正是推动非线性科学发展的重要概念之一。孤立子起源于孤立波，它已在非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等一系列高科技领域有了令人瞩目的应用。n n拉塞尔（John ScottRussell1808-1882，曾译为罗素）是苏格兰一位优秀的造船工程师。1834年8月在爱丁堡格拉斯哥运河中进行船舶全尺寸实验时，发现一个

5、孤立的水波，在浅水河道中长久地保持着自己的形状和波速持续前进。n n“我把注意力集中在船舶给予流体的运动上，立刻就观察我把注意力集中在船舶给予流体的运动上，立刻就观察到一个非同寻常而又非常绚丽的现象，它是如此之重要，到一个非同寻常而又非常绚丽的现象，它是如此之重要，以致我将首先详细描述它所表现出来的外貌。当我正在观以致我将首先详细描述它所表现出来的外貌。当我正在观察一只高速运动的船舶，让它突然停止时，在船舶周围所察一只高速运动的船舶，让它突然停止时，在船舶周围所形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了我的注意。形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了我的注意。在船身长度的中部附近，许多水聚集在

6、一起，形成一个廓在船身长度的中部附近，许多水聚集在一起，形成一个廓线很清楚的水堆，最后还出现一尖峰，并以相当高的速度线很清楚的水堆，最后还出现一尖峰，并以相当高的速度开始向前运动，开始向前运动，到船头后，继续保持它的形状不变，在静到船头后，继续保持它的形状不变，在静止流体的表面上，完全孤立地向前运动，成为一孤立行进止流体的表面上，完全孤立地向前运动，成为一孤立行进波，直到河道的转弯处才开始消失掉。波，直到河道的转弯处才开始消失掉。”n n“我立刻离开了船舶停留的地方，准备用步行去跟上它，我立刻离开了船舶停留的地方，准备用步行去跟上它，但发现它运动得很快，我即刻骑上马，在几分钟之内赶上但发现它运

7、动得很快，我即刻骑上马，在几分钟之内赶上了它，并发现它以一均匀速度沿静止流体表面作孤独的运了它，并发现它以一均匀速度沿静止流体表面作孤独的运动。跟随它一英里多以后，我发现它开始逐渐衰减，并在动。跟随它一英里多以后，我发现它开始逐渐衰减，并在运河的转角处最后消失。这一现象只要船舶快速行驶时，运河的转角处最后消失。这一现象只要船舶快速行驶时，突然让它停止，就可以重复观察到。它是如此的重要和有突然让它停止，就可以重复观察到。它是如此的重要和有趣，以致后来诱使我进行了许多有关水波课题的实验。趣，以致后来诱使我进行了许多有关水波课题的实验。”n n他提出了孤立波传播速度的计算公式，孤立波传播速度与重力加

8、速度，静止水的初始深度，和孤立波的高度有关。n n英国天文学家艾里（GeorgeBiddellAiry，1801-1892）爵士，流体力学家斯托克斯（GeorgeGabrielStokes，1819-1903）爵士对此提出质疑：一个完整的波动为什么会全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在传播的过程中，为什么波幅不会衰减；波的运动速度也与他们的研究结果不符。n n1895年年,荷兰数学家（荷兰数学家（D.J.Korteweg）和他）和他的学生的学生(G.de Vries)在研究浅水波时在研究浅水波时,导出了导出了如下形式的方程，即为著名的如下形式的方程，即为著名的KdV方程方程

9、：n n可以求平面前进波(简称行波)解,令 代入代入(1),得得积分一次得积分一次得用用乘乘(2)式两式两边边,并并对对积积分分,得得(3)由于孤立波是一个由于孤立波是一个局部波局部波,当当 及其各阶及其各阶导数都趋于零导数都趋于零 于是于是,时，有时，有 从而：从而：查积分表查积分表,可解得可解得其中其中A为为积分常数积分常数.不妨设不妨设A=0(否则对否则对 作平移作平移),则则(18.2.7)分离变量得分离变量得分离变量得分离变量得表示表示KdV方程有任意方程有任意 波速波速c的孤立波解的孤立波解,其峰高为其峰高为 化简为化简为化简为化简为图图(1)波峰高与波速成正比波峰高与波速成正比;(2)当当 固定时固定时,相应的相应的 的绝的绝对值与对值与因此因此,速率速率大的孤立波大的孤立波,其波宽反而小其波宽反而小.是钟形的正割双曲函数，与浅水槽中观察到的是钟形的正割双曲函数，与浅水槽中观察到的孤立波的形状相同孤立波的形状相同特征特征近似地成反比近似地成反比.小结小结n n非线性波能更好地解释实际海洋中的波动现象，对海洋工程有重要意义。n n非线性波的物理本质具有普遍性，至今仍是研究热点之一。