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1、第第1 1篇篇理论力学理论力学 第1章 静力学基础第2章 平 面问题的受力分析第3章 空间问题的受力分析下一页上一页返回目录 理论力学理论力学是研究物体机械运动一般规律的一门科是研究物体机械运动一般规律的一门科学。学。运动是物质存在的形式，是物质的固有属性。它运动是物质存在的形式，是物质的固有属性。它包括了宇宙中发生的一切变化与过程。因此，物质的包括了宇宙中发生的一切变化与过程。因此，物质的运动形式是多种多样的，从简单的位置变化，到各种运动形式是多种多样的，从简单的位置变化，到各种物理现象、化学现象、直至人的思维与人们的社会活物理现象、化学现象、直至人的思维与人们的社会活动。动。所谓所谓机械运

2、动机械运动，是指物体在空间的位置随时间的，是指物体在空间的位置随时间的变化，如日月的运行，车船的行驶，机器的运转，河变化，如日月的运行，车船的行驶，机器的运转，河水的流动及物体的平衡等等。所谓水的流动及物体的平衡等等。所谓物体的平衡物体的平衡，一般，一般是指物体相对于地面静止或作匀速直线运动。是指物体相对于地面静止或作匀速直线运动。返回首页下一页上一页 机械运动不仅广泛地出现在我们的周围，存机械运动不仅广泛地出现在我们的周围，存在于人类的一切劳动生产过程之中，也普遍存在于在于人类的一切劳动生产过程之中，也普遍存在于研究其它运动形式的各门学科之中。因此，研究机研究其它运动形式的各门学科之中。因此

3、，研究机械运动，不仅可以解释周围许多现象，为研究其它械运动，不仅可以解释周围许多现象，为研究其它学科提供条件，更重要的还在于它是现代工程技术学科提供条件，更重要的还在于它是现代工程技术的重要理论基础，与解决工程技术问题的重要手段的重要理论基础，与解决工程技术问题的重要手段之一。之一。返回首页下一页上一页 理论力学的内容通常包括以下三个部分：返回首页下一页上一页 1）静力学研究力系的简化与物体在力系作用下的平衡规律。2）运动学从几何学的角度来研究物体的运动规律。3）动力学研究作用于物体上的力与物体运动变化的关系。返回首页下一页上一页 理论力学的研究对象为刚体刚体与质点质点。撇开物体受力时的变形而

4、获得刚体的概念，不计物体的尺寸而得到质点的概念，这些理想化的力学模型都是将事物抽象化的结果。理论力学是一门理论性较强的，在工程技术领域中有着广泛应用的技术基础课，它是近代工程技术的重要基础之一。同时，它又为工科院校中一系列后继课程提供必要的基础知识。返回首页下一页上一页 理论力学的分析和研究方法在科学研究中有一定的典型性。通过对本课程的学习，有助于提高分析和解决实际问题的能力，为今后从事生产实践、科学研究打下良好的基础。退出第第1 1章章 静力学基础静力学基础下一页上一页1.1 力力 的的 概概 念念和性质和性质1.2 力对点之矩力对点之矩1.3 力偶及其运算力偶及其运算1.4 力的平移定理力

5、的平移定理1.5 约束与约束力约束与约束力 1.6 物体的受力分析物体的受力分析 受力图受力图小小 结结返回目录第第1 1章章 静力学基础静力学基础下一页上一页 静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的一门科学。力系力系是指作用于同一物体上的一组力。物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系称为平衡力系平衡力系。返回首页下一页上一页 静力学研究的主要内容之一就是建立力系的平衡条件，并借此对物体进行受力分析。静力学建立力系平衡条件得主要方法是力系的简简化化，所谓力系的简化就是用简单的力系代替复杂的力系，当然，这种代替必须在两力系对物体的作用效应完全相同的条件下进行。对同一物体作用效应相同的两力系，彼

6、此称为等效力等效力系系。若一个力与一个力系等效，则此力称为该力系的合力合力。返回首页下一页上一页 综上所述，静力学将研究的主要问题是：1）力系的简化。2）建立物体在各种力系作用下的平衡条件。本章则主要介绍力的基本概念及其运算及其物体受力图的绘制。返回首页1.11.11.11.1 力力力力 的的的的 概概概概 念和性质念和性质念和性质念和性质 1.1.1 力的概念力的概念 力的概念产生于人类从事的生产劳动之中。当人们用手握、拉、掷及举起物体时，由于肌肉紧张而感受到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间。例如，奔腾的水流能推动水轮机旋转，锤子的敲打会使绕红的铁块变形等等。可见，力作用于物体

7、将产生两种效果：一种是使物体机械运动状态发生变化，称为力的外效应；另一种是使物体产生变形，称为力的内效应。返回首页下一页上一页返回目录综上所述，力可定义为：力力是是物物体体间间的的相相互互作作用用，这这种种作作用用将将引引起起物物体体的的机机械械运运动动状状态态发发生生变变化化或或使使物物体体产产生变形生变形。返回首页下一页上一页 1力的三要素返回首页下一页上一页F 实践证明，力对物体的作用效应，是由力的大小、方向和作用点的位置所决定的，这三个因素称为力的三要素。例如，用扳手拧螺母时，作用在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用点不同，它们产生的效果就不一样。2力的单位返回首页下一页上一页

8、 本书采用我国法定计量单位，力的单位用N（牛顿）或kN（千牛顿）。3力的矢量表示与力的投影力是矢量常用一个带箭头的线段来表示，线段的长度按一定比例代表力的大小，线段的方位和箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用位置。该线段的延伸称为力的作用线力的作用线。用加粗体字母（如F）代表力矢，而并以明体字母 F表示力的大小。AF50N力的作力的作用线用线F=200N返回首页下一页上一页BAF若已知F的大小及其与x轴所夹的锐角，则有FxFyABxyABBO Fx=Fcos Fy=Fsin 力F在直角坐标轴上的投影定义为：过F两端向坐标轴引垂线得垂足A、B和A、B。线段AB、AB分别为F在x和y轴上投影

9、的大小。投影的正负号规定为：从A到B（或A到B）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负。F在x、y轴上的投影分别记作Fx与Fy。返回首页下一页上一页（1-）AFFxFyABxyABBO（1-2）力的矢量表达式即为F=Fxi+FyjF1F2返回首页下一页上一页 Fx=Fcos Fy=Fsin（1-）其中，取0/2，代表力F与x轴的夹角，具体力的指向可通过投影的正负值来判定，如图所示。（1-3）F1 FF2FxFyABxyABABO OFxyFFF Fx0Fy0Fx0Fx0Fy0Fx0Fy t1 温度和时间会对高分子材料的性态产生很大的影响，图示高分子材料的-曲线还随温度而异。这种现象称为粘弹性。

10、在温度改变的条件下（如图），温度由t1t2，高分子材料还会产生明显的蠕变（即应力不变，应变增加）及松弛（即应变不变，应力下降）等现象。返回首页下一页上一页 3复合材料的力学性能 复合材料是指两种以上不同材质的材料通过一定复合方式组合而成的一种具有优异性能新型材料，如众所周知的玻璃钢是由玻璃纤维与聚酯类树脂组成的复合材料，它具有强度高、重量轻、耐冲击、耐腐蚀、绝缘性好等优点。这类纤维增强的复合材料已广泛被应用于各个方面。例如一架飞机的结构中采用5070复合材料，其重量就可以减轻30以上。由于增强纤维的存在，所以这类单层复合材料是存在明显的各向异性）。这个缺陷可用叠层复合材料方案来解决。返回首页下

11、一页上一页4.3.4 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 金属的压缩试样常制成短的圆柱，圆柱的高度约为直径的1.53倍；非金属材料(如水泥)的试样常采用立方体形状。/%O 5 10 15 20 25500400300200100低碳钢 -曲线/MPapy拉伸压缩FPFP 低碳钢压缩的-曲线。试验表明，低低碳碳钢钢等等塑塑性性材材料料压压缩缩时时的的弹弹性性模模量量E和和屈屈服服应应力力s 都都与与拉拉伸伸时时基基本本相相同同。屈服阶段以后，试样越压越扁。进入强化阶段后，两曲线逐渐分离，压缩曲线上升，此时测不出材料的抗压强度极限。这是因为超过屈服点后试样被越压越扁，横截面面积不断增大的

12、缘故。返回首页下一页上一页FP4.3.4 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能/%O 2 4 6 8 10 12600500400300200100灰铸铁 -曲线/MPa拉伸压缩FP 铸铁压缩时的应力一应变曲线如图。虚线为拉伸时的-曲线。可以看出，铸铁压缩时的-曲线也没有直线部分。因此，压缩时也只是近似地服从胡克定律。铸铁压缩时的抗压强度比抗拉强度高出45倍。退出 对于其他脆性材料，如硅石、水泥等，其抗压能力也显著地高于抗拉能力。一般脆性材料的价格较便宜，因此，工程上常用脆性材料做承压构件。几种常用材料的力学性能见表4-2。返回首页下一页上一页表表4-2 几种常用材料的力学性能几种常用

13、材料的力学性能 材料名称或牌号屈服点/MPa 抗拉强度b/MPa 伸长率()断面收缩率()Q235A2353902527C30混泥土拉2.1压214535359816304040Cr78596093045QT500-24125382HT150拉150压637返回首页下一页上一页退出表表4-2 几种常用材料的力学性能几种常用材料的力学性能 材料名称或牌号屈服点/MPa 抗拉强度b/MPa 伸长率()断面收缩率()Q235A2353902527C30混泥土拉2.1压214535359816304040Cr78596093045QT500-24125382HT150拉150压637返回首页下一页上一

14、页退出4.44.44.44.4拉压杆的强度计算与拉压静不定问题拉压杆的强度计算与拉压静不定问题拉压杆的强度计算与拉压静不定问题拉压杆的强度计算与拉压静不定问题 4.4.1 4.4.1 极限应力、许用应力和安全因数极限应力、许用应力和安全因数 由实验和工程实践可知，当构件的应力达到了材料的屈服点或抗拉强度时，将产生较大的塑性变形或断裂，为使构件能正常工作，设定一种极限应力，用0表示。对于塑性材料常取0=s；对于脆性材料，常取0=b。返回目录下一页上一页 考虑到载荷估计的准确程度，应力计算方法的精确程度，材料的均匀程度以及构件的重要性等因素，为了保证构件安全可靠地工作，应使它的工作应力小于材料的极

15、限应力，使构件留有适当的强度储备。一般把极限应力除以大于l的因数n，作为设计时应力的最大允许值，称为许用应力，用 表示，即（4-8）返回首页下一页上一页 正确地选取安全因数，关系到构件的安全与经济这一对矛盾的问题。过大的安全因数会浪费材料，太小的安全因数则又可能使构件不能安全工作。各种不同工作条件下构件安全因数n的选取，可从有关工程手册中查到。一般对于塑性材料，取n1.32.0；对于脆性材料，取n2.03.5。返回首页下一页上一页 为了保证拉（压）杆的正常工作，必须使杆内的最大工作应力max不超过材料的拉伸或压缩许用应力。即（4-9）4.4.2 拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件式中，F

16、N和A分别为危险截面上的轴力与其横截面面积。该式称为拉(压)杆的强度条件。根据强度条件，可解决下列三种强度计算问题：返回首页下一页上一页4.54.54.54.5 剪切与挤压剪切与挤压剪切与挤压剪切与挤压 4.5.1 4.5.1 剪切的概念及剪切胡克定律剪切的概念及剪切胡克定律 1剪切的概念 机械中常用的连接件，如销钉、键和铆钉等，都是承受剪切的零件。这类杆件的受力特点是：受一对大小相等，方向相反，作用线平行且相距很近的外力作用。返回目录下一页上一页FPFP dFPFP d常见的连接件形式FPFP 2d 1 1铆钉螺栓销钉返回首页下一页上一页 连接件沿两个力作用线之间的截面发生相对错动。这种变形

17、称为剪切变形，发生相对错动的面成为剪切面。图示的铆钉只有一个剪切面，称为单剪。FPFP dFPFQFQFPFPmmFPFPFP返回首页下一页上一页FF 2d 1 1图示的销钉具有两个剪切面，称为双剪。FQFQFF/2FQF/2FQ返回首页下一页上一页下一页上一页返回 2剪切胡克定律 现在从销钉的剪切面处取出一个微小的正六面体单元体，如图。在与剪力相应的切应力的作用下，单元体的右面相对左面发生错动，使原来的直角改变了一个微量，这就是切应变。返回首页下一页上一页 实验指出：当切应力不超过材料的剪切比例极限p时，切应力与切应变成正比。这就是材料的剪切胡克定律，即=G （4-11）式中，比例常数G与材

18、料有关，称为材料的切变模量。G的量纲与相同。一般钢材的G约为80GPa，铸铁约为45GPa。O p返回首页下一页上一页 切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，为计算简便，工程上通常采用以实验、经验为基础的实用计算，即近似地认为切应力在剪切面上是分布均匀地，则有（4-12）式中，为切应力，A为剪切面面积，FQ为该剪切面上的剪力。由截面法可知：截面上必有相切的内力FQ，且FQF，称为剪力。3.剪切的实用计算剪切的实用计算 FF dmmFFQFQFFF返回首页下一页上一页 为保证连接件具有足够的抗剪强度，要求切应力不超过材料的许用切应力。由此得抗剪强度条件为（4-13）可以通过与构件实际受力情况相似的

19、剪切实验得到。根据式试件被剪断时的剪力FQb，按式（4-12）算出极限切应力 b,再除以适当的安全因数n，则得 b/n。常用材料的许用切应力 可从相关手册中查到。实验表明，金属材料的 与许用拉应力 之间有如下关系 塑性材料：（0.60.8）脆性材料：（0.81.0）返回首页下一页上一页 1挤压的概念联接件在发生剪切变形的同时，它与被联接件传力的接触面上将受到较大的压力作用，从而出现局部变形，这种现象称为挤压挤压。FF d局部压扁挤压面孔侧面压皱4.5.2 挤压的实用计算挤压的实用计算 如图，上钢板孔左侧与铆钉上部左侧，下钢板右侧与铆钉下部右侧相互挤压。返回首页下一页上一页 必须指出，挤压与压缩

20、不同。挤压力作用在构件的表面，挤压应力也只分布在挤压面附近区域，且挤压变形情况比较复杂。当挤压应力较大时，挤压面附近区域将发生显著的塑性变形而被压溃，此时发生挤压破坏。发生挤压的接触面称为挤压面。挤压面上的压力称为挤压力，用Fjy表示。相应的应力称为挤压应力，用jy表示。返回首页下一页上一页由于挤压面上的挤压应力分布比较复杂，所以与剪切一样，工程中也采用实用计算，即认为挤压应力在挤压面上均匀分布，于是有 2挤压的实用计算（4-14）计算面积Ajy需根据挤压面的形状来确定。如键联接的挤压面为平面，则该平面的面积就是挤压面积的计算面积。式中，Fjy为挤压面上的挤压力，Ajy为挤压面的计算面积。h/

21、2h/2lAjyAjy=hl/2返回首页下一页上一页FF ddd挤压面 对于销钉、铆钉等圆柱联接件，其挤压面为圆柱面，挤压面的应力分布如图。则挤压面的计算面积为半圆柱面的正投影面积，即Ajy=d按式（4-14）计算所得的挤压应力，近似于最大挤压应力 jymax。返回首页下一页上一页 为保证联接件具有足够的挤压强度而不破坏，挤压强度条件为 式中，jy为材料的允许挤压应力，其数值可由实验获得。常用材料的仍可从有关的手册上查得。对于金属材料，许用挤压应力和许用拉应力之间有如下关系：塑性材料 jy(1.72.0)脆性材料 jy(0.91.5)必须注意，如果两个相互挤压构件的材料不同，则应对材料强度较小

22、的构件进行计算。（4-15）返回首页下一页上一页 1）校核强度 若已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力，即可用式(6-9)验算杆件是否满足强度条件。2）设计截面 若已知杆件所承受的载荷及材料的许用应力，由强度条件可确定杆件的安全横截面面积A，即 返回首页下一页上一页 3）确定承载能力 若已知杆件的横截面尺寸及材料的许用应力，可由强度条件确定杆件所能承受的最大轴力，即FNmaxA然后由轴力FNmax再确定结构的许用载荷。返回首页下一页上一页4.4.3 拉压超静定问题简介拉压超静定问题简介 1静不定概念及其解法 前面所讨论的问题，其支反力和内力均可由静力平衡条件求得。这类问题称为静定问题(图a

23、)。有时为了提高杆系的强度和刚度，可在中间增加一根杆3(图b)，这时未知内力有三个，而节点A的平衡方程只有两个，因而不能解出，即仅仅根据平衡方程尚不能确定全部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。未知力个数与独立平衡方程数目之差称为静不定的次数。图b所示为一次静不定问题。(a)12GABC(b)12GAD3返回首页下一页上一页 解静不定问题时，除列出静力平衡方程外，关键在于建立足够数目的补充方程，从而联立求得全部未知力。这些补充方程，可由结构变形的几何条件以及变形和内力间的物理规律来建立。下面举例说明。(a)12GABC(b)12GAD3返回首页下一页上一页 试求图中各杆的轴力。已知杆l

24、和杆2的材料与横截面均相同，其抗拉刚度为E1A1，杆3的抗拉刚度为E3A3；，夹角为。，悬挂重物的重力为G。解解 1)列平衡方程。在重力G作用下，三杆皆两端铰接且皆伸长，故可设三杆均受拉伸，作A点的受力图列平衡方程则有例4-7 2）变形的几何关系。由变形图看到，由于结构左右对称，杆1、2的抗拉刚度相同，所以节点A只能垂直下移。l1xFN1FN2yBC12GAD3 BC12AD3 FN3GAAl3EFx=0，-FN1sin-FN2sin=0Fy=0，FN3+FN1cos+FN2cos-G=0返回首页下一页上一页已知E1A1，E3A3，。，G试求图中各杆的轴力。解解 1)列平衡方程。2）变形的几何

25、关系 设变形后各杆汇交于A点，则AAl3；由A点作AB的垂线AE，则有EA=l1。在小变形条件下，之BAA，于是变形的几何关系为l1l2l3cos。3)物理关系。由胡克定律，应有 l1xFN1FN2yBC12GAD3 BC12AD3 FN3GAAl3EFx=0，-FN1sin-FN2sin=0Fy=0，FN3+FN1cos+FN2cos-G=0返回首页下一页上一页2装配应力 所有构件在制造中都会有一些误差。这种误差在静定结构中不会引起任何内力，而在静不定结构中则有不同的特点。例如，图示的三杆桁架结构，若杆3制造123时短了，为了能将三根杆装配在一起，则必须将杆3拉长，杆l、2压短。这种强行装配

26、会在杆3中产生拉应力，而在杆l、2中产生压应力。如误差较大，这种应力会达到很大的数值。这种由于装配而引起杆内产生的应力，称为装配应力装配应力。装配应力是在载荷作用前结构中已经具有的应力，因而是一种初应力。在工程中，对于装配应力的存在，有时是不利的，应予以避免；但有时我们也有意识地利用它，比如机械制造中的紧密配合和土木结构中的预应力钢筋混凝土等等。返回首页下一页上一页 3温度应力 在工程实际中，杆件遇到温度的变化，其尺寸将有微小的变化。在静定结构中，由于杆件能自由变形，不会在杆内产生应力。但在静不定结构中，由于杆件受到相互制约而不能自由变形，这将使其内部产生应力。这种因温度变化而引起的杆内应力，

27、称为温度应力。温度应力也是一种初应力。对于两端固定的杆件，当温度升高T时，在杆内引起的温度应力为 E1T (4-10)式中，E为材料的弹性模量，而1则为材料的线膨胀系数。在工程上常采取一些措施来降低或消除温度应力，例如蒸汽管道中的伸缩节、铁道两段钢轨问预留的适当的空隙、钢桥桁架一端采用的活动铰链支座等，都是为了减少或预防产生温度应力而常用的方法。返回首页下一页上一页退出 本章讨论了在横截面应力均布的拉、压、剪、挤等几种基本变形的实用计算。其主要内容为：1）用截面法求内力，内力与横截面间有如下特征：拉、压内力FN与横截面垂直，剪切内力FS与横截面平行，挤压则垂直于局部接触表面。小小 结结 返回目

28、录下一页上一页 2）在实用计算中，近似认为这些基本变形的内力是均布的，故其应力计算及强度条件为：拉压 剪切 挤压 对于挤压面以实际接触面为准，如是圆弧面则采用它的投影面来计算。返回首页下一页上一页 3）胡克定律建立了材料的应力、应变关系，其表达式为 E （拉压）=G （剪切）返回首页下一页上一页 4）常用材料中塑性材料以低碳钢为代表，低碳钢的拉伸应力应变曲线分为几个阶段：线弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和断裂阶段。重要的强度指标有s和b；重要的塑性指标有 和。脆性材料以铸铁为代表，其性抗压不抗拉，其强度指标为b。返回首页下一页上一页退出第5章 轴的扭转5.1 扭转的概念、扭矩与扭矩图扭转的概念、

29、扭矩与扭矩图5.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算5.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算 小小 结结下一页上一页返回目录 当钳工攻螺纹孔时，加在手柄上两个等值反向的力组成力偶，作用于丝锥杆的上端，工件的反力偶作用在丝锥杆的下端；汽车转向盘的操纵杆，两端分别承受驾驶员作用在转向盘上的外力偶和转向器的反力偶作用。FFFF5.1 扭转的概念、扭矩与扭矩图 返回首页下一页上一页 5.1.1 扭转的概念扭转的概念 这些构件的受力特点是：两端受到一对数值相等、转向两端受到一对数值相等、转向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶作用相反、作用面垂直于杆轴线的力偶作用。它们

30、的变形特点是：各截面绕轴线产生相对转动各截面绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形扭转变形，其上任意二截面间的相对转角称为扭转角。以扭转变形为主的构件称为轴。工程上轴的横截面多采用圆形截面或圆环形截面。MnMn返回首页下一页上一页5.1.2 5.1.2 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 1外力偶矩的计算 工程中作用于轴上的外力偶矩通常并不直接给出，而给出轴的转速和轴所传递的功率 它们的换算关系为M9550P/n（Nm）（5-1）式中，M轴扭转外力偶矩，（Nm）；P轴的传递功率（kW）；n轴的转速，单位为转/分（r/min）。返回首页下一页上一页 若已知轴上作用的外力偶矩，可用截面法研究圆轴扭转时横截

31、面上的内力。现分析如图示的圆轴，在任意m-m截面处将轴分为两段。MM 为保持平衡，在截面上必然存在一个作用面和截面重合的内内力力偶偶矩矩Mn，与外力偶矩M平衡，这个横截面上的内力偶Mn称为扭扭矩矩。Mn由平衡条件Mx=0，可求得这个内力偶的大小Mn=MMMnMM2扭矩与扭矩图M返回首页下一页上一页Mx 为使上述两种算法所得同一横截面处扭矩的正负号相同，特作如下规定：采用右手螺旋法则右手螺旋法则，拇指指向外法线方向。扭矩的转向与四指的握向一致时为正；反之为负。MnnMxMnn返回首页下一页上一页 在求扭矩时，一般按正向假设，所得为负则说明扭矩转向与所设相反。当轴上作用有多个外力偶时，须以外力偶所

32、在的截面将轴分成数段。逐段求出其扭矩。为形象地表示扭矩沿轴线的变化情况，可仿照轴力图的方法绘制扭矩图。作图时，沿轴线方向取坐标表示横截面的位置，以垂直于轴线的方向取坐标表示扭矩。返回首页下一页上一页5.2.1 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 为了研究圆轴横截面上应力分布的情况，可先进行实验观察。在圆轴表面画若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线，两端施加个方向相反、力偶矩大小相等的外力使圆轴扭转。当扭转变形很小时，可观察到：圆轴扭转动画圆轴扭转动画 1）各圆周线的形状、大小及两圆周线的间距均不改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线仍为直线，且倾斜同一角度，使原来的矩形变成平行四边形。圆周线纵

33、线O圆周线纵线OAMMAMOA 2）由上述现象可认为：扭转变形后，轴的横截面仍保持平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。返回首页下一页上一页5.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算OAO圆周线纵线MMAMOOA 由上述可知，圆铀扭转时，其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比。由剪切胡克定律可知，横截面上各点必有切应力存在，且垂直于半径呈线性分布，即有=K。Mnmax返回首页下一页上一页OMndAdA=K 扭转切应力的计算如图，圆轴横截面上微面积dA上的微内力为dA，对截面中心O的力矩为dA。整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面上的扭矩

34、Mn，则有OMnmax（5-2）令，称截面极惯性矩截面极惯性矩，则 Mn=KI=I/得（5-3）返回首页下一页上一页 显然，当=0时，=0；当=R时，切应力最大，为max=MnR/I。OMnmax（5-4）OMndAdA 式中，Wn称为抗扭截面系数抗扭截面系数。式（5-3）及式(5-4)均以平面假设为基础推导而得，故只有当圆轴的max不超过材料的比例极限时方可应用。（5-3）令，则式(5-3)可写成 返回首页下一页上一页5.2.2 极惯性矩极惯性矩I 及抗扭截面系数及抗扭截面系数Wn 圆截面对圆心 O的极惯性矩DOdR用 代入，即得 故抗扭截面系数 返回首页下一页上一页ODd极惯性矩为 对于内

35、径为d、外径为D的空心圆截面轴 Mnmax式中，=d/D即为内、外径之比。空心圆截面的抗扭截面系数为 返回首页下一页上一页5.2.3 圆轴扭转强度计算圆轴扭转强度计算 由式(5-3)可知，等直圆轴最大切应力发生在最大扭矩截面的外周边各点处。为了使圆轴能正常工作，必须使最大工作切应力不超过材料的许用切应力，于是等直圆轴扭转时的强度条件为 至于阶梯轴，由于Wn各段不同，max不一定发生在Mnmax所在的截面上；因此需综合考虑Mn和Wn两个因素来确定。（5-5）返回首页下一页上一页5.3.1 圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算5.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭

36、角来表示的。对于Mn为常值的等截面圆轴，由于其很小，由几何关系可得AB=l，AB=R所以 =l/RMnMnBRAO下一页上一页返回目录将胡克定律AB=l，AB=R=l/R 代入上式，得 (5-6)式中，GI反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。当两个截面间的Mn、G或I为变量时，需分段计算扭角，然后求其代数和，扭角的正负号与扭矩相同。返回首页下一页上一页5.3.2 圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度计算 设计轴类构件时，不仅要满足强度要求，有些轴还要考虑刚度问题。工程上通常是限制单位长度的扭角，使它不超过规定的许用值。由式(5-6)可知，单位长度的扭角单位长度的扭角为 于是建立圆

37、轴扭转的刚度条件为 式中，的单位为rad/m。工程实际中，许用扭角 的单位为()/m，考虑单位的换算，则得（5-7）返回首页下一页上一页 值按轴的工作条件和精度来确定，可查阅有关工程手册，一般规定 精密机器的轴 0.25/m一0.5/m 一般传动轴 0.5/m1.0/m 精度较低的轴 1.0/m一2.5/m（5-7）返回首页下一页上一页 提高圆轴扭转时的强度和刚度，可以从降低Mnmax和增大I，或Wn等方面来考虑。为了降低Mnmax，当轴传递的外力偶矩一定时，可以合理地布置主动轮与从动轮的位置。图a、b所示是齿轮轴，A为主动轮，B、C和D是从动轮。按图a所示方案布置，Mnmax=702Nm；按

38、图b所示方案布置，Mnmax=1170Nm。由于前者降低了Mnmax，减小了max和，故提高了轴强度和刚度。Mn/Nm702315x0468 -+ABCD351Nm351Nm1170Nm468Nma)DBCA351Nm351Nm1170Nm468NmMn/Nm702315x01170 -b)返回首页下一页上一页 工程上还可能遇到非圆截面杆的扭转，如正多边形截面和方形截面的传动轴。非圆截面杆扭转时，横截面不再保持平面，即横截面要发生翘曲。因此。务请注意，上述平面假设导出的扭转圆轴的应力、变形公式，对非圆截面杆均不再适用。有关矩形截面杆和薄壁截面杆扭转的一些结论，可参阅有关资料，这里不再阐述。返回

39、首页下一页上一页退出 1圆轴扭转横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大切应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下 小小 结结 2圆轴扭转的强度条件为 利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许用载荷等三类计算问题。下一页上一页返回目录3圆轴扭转变形的计算公式为 4圆轴扭转时的刚度条件是 返回首页下一页上一页退出第7章 梁的弯曲 7.1 弯弯 曲曲 内内 力力 7.2 梁的强度计算梁的强度计算 7.3 梁的刚度计算梁的刚度计算 7.4 提高梁的强度和刚度的措施提高梁的强度和刚度的措施 小小 结结7.1.1 直梁的平面弯曲及其简化直梁的平面弯曲及其简化 7.1 弯 曲

40、内 力 1平面弯曲的概念 工程实际中，存在大量的受弯曲的杆件，如火车轮轴、桥式起重机大梁等。这些杆件，在杆的轴线平面内受到外力在杆的轴线平面内受到外力作用，使杆的轴线由原来直变曲，作用，使杆的轴线由原来直变曲，这种变形称为弯曲变形。弯曲变形。凡以弯曲变形为主的杆件，通常称为梁。梁。下一页上一页返回目录 工程中使用的直梁，其横截面大多至少有一根对称轴（y轴），如图。通过平面对称轴与梁轴线确定的平面，称为梁的纵向对称面纵向对称面。轴线FAFBFqM纵向对称面yyyy 如果作用于梁上的所 有外力（包括约束力）都作用于梁的纵向对称面内，则变形后的轴线将是在纵向对称面内的一条平面曲线。这种弯曲变形称为平

41、平面弯曲面弯曲。本章只讨论梁的平面弯曲。返回首页下一页上一页1.弯曲变形和平面弯曲弯曲变形和平面弯曲AB 2梁的力学模型与基本形式 qAB （1）梁的简化 不论梁的截面形状如何，通常取梁的轴线来代替实际的梁。返回首页下一页上一页 （2）载荷的简化 作用在梁上的外力，包括载荷和约束力，一律可简化为三种形式，即集中力F、集中力偶M和分布载荷q(x)。分布载荷若分布均匀，则称为均布载荷，通常用载荷集度q表示。其单位为N/m。轴线FAFBFqM纵向对称面返回首页下一页上一页qAB qFAB （3）支座的简化 按支座对梁的约束作用不同，可按照静力学分析，用活动铰支座、固定铰支座及固定端支座进行简化。返回

42、首页下一页上一页1.弯曲变形和平面弯曲弯曲变形和平面弯曲AB （4）静定梁的基本形式）静定梁的基本形式 qAB 1）简简支支梁梁 一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁 根据支承情况，可将梁简化为三种形式：返回首页下一页上一页AB 2)悬臂梁悬臂梁 一端为固定端,另一端为自由端的梁qFPAB 固定端自由端返回首页下一页上一页qAFBC 3)外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁自由端qABD C 自由端返回首页下一页上一页qAB qFAB 这些梁的计算简图确定后，其支座反力均可由静平衡条件完全确定，故称静定梁静定梁。如果梁的支反力数目多于静力平衡方程数目，支反力不能完全由静力平衡方程确定，这种梁

43、称为静静不定不定或超静定梁超静定梁。C 返回首页下一页上一页图示悬臂梁，若已知梁长为l，主动力为F，则该梁的约束反力可由静力平衡方程求得，即FB=F，MB=Fl。欲求任意横截面m-m上的内力，可在m-m处假想将梁截开。留左半段为研究对象，因左右两半本属固连，故其内力状况与静力学中固定端的约束作用同，内力向截面m-m的形心O简化，为一力FS与一力偶M。FlxABy1用截面法分析梁截面上的内力FB7.1.2 梁的内力（剪力与弯矩）计算梁的内力（剪力与弯矩）计算 mmFSMMBxFOAxmml-xBFBMBmmOFSM返回首页下一页上一页式中FS称为剪力，它是与横截面平行内力的合力。M称为横截面上的

44、弯矩，它是横截面上垂直内力对其形心的合力矩。式（a）称为剪力方程，式（b）即称为弯矩方程。列出平衡方程，可得Fy0 F-FS0 FS F （a）MO(F)0 M-Fx 0 M Fx (b)FlxAByFBmmFSMMBxFOAxmml-xBFBMBmmOFSM返回首页下一页上一页若梁中间还有其他载荷，因各段的分离体的受力图不同，应按载荷作用位置分段计算。故在一般情况下，所谓剪力方程只是在梁的某一外载无变化的这段内，梁任意截面上的通式。可记为：FS FS(x)(7-1)式(7-1)称为梁的剪力方程。弯矩方程也同样是梁的外载无变化的这段内，梁任意截面上弯矩的通式。可记为：M M(x)(7-2)式(

45、7-2)称为梁的弯矩方程。如取右段为研究对象，用同样的方法也可以求得截面m-m上的FS和M，二者是等值、反向的。返回首页下一页上一页MM 为使取左段或取右段得到的同一截面上的内力符为使取左段或取右段得到的同一截面上的内力符号一致，特规定如下：号一致，特规定如下：规定：当截面上的剪力FS使研究对象有顺时针转向趋势时为正，反之为负。FSFSFSFSMM+当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部受压下部受拉）为正，反之为负。+返回首页下一页上一页 计算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或右）段上所有外力的代数和；弯矩大小等于之左（或右）段上所有外力的

46、代数和；弯矩大小等于截面之左（或右）段上的所有外力对截面形心力矩的截面之左（或右）段上的所有外力对截面形心力矩的代数和。代数和。在实际计算中，剪力和弯矩的符号一般皆设为正，如果计算结果为正，表明实际的剪力和弯矩与图示方向一致；若结果为负，则与图示方向相反。研究对象在截面的右边 FSF左M=MC(F左)FSF右M=MC(F右)研究对象在截面的左边返回首页下一页上一页 计算表明：1）集中力作用处的两端临近截面上的弯矩相同，但剪力不同，说明剪力在集中力作用处产生了突变，突变的幅值等于集中力的大小。2）集中力偶作用处的两侧临近截面上的剪力相同，但弯矩不同，说明弯矩在集中力偶作用处产生了突变，突变的幅值

47、等于几种里偶矩的大小。返回首页下一页上一页 3）由于集中力的作用截面上和集中力偶的作用截面上剪 力和弯矩有突变，因此，应用截面法求任一指定截面上的剪力和弯矩时，截面应分别取在集中力或集中力偶作用截面的左右临近位置。2剪力图与弯矩图返回首页下一页上一页以梁轴线作为截面位置坐标，建立各区段的剪力方程与弯矩方程，然后应用函数作图法画出FS(x)与M(x)的函数图象，即为剪力图与弯矩图。此法颇为繁琐。不过，在上述基本方法的基础上进一步探索梁上载荷与由之而生的剪力图、弯矩图的关系，发展成为一种方便的剪力与弯矩图的作法，下面将详述。研究表明，梁上截面上的弯矩、剪力和作用于该截面处的载荷集度之间存在一定的关

48、系。如图，设梁上作用着任意载荷，坐标原点选在梁的左端截面形心（即支座A处），x轴向右为正，分布载荷以向上为正。q(x)lAB xFMxy 7.1.3 7.1.3 弯矩、剪力与载荷集度间的关系弯矩、剪力与载荷集度间的关系返回首页下一页上一页 从x截面处截取微段dx进行分析。q(x)在dx微段上可看成均布的；左截面上作用有剪力FS(x)和弯矩M(x)，右截面上作用有剪力FS(x)+dFS(x)和弯矩M(x)+dM(x)。由平衡条件可得 dxq(x)lAB xFMxydxq(x)FS(x)FS(x+dx)M(x)M(x+dx)返回首页下一页上一页q(x)dxlAB xFMxydxq(x)FS(x)F

49、S(x+dx)M(x)M(x+dx)Fy=0MO=0略去dx的两阶微量，简化后得(7-3)(7-4)返回首页下一页上一页Fy=0(7-3)MO=0略去dx的两阶微量，简化后得(7-4)(7-5)上式表明了同一截面处M(x)、FS(x)与q(x)三者之间的关系。返回首页下一页上一页7.1.4 剪力图与弯矩图的绘制剪力图与弯矩图的绘制 工程上常利用剪力、弯矩和载荷三者之间的微分关系，并注意到在集中力F的邻域内剪力图有突变，在集中力偶M的邻域内弯矩图有突变的性质，列成表格来作图。返回首页下一页上一页表 7-1 FS、M图特征表 q(x)=0的区间q(x)C的区间集中力F作用处集中力偶M作用处FS图水

50、平线q(x)0，斜直线斜率0有突变突变量=F无影响q(x)0，斜直线斜率0M图FS0，斜直线斜率0q(x)0，抛物线，下凸斜率有突变图形成直线有突变突变量=MFS0，斜直线斜率0q(x)0，抛物线，上凸FS0，水平线FS=0，抛物线有极值返回首页下一页上一页7.2.1 实验观察与假设实验观察与假设 1122abcd1122cadbMMMM 为了研究梁横截面上的正应力分布规律，可取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直于梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，这样梁上的内力只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲纯弯曲。有弯矩且有剪力称为横力弯曲。MM纯弯曲动画横线纵线返回首