格林公式曲线积分与路径的无关性.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3 格林公式曲线积分与路线的无关性 在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、格林公式 设区域设区域 D 的边界的边界 L 是由是由一一条条或几条光滑曲线所或几条光滑曲线所 组成组成.边界曲线的正方边界曲线的正方向向规定为规定为:当人沿边界当人沿边界行走行走时时,区域区域 D 总在它的左边总在它的左边,如图如图 2

2、1-12 所示所示.与上述规定的方向相反的与上述规定的方向相反的方向称方向称为为负方向负方向,记为记为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理21.11 若函数若函数 在在闭闭区域区域 D 上上 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,则有则有 (1)这里这里 L 为区域为区域 D 的边界曲线的边界曲线,并取正方向并取正方向.公式公式(1)称为称为格林公式格林公式.证证 根据区域根据区域 D 的不同形状的不同形状,这里这里对以下三种情形对以下三种情形 (i)若若 D 既是既是 x 型又是型又是 y 型区域型区域(图图21-13),则可表则可表为为 作出证明作出证明:返回返回返回返

3、回后页后页后页后页前页前页前页前页又可表为又可表为 这这里里和和分分 分分别别是曲是曲线线 和和 的方程的方程.于是于是 别为别为曲曲线线 和和 的方的方程程,而而 和和 则则图图 21-13返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理又可证得同理又可证得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将上述两个结果相加即得将上述两个结果相加即得(ii)若区域若区域 D 是由一条是由一条 按段光滑的闭曲线围成按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将且可用几段光滑曲线将D 分成有限个既是分成有限个既是 x 型型 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又是又是 y 型的子区域

4、型的子区域 (如图如图21-14),则则可逐块按可逐块按 (i)得到得到 它们的格林公式它们的格林公式,然后然后相加即可相加即可.如图如图21-14 所示的区域所示的区域 D,可将它分成三个既是可将它分成三个既是 x 型又是型又是 y 型的区域型的区域于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii)若区域若区域 D 由几条闭曲线由几条闭曲线 所围成所围成,如图如图21-15 所示所示.这这 把区域化为把区域化为 (ii)的情形来处的情形来处 时可适当添加线段时可适当添加线段 理理.在图在图21-15中添加了中添加了 后后,D 的边界则由的边界则由 返回返回返回返回后页后页后

5、页后页前页前页前页前页注注1 并非任何并非任何单连单连通区域都可分解通区域都可分解为为有限多个既是有限多个既是 型又是型又是 型区域的并集型区域的并集,例如由例如由 及及 构成构成.由由(ii)知知 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所所围围成的区域便是如此成的区域便是如此.注注2 为便于记忆为便于记忆,格林公式格林公式 (1)也可写成下述形式也可写成下述形式:注注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例请看以下二例:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第一象限部分第一象限部分 (图图21-16).解解 对半径为对

6、半径为 r 的四分之一圆域的四分之一圆域 D,应用格林公式应用格林公式:由于由于因此因此 例例1 计计算算其中曲其中曲线线 是半径是半径为为 r 的的圆圆在在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 计计算算其中其中 L 为为任一不包含原任一不包含原 点的闭区域的边界线点的闭区域的边界线.解解 因因为为它们在上述区域它们在上述区域 D 上连续且相等上连续且相等,于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以由格林公式立即可得所以由格林公式立即可得在格林公式中在格林公式中,令令 则则得到一个得到一个计计算算平平 面区域面区域 D 的面积的面积 SD 的公式的公式:

7、(2)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 计计算抛物算抛物线线 与与 x 轴轴所所围图围图 形的面积形的面积 (图图21-17).解解 曲曲线线由函数由函数 表示表示,为为直直线线 于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、曲线积分与路线的无关性在第二十章在第二十章2 中计算第二型曲线积分的开始两中计算第二型曲线积分的开始两 个例子中个例子中,读者可能已经看到读者可能已经看到,在例在例1中中,以以 A 为起点为起点 B 为终点的曲线积分为终点的曲线积分,若所沿的路线不同若所沿的路线不同,则其积分则其积分 值

8、也不同值也不同,但在例但在例2 中的曲线积分值只与起点和终中的曲线积分值只与起点和终 点有关点有关,与路线的选取无关与路线的选取无关.本段将讨论曲线积分在本段将讨论曲线积分在 什么条件下什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念首先介绍单连通区域的概念.若对于平面区域若对于平面区域 D 内任一封闭曲线内任一封闭曲线,皆可不经过皆可不经过 D 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页以以外的点而连续收缩于属于外的点而连续收缩于属于 D 的某一点的某一点,则称此平则称此平面面区域为区域为单连通区域单连通区域;否则称为否则称为复连通区域复连通区

9、域.在在图图 21-18 中中,与与是是单连单连通区域通区域,而而与与 则则 是复连通区域是复连通区域.单连通区域也可以这样叙述单连通区域也可以这样叙述:D 内任内任 一封闭曲线所围成的区域只含有一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点中的点.更通更通 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页俗地说俗地说,单连通区域就是没有单连通区域就是没有“洞洞”的区域的区域,复连通区复连通区 域则是有域则是有“洞洞”的区域的区域.定理定理21.12 设设 D 是是单连单连通通闭闭区域区域.若函数若函数 在在 D 内内连续连续,且具有一且具有一阶连续阶连续偏偏导导数数,则则以以 下四个条件两两等价下

10、四个条件两两等价:(i)沿沿 D 内任一按段光滑封闭曲线内任一按段光滑封闭曲线 L,有有(ii)对对 D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与路线无关与路线无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关;(iii)是是 D 内某一函数内某一函数的全微分的全微分,即在即在 D 内有内有 (iv)在在 D 内处处成立内处处成立 证证 (i)(ii)如如图图 21-19,设设 与与 为联结为联结点点 A,B 的任意两条按段光滑曲线的任意两条按段光滑曲线,由由 (i)可推得可推得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前

11、页前页所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页D 内任意一点内任意一点.由由 (ii),曲线积分曲线积分 与路与路线线的的选择选择无关无关,故当故当在在 D 内内变动时变动时,其其 积积分分值值是是的函数的函数,即有即有 取取充分小充分小,使使 则则函数函数 对对于于 x 的的偏增量偏增量(图图21-20)(ii)(iii)设设 为为 D 内某一定点内某一定点,为为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为在因为在 D 内曲线积分与路线无关内曲线积分与路线无关,所以所以 因直因直线线段段 BC 平行于平行于 x 轴轴,故故 ,从而由从而由积积分分中中 值定理可得值定

12、理可得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 根据根据 在在 D 上上连续连续,于是有于是有 同理可同理可证证所以证得所以证得 (iii)(iv)设设存在函数存在函数使得使得因此因此 于是由于是由 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一点处都有一点处都有 (iv)(i)设设 L 为为 D 内任一按段光滑封内任一按段光滑封闭闭曲曲线线,记记 L 所所围围的区域的区域为为.由于由于 D 为单连为单连通区域通区域,所以区域所以区域 含在含在 D 内内.应应用格林公式及在用格林公式及在 D 内恒有内恒有 的的 条件条件,就得到就得到 以及以及 P,Q 具有一阶连续偏导数

13、具有一阶连续偏导数,便可知道便可知道在在 D 内每内每 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上面我们将四个条件循环推导了一遍上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了这就证明了 它们是相互等价的它们是相互等价的.应用定理应用定理21.12 中的条件中的条件(iv)考察第二十章考察第二十章2 中的中的 例例1 与例与例2.在例在例1中中由于由于故故积积分与路分与路线线有关有关.在例在例2 中中由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以积分与路线无关所以积分与路线无关.例例4 计计算算 其中其中 到点到点 D(0,1)的路径的路径(见图见图21-21).分析分析

14、如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件与路径无关的条件,则可改变积分路径则可改变积分路径,使易于计算使易于计算.L 为沿着右半圆周为沿着右半圆周由点由点 A(0,-1)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 记记 易知除去点易知除去点 E(0.5,0)外外,处处满足处处满足 设设 为为由点由点 到点到点 再到点再到点 最最 图图 21-21返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的折的折线线段段.后到点后到点 可被包含在某可被包含在某 一不含奇点一不含奇点 E 的单连通区域内的单连通区域内,所以有所以有返回返回返回返

15、回后页后页后页后页前页前页前页前页注注1 定理定理 21.12 中对中对“单连通区域单连通区域”的要求是重要的要求是重要 何不包含原点的单连通区域何不包含原点的单连通区域,已证得在这个区域内已证得在这个区域内 的任何封闭曲线的任何封闭曲线 L 上上,皆有皆有 (3)的的.如本例若取沿如本例若取沿 y 轴由点轴由点 A 到点到点 D 的路径的路径 ,虽虽 然算起来很简单然算起来很简单,但却不可用但却不可用.因为任何包含因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点的单连通区域必定含有奇点 E.又如又如本节例本节例 2,对任对任 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只在剔除原点外的任何区域只在

16、剔除原点外的任何区域 D 上有定义上有定义,所以所以 L 必必 含在某个复连通区域内含在某个复连通区域内.这时它不满足定理这时它不满足定理 21.12 的条件的条件,因而就不能保证因而就不能保证(3)式成立式成立.事实上事实上,若取若取 L 为绕原点一周的圆为绕原点一周的圆 则有则有 倘若倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线为绕原点一周的封闭曲线,则函数则函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注2 若若 满满足定理足定理21.12 的条件的条件,则则 由上述证明可看到二元函数由上述证明可看到二元函数 具有性质具有性质返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 试应用曲

17、线积分求试应用曲线积分求的原函数的原函数.解解 这这里里在整个平面上成立在整个平面上成立 由定理由定理21.12,曲线积分曲线积分我我们们也称也称为为的一个的一个原函数原函数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为为此此,取取取路取路线为图线为图21-22中的折中的折 注注 由例由例4 可见可见,若若 线段线段 于是有于是有 只与起点只与起点 A 和终点和终点 B 有关有关,而与路线的选择无关而与路线的选择无关.则求全微分的原函数可用公式则求全微分的原函数可用公式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页或或下例介绍用下例介绍用“凑微分凑微分”法求全微分的原函数法求全微分的原函数.例例6 6 求全微分求全微分的原函数的原函数解解 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此 是某个函数是某个函数 的全微分的全微分.由由 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页可见可见 其中其中为为任意常数任意常数.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 验证格林公式的另一形式验证格林公式的另一形式:其中其中是是的的边边界界上任一点上任一点处处的外法的外法线线向量向量.