概率论与数理统计第二章2.ppt

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1、例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解 若x0,则Xx是不可能事件,于是 F(x)=PXx=0.若0 x2,由题意,P0Xx=kx2,k是某一常数,为了确定k的值,取x=2,有P0X2=22k.但已知P0X2=1,故得k=1/4,即1 1于是若若x x 2,2,由题意由题意 X X x x 是必然事件是必然事件,于是于是F F(x x)=)=P P X X x x =1.=1.综上所述综上所述,即得即得X X 的分布函数为的分布函数为2 2它的图形是一条连续曲线如图所示

2、x1231/21OF(x)3 3另外,容易看到本例中的分布函数F(x)对于任意 x 可以写成形式这就是说这就是说,F F(x x)是非负函数是非负函数f f(t t)在区间在区间(-,x x)上的积上的积分分,在这种情况下我们称在这种情况下我们称 X X 为连续型随机变量为连续型随机变量.其中4 4对照对照f f(x x)和和F F(x x):):x1231/21Of(x)x1 2 31/21OF(x)5 54 连续型随机变量及其概率密度6 6如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x 有则称则称 X X 为连续型随机变量为连续型随机变量,其中函数其中函数f

3、f(x x)称为称为X X 的概的概率密度函数率密度函数,简称概率密度简称概率密度.连续型随机变量的分布函数是连续函数连续型随机变量的分布函数是连续函数.在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量.本课程只讨论这两种随机变量本课程只讨论这两种随机变量.7 7由定义知道,概率密度f(x)具有以下性质:8 8由性质2知道介于曲线y=f(x)与Ox 轴之间的面积等于1.由性质3知道X 落在区间(x1,x2 的概率 P x1Xx2等于区间(x1,x2上的曲线y=f(x)之下的曲边梯形面积.Oxf(x)1Oxf(x)x1x219 9由性质4在f(x)

4、的连续点x 处有看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似相类似,这就是为什么称这就是为什么称f f(x x)为概率密度的原因为概率密度的原因.由由(4.2)(4.2)式知道式知道,若不计高阶无穷小若不计高阶无穷小,有有P P(x x 0,0,则由则由 X X=a a a a D Dx x X X a a 得得0 0 P P X X=a a P P a a-D Dx x X X a a=F F(a a)-F F(a a-D Dx x).).在上述不等式中令在上述不等式中令D Dx x0,0,并注意到并注意到X X为连续型随机变量为连续型随机变量,

5、其分布函数其分布函数F F(x x)是连续的是连续的,即得即得P P X X=a a=0.=0.(4.4)(4.4)1616因此因此,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间.例如有例如有 P P a a X X b b=P P a a X X b b=P P a a X X b b.在这里在这里,事件事件 X X=a a 并非不可能事件并非不可能事件,但有但有P P X X=a a=0.=0.这就是这就是说说,若若A A是不可能事件是不可能事件,则有则有P P(A

6、 A)=0;)=0;反之反之,若若P P(A A)=0,)=0,并不一并不一定意味着定意味着A A是不可能事件是不可能事件.以后当提到一个随机变量X的概率分布时,指的是它的分布函数;或者,当X是连续型时指的是它的概率密度,当X是离散型是指的是它的分布律.1717介绍三种重要的连续型随机变量1818(一一)均匀分布均匀分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X X具有概率密度具有概率密度则称则称X X在区间在区间(a a,b b)上服从上服从均匀分布均匀分布,记为记为X X U U(a a,b b).).1919如果如果X X U U(a a,b b),),则它落在则它落在(a a,b b)中任意

7、子区间内中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关关.事实上，任给长度为事实上，任给长度为 l l 的子区间的子区间 (c c,c c+l l),),a a c c 00为常数为常数,则称则称X X服从参数为服从参数为q q的的指数分布指数分布.容易得到容易得到X X的分布函数为的分布函数为2323f f(x x)的图形的图形:Oxf(x)123123q=1/3q=1q=22424如X 服从指数分布,则任给s,t 0,有 PXs+t|X s=PX t(4.9)事实上性质性质(4.9)(4.9)称为无记忆性称为无记忆性.指数分布在可靠

8、性理论和排队论中有广泛的运用指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.2525(三三)正态分布正态分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X X 的概率密度为的概率密度为其中其中m m,s s(s s 0)0)为常数为常数,则称则称X X 服从参数为服从参数为m m,s s 的的正态分布或高斯正态分布或高斯(Gauss)(Gauss)分布分布,记为记为X X N N(m m,s s2 2).).显然显然f f(x x)0,0,下面来证明下面来证明令(x-m)/s=t,得到26262727f(x)的图形:Omm1xf(x)s=5s=52828f f(x x)具有的性质具有的性质:1 1,曲线关于

9、曲线关于x x=m m对称对称.这表明对于任意这表明对于任意h h 0 0有有 P P m m-h h X X m m=P P m m X X m m+h h.2 2,当当x x=m m 时取到最大值时取到最大值X X 离离m m 越远越远,f f(x x)的值越小的值越小.这表明对于同样长度的这表明对于同样长度的区间区间,当区间离当区间离 m m 越远越远,X X 落在这个区间上的概率越落在这个区间上的概率越小小.在在x x=m m s s 处曲线有拐点处曲线有拐点.曲线以曲线以Ox Ox 轴为渐近线轴为渐近线.29290.2660.3990.798mxOf(x)s=1.5s=1s=0.53

10、030由由(4.10)(4.10)式式得得X X 的分布函数为的分布函数为1F(x)0.5xOm3131特别特别,当当m m=0,=0,s s=1=1时称时称X X 服从服从标准正态分布标准正态分布.其概率密度其概率密度和分布函数分别用和分布函数分别用j j(x x)和和F F(x x)表示表示,即有即有易知易知F F(-x x)=1)=1-FF(x x)(4.15)(4.15)人们已经编制了人们已经编制了FF(x x)的函数表的函数表,可供查用可供查用(见附表见附表2,P2,P371371).).3232证由此知ZN(0,1).3333若X N(m,s2),则它的分布函数F(x)可写成:则对

11、于任意区间则对于任意区间(x x1 1,x x2 2,有有3434例如，设XN(1,4)，查表得3535设XN(m,s2),由F(x)的函数表还能得到:P m s X m+s=F(1)-F(-1)=2F (1)-1=68.26%P m-2s X m+2s=F(2)-F(-2)=95.44%P m-3s X z z a a=a a,00a a1,1,(4.18)(4.18)则称点则称点 z z a a 为标准正态分布的上为标准正态分布的上a a 分位点分位点.由由 j j(x x)的对称性知的对称性知 z z1 1-a a=-=-z z a aa a0.0010.0010.0050.0050.0

12、10.010.0250.0250.050.050.100.10z za a3.0903.0902.5762.5762.3272.3271.9601.9601.6451.6451.2821.282zaa40405 随机变量的函数的分布4141在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如例如,在一些在一些试验中试验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却而它却是某个能直接测量的随机变量的函数是某个能直接测量的随机变量的函数.比如我们能测量圆轴比如我们能测量圆轴的直径的直径d d,而关系的却是截面积而关系的却是

13、截面积A A=p pd d2 2/4./4.这里这里,随机变量随机变量A A是是随机变量随机变量d d的函数的函数.下面讨论如何由已知的随机变量下面讨论如何由已知的随机变量X X的概率分布去求得它的函数的概率分布去求得它的函数 Y Y=g g(X X),(),(g g()是已知的连续函数是已知的连续函数)的概率分布的概率分布.4242例例1 1 设随机变量设随机变量X X具有以下的分布律具有以下的分布律,试求试求Y Y=(=(X X-1)1)2 2的分布的分布律律.解解 Y Y所有可能值为所有可能值为0,1,4,0,1,4,由由P P Y Y=0=0=P P(X X-1)1)2 2=0=0=P

14、 P X X=1=0.1,=1=0.1,P P Y Y=1=1=P P X X=0+=0+P P X X=2=0.7,=2=0.7,P P Y Y=4=4=P P X X=-=-1=0.2,1=0.2,X X-1 10 01 12 2p pk k0.20.20.30.30.10.10.40.4Y Y0 01 14 4p pk k0.10.10.70.70.20.24343例例2 2 设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度求变量求变量Y Y=2=2X X+8+8的概率密度的概率密度.解解 分别记分别记X X,Y Y的分布函数为的分布函数为F FX X(x x),),F FY Y(y

15、y).).下面先来下面先来求求F FY Y(y y).).4444将将F FY Y(y y)关于关于y y求导数求导数,得得Y Y=2=2X X+8+8的概率密度为的概率密度为4545例例3 3 设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度 f fX X (x x),),-x x 00时有时有4646将将F FY Y(y y)关于关于y y求导数求导数,即得即得Y Y的概率密度为的概率密度为(5.1)4747例如例如:设设X X N N(0,1),(0,1),其概率密度为其概率密度为则则Y Y=X X 2 2的概率密度为的概率密度为此时称Y服从自由度为1的c2分布.4848定理定理 设随

16、机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度f f X X(x x),),-x x )0 (0 (或恒有或恒有g g(x x)0),)0.)0.此时此时g g(x x)在在(-,)严格单调严格单调增加增加,它的反函数它的反函数 h h(y y)存在存在,且在且在(a a,b b)严格严格单调增加单调增加,可导可导.分别记分别记 X X,Y Y 的分布函数为的分布函数为F FX X(x x),),F F Y Y(y y).).因因Y Y 在在(a a,b b)取值取值,故当故当y y a a 时时,F FY Y(y y)=)=P P Y Y y y=0;=0;当当y y b b 时时,F FY

17、 Y(y y)=)=P P Y Y y y=1.=1.当当a a y y b b 时时,F FY Y(y y)=)=P P Y Y y y=P P g g(X X)y y =P P X X h h(y y)=)=F FX X h h(y y).).5050F FY Y(y y)=)=F FX X h h(y y).).将将F FY Y(y y)关于关于y y求导数求导数,即得即得Y Y 的概率密度的概率密度对于对于g g(x x)0)0()0(或恒有或恒有g g(x x)0),)0),上上述定理依然成立述定理依然成立,但此时有但此时有 a a=min=min g g(a a),),g g(b

18、b),),b b=max =max g g(a a),),g g(b b).).5252例例4 4 设随机变量设随机变量X X N N(m m,s s2 2).).试证明试证明X X 的线性函数的线性函数Y Y=aXaX+b b(a a 0)0)也服从正态分布也服从正态分布.证证 X X的概率密度为的概率密度为现在现在y y=g g(x x)=)=axax+b b,由这一式子解得由这一式子解得由(5.2)式得Y=aX+b的概率密度为5353即有即有 Y Y=a X a X+b b N N(a a m m+b b,(,(a as s)2 2).).这就是上一节引理的结果这就是上一节引理的结果.5454例5 设电压V=A sinQ,其中A是一个已知的正试求电压试求电压V V 的概率密度的概率密度.解解 现在现在v v=g g(q q)=)=A A sinsinq q5555又,Q的概率密度为由由(5.2)(5.2)式得式得V V=A A sinsinQ Q 的概率密度为的概率密度为5656作业作业 第二章习题第二章习题 第64页开始第16,19,23题第28题5757精品课件精品课件！5858精品课件精品课件！5959请提问6060