第2章-自动控制系统的数学模型.ppt

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1、第2章-自动控制系统的数学模型知 识 要 点 线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，方框图的简化2021/5/222 自自动动控控制制理理论论以以自自动动控控制制系系统统为为研研究究对对象象，无无论论是是对对控控制制系系统统进进行行分分析析还还是是对对校校正正装装置置进进行综合，都需要建立控制系统的数学模型。行综合，都需要建立控制系统的数学模型。所所谓谓数数学学模模型型是是指指能能够够描描述述系系统统变变量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式。工工程程系系统统一一般般都都是是动动态态系系统统，时时域域内内连连续续时时间间集集中中参参数数系系统统的的数数学学模模型型是是反反映映

2、系系统统输输入入量量和和输输出出量量之之间间关关系系的的微微分分方方程。程。2021/5/223 描述控制系统输入、输出变量以及内部各描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。常用的数学模型有微分方程、差分学模型。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。表达式等。建立合理的数学模型，对于系统建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。建立，一般采用解析法

3、或实验法。2021/5/224 以数学模型为依据控制系统可以被分以数学模型为依据控制系统可以被分类为连续系统和离散（时间）系统、线性类为连续系统和离散（时间）系统、线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统系统和非线性系统、定常系统和时变系统等。控制系统的数学模型不是惟一的，根等。控制系统的数学模型不是惟一的，根据不同的建模目的可以建立不同的数学模据不同的建模目的可以建立不同的数学模型，即使对于相同的建模目的也可以建立型，即使对于相同的建模目的也可以建立不同形式的数学模型，对于工程上常见的不同形式的数学模型，对于工程上常见的线性定常连续系统，常用的数学模型有微线性定常连续系统，常用的数学模型有微

4、分方程和传递函数等分方程和传递函数等.2021/5/225 建立控制系统数学模型的方法有解析法和建立控制系统数学模型的方法有解析法和实验法两种。解析法也称机理分析法，属于理实验法两种。解析法也称机理分析法，属于理论建模的范畴，是通过分析控制系统的工作原论建模的范畴，是通过分析控制系统的工作原理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本定律来建立变量之间的关系式。实验法也称实定律来建立变量之间的关系式。实验法也称实验辨识法，是通过实验对系统在已知输入信号验辨识法，是通过实验对系统在已知输入信号作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨作用下的输出响应数据进行测量

5、，利用模型辨识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系的数学方程。的数学方程。2021/5/2262.1数学模型的建立与定义方法数学模型的建立与定义方法一、定义一、定义 系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量，以及内系统的数学模型是描述系统的输入与输出变量，以及内部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线。部各变量之间关系的数学表达式、图表、曲线。二、数学模型的建立二、数学模型的建立1 1、方法、方法(1)(1)解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理化学定律，列出变量间的数学表达式。学定律，列出变量间的数

6、学表达式。(2)(2)实验方法：通过实验求出系统或元件各变量之间的关实验方法：通过实验求出系统或元件各变量之间的关系系2 2、型式、型式微分方程、传递函数、结构图、状态变量表达式微分方程、传递函数、结构图、状态变量表达式3 3、说明、说明 数学模型的建立应该在模型的准确性和简化性之间作折衷数学模型的建立应该在模型的准确性和简化性之间作折衷考虑。考虑。2021/5/227线性系统的微分方程线性系统的微分方程（1 1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可确定系统和环节的输入、输出变量，每个环节可考虑列写一个方程

7、；考虑列写一个方程；（2 2）根据各变量所遵循的基本定律）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、物理定律、化学定律化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性写各环节的原始方程式，并考虑适当简化和线性化；化；（3 3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；（4 4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，入变量及各阶

8、导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。为标准化微分方程。2021/5/228 电气系统中最常见的是由电阻元件、电容元件、电气系统中最常见的是由电阻元件、电容元件、电感元件以及运算放大器等组成的无源或有源电路，电感元件以及运算放大器等组成的无源或有源电路，也称电气网络。也称电气网络。2.1.1 微分方程的建立微分方程的建立 例例2-1 图图2-1所示为典型所示为典型的的RLC串联电路，以串联电路，以ui(t)为为输入量，输入量，uo(t)为输出量。为输出量。列写该电路的微分方程。列写该电路的微分方程。

9、2021/5/229 整理，可得描述系统输入量和输出量之间关系整理，可得描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程的微分方程解：引入回路电流作为中间变量，列写变量关系方程解：引入回路电流作为中间变量，列写变量关系方程二阶线性定常系统二阶线性定常系统 2021/5/2210例例2-3 图图为为一一弹弹簧簧阻阻尼尼系系统统，当当外外力力F(t)作作用用于于系系统统时时，系系统统将将产产生生运运动动。试试列列写写外外力力F(t)与与位位移移y(t)之之间间的微分方程。的微分方程。2021/5/2211解解 弹弹簧簧和和阻阻尼尼器器有有相相应应的的弹弹簧簧阻阻力力F1(t)和和粘粘性摩擦阻力性摩擦阻力F

10、2(t)，根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有：其中其中F1(t)和和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出可由弹簧、阻尼器特性写出 式中式中 k 弹簧系数弹簧系数 f 阻尼系数阻尼系数2021/5/2212整理且标准化整理且标准化 令令 称为时间常数；称为时间常数；称为阻尼比；称为阻尼比；称为放大系数。称为放大系数。得得2021/5/2213 例例2-4考虑图考虑图2-4所示液位控制系统，其中水箱水所示液位控制系统，其中水箱水位位H为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化为被控量，忽略次要因素，引起水箱水位变化的物理量主要是输入流量的物理量主要是输入流量Q1和负载流量和负载流量Q2。试确。试确定

11、该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量定该系统，节流阀开度一定时水箱水位与输入流量的关系方程。的关系方程。2021/5/2214解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的解：根据物质守恒定律，列出液位系统流体过程的关系方程关系方程非线性微分方程非线性微分方程 式中，式中，A为容器截面积。当节流阀开度一定时，通过包为容器截面积。当节流阀开度一定时，通过包含连接导管和容器的液体流量为含连接导管和容器的液体流量为 式中，式中，K为节流阀的流量系数。为节流阀的流量系数。将式（将式（2-18）代入（）代入（2-17）中可得水箱水位与进水）中可得水箱水位与进水流量的关系方程流量的关系方程（2-17）

12、（2-18）2021/5/2215 一一般般情情况况下下，描描述述线线性性定定常常系系统统输输入入与与输输出关系的微分方程为出关系的微分方程为:或或2021/5/2216一、比例环节1 1、数学表达式、数学表达式：c(t)=kr(t)（2-1）式中c(t)为输出变量，r(t)为输入变量，k为该环节的放大系数。2 2、特点、特点输出量与输入量的频率无关，任何突变形式的输入都能在输出中连续地按比例重现。3 3、实例、实例机械杠杆、齿轮、电位器、测速发电机、理想变压器、电子放大器等。4 4、说明、说明实际比例环节都有惯性，但与系统中其他环节比较，惯性要小得多，因而认为它无惯性。2021/5/2217

13、二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）1 1、数学表达式、数学表达式：2 2、特点、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入量的作用不能立即在输出端全部重现出来，而是有一个延缓，即有惯性。3 3、实例、实例2021/5/2218 例例2-2 2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。图2-2 RC网络2021/5/2219解解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电容电压uC为输出；（2）列微分方程组：由基尔霍夫第二定律有：uR+uC=ur 由欧姆定律有：uR=R i 由电容充放电特性，有：uC=idt （3）消去中间变量 由式有

14、：i=C 将式代入式有：uR=RC 将式代入式有RC +uC=ur （4 4）标准化：）标准化：令令R RC C=T=T，即该电路的充放电时间常数，代入，即该电路的充放电时间常数，代入式有：式有：T +uC=ur2021/5/22201、输入量（激励）、输入量（激励）2、输出量（响应）、输出量（响应）3、被控制量、被控制量 4、控制量（控制作用）、控制量（控制作用）5、反馈、反馈 6、干扰（扰动）、干扰（扰动）7、自动调节系统、自动调节系统2021/5/2221三、微分环节三、微分环节三、微分环节数学表达式数学表达式理想情况理想情况(理想微分环节理想微分环节)c(t)=T 一般情况一般情况(有

15、惯性微分环节有惯性微分环节)T+c(t)=T 2、特点：输出是输入对时间的微分，即输出是、特点：输出是输入对时间的微分，即输出是输入的变化率。输入的变化率。3、实例、实例2021/5/2222例例2-32-3：如图2-4所示电容电阻串联电路，总电压ur为输入，电阻上的电压uR为输出，试建立其微分方程。图 2-4 CR串联电路2021/5/22232021/5/2224第2章 线性系统的数学模型 2021/5/2225 2021/5/2226第2章 线性系统的数学模型 四、积分环节四、积分环节 1、表达式、表达式：c(t)=kr(t)dt2、特点、特点：输出量与输入量的积分成比例。输出量与输入量

16、的积分成比例。3、实例、实例他激直流电动uj=常数uan例例2-6 如图如图2-7所示，他激所示，他激直流电动机转轴角位移直流电动机转轴角位移为为输出，电框电压输出，电框电压ua为输入，为输入，加恒定直流激励，并忽略电加恒定直流激励，并忽略电枢回路的时间常数（即认为枢回路的时间常数（即认为电枢电流是瞬时增长到稳定电枢电流是瞬时增长到稳定值），有：值），有：=kuadt2021/5/2227五、振荡环节（二阶滞后环节）五、振荡环节（二阶滞后环节）1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统、自动控制原理的研究对象是自动控制系统的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌的基本结构，这是本章的重点，要求

17、通过实例掌握自动控制系统各组成部分及其功能。握自动控制系统各组成部分及其功能。2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系统的性能指标打好基础。统的性能指标打好基础。2021/5/2228第2章 线性系统的数学模型 2021/5/2229第2章 线性系统的数学模型 六、纯滞后环节（纯延迟环节）表达式：c(t)=r

18、(t-)特点：输出比输入滞后一个时间。实例：延时继电器。2021/5/2230 传递函数是线性定常连续系统最重要的数传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论的主要研究方法的主要研究方法根轨迹分析法和频域分

19、析根轨迹分析法和频域分析法都是建立在传递函数基础上的。法都是建立在传递函数基础上的。2-2 传递函数传递函数 2021/5/22312021/5/2232传递函数的概念及定义传递函数的概念及定义2021/5/22332.2 传递函数 2.2.1 传递函数 在在零零初初始始条条件件下下，线线性性定定常常系系统统输输出出量量的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换与与输输入入量量的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换之之比比，定义为线性定常系统的传递函数。定义为线性定常系统的传递函数。即，即，2021/5/2234若已知线性定常系统的微分方程为若已知线性定常系统的微分方程为 式中式中c(t)为输出量，为输出量，r(t)

20、为输入量为输入量。设设c(t)和和r(t)及及其其各各阶阶导导数数初初始始值值均均为为零零，对对式式(2-47)取拉氏变换，得取拉氏变换，得 2021/5/2235则系统的传递函数为则系统的传递函数为 或写为或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。2021/5/22362.2.2 传递函数的特点 1.作作为为一一种种数数学学模模型型，传传递递函函数数只只适适用用于于线线性性定定常常系系统统，这这是是由由于于传传递递函函数数是是经经拉拉普普拉拉斯斯变变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。2.2.传

21、传递递函函数数是是以以系系统统本本身身的的参参数数描描述述的的线线性性定定常常系系统统输输入入量量与与输输出出量量的的关关系系式式，它它表表达达了了系系统统内内在在的的固固有有特特性性，只只与与系系统统的的结结构构、参参数数有有关，而与输入量或输入函数的形式无关。关，而与输入量或输入函数的形式无关。2021/5/22373.传传递递函函数数可可以以是是无无量量纲纲的的，也也可可以以是是有有量量纲纲的的，视视系系统统的的输输入入、输输出出量量而而定定，它它包包含含着着联联系系输输入入量量与与输输出出量量所所必必须须的的单单位位，它它不不能能表表明明系系统统的的物物理理特特性性和和物物理理结结构构

22、。许许多多物物理理性性质质不不同同的的系系统统，有有着着相相同同的的传传递递函函数数，正正如如一一些些不不同同的的物物理理现现象象可可以以用用相相同的微分方程描述一样。同的微分方程描述一样。4.传传递递函函数数只只表表示示单单输输入入和和单单输输出出(SISO)之之间间的的关关系系，对对多多输输入入多多输输出出(MIMO)系系统统，可可用用传传递递函函数数阵表示。阵表示。2021/5/22385.传递函数式可表示成传递函数式可表示成 式式中中p1，p2pn为为分分母母多多项项式式的的根根，称称为为传传递递函函数数的的极极点点；z1、z2、zn为为分分子子多多项项式式的的根根，称为传递函数的零点

23、；称为传递函数的零点；2021/5/22396.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而而D(s)=0称称为为特特征征方方程程。传传递递函函数数分分母母多多项项式式的的阶阶次次总总是是大大于于或或等等于于分分子子多多项项式式的的阶阶次次，即即nm。这是由于实际系统的惯性所造成的。这是由于实际系统的惯性所造成的。2021/5/2240典型输入信号及其拉普拉斯变换典型输入信号及其拉普拉斯变换单位阶跃函数单位阶跃函数 单位斜坡函数单位斜坡函数2021/5/2241单位抛物线函数单位抛物线函数 单位脉冲函数，单位脉冲函数，-函数函数 -函数的强度，也称单函数的强度

24、，也称单位脉冲函数的冲量定义位脉冲函数的冲量定义为为:2021/5/22422.2.3 2.2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 控控制制系系统统由由许许多多元元件件组组合合而而成成，这这些些元元件件的的物物理理结结构构和和作作用用原原理理是是多多种种多多样样的的，但但抛抛开开具具体体结结构构和和物物理理特特点点，从从传传递递函函数数的的数数学学模模型型来来看看，可可以以划划分分成成几几种种典典型型环环节节，常常用用的的典典型型环环节节有有比比例例环环节节、惯惯性性环环节节、积积分分环环节节、微微分分环节、振荡环节、延迟环节等。环节、振荡环节、延迟环节等。2021/5/22431.1.

25、比例环节比例环节 环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为 式中式中K K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。为常数，称为比例环节的放大系数或增益。实实际际中中分分压压器器、测测速速发发电电机机、忽忽略略弹弹性性变变形形后后的的杠杠杆杆以以及及不不考考虑虑非非线线性性和和惯惯性性的的电电子子放放大大器器等都可以近似地认为是比例环节。等都可以近似地认为是比例环节。2021/5/22442.2.惯惯性性环环节节(非非周周期期环环节节)惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程惯性环节的动态方程是

26、一个一阶微分方程 其传递函数为其传递函数为 式中式中 T 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数惯性环节的增益或放大系数 2021/5/2245当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 惯性环节的阶跃响应是单调上升的是非周期惯性环节的阶跃响应是单调上升的是非周期过程，因而也称惯性环节为非周期环节过程，因而也称惯性环节为非周期环节 。2021/5/2246 惯惯性性环环节节实实例例很很多多，如如图图所所示示的的R-LR-L网网络络，输输入入为为电电压压u u，输输出出为为电电感感电电流流i i，

27、其传递函数其传递函数式中式中 2021/5/22473.积分环节积分环节 输输出出量量正正比比于于输输入入量量的的积积分分的的环环节节称称为为积积分分环节，其动态特性方程环节，其动态特性方程 其传递函数其传递函数 式中式中Ti为积分时间常数。为积分时间常数。2021/5/2248积分环节的单位阶跃响应为积分环节的单位阶跃响应为 它它随随时时间间直直线线增增长长，当当输输入入突突然然消消失失，积积分分停停止止，输输出出维维持持不不变变，故故积积分分环环节节具具有有记记忆忆功功能能，如如图图所所示。示。2021/5/2249上上图图为为运运算算放放大大器器构构成成的的积积分分环环节节，输输入入ui

28、(t)，输输出出u0(t)，其传递函数为其传递函数为 式中式中Ti=RC 2021/5/22504.4.微分环节微分环节 理理想想微微分分环环节节的的特特征征输输出出量量正正比比于于输输入入量量的的微微分分，即即输输出出量量与与输输入入量量的的导导数数成成比比例例关关系系。其动态方程其动态方程 其传递函数其传递函数 式中式中T Td d 称微分时间常数称微分时间常数 它的单位阶跃响应曲线它的单位阶跃响应曲线 由于微分环节的输出量与输入量的各阶导数有关，由于微分环节的输出量与输入量的各阶导数有关，因此能够预示输入信号的变化趋势，常常被用来改善因此能够预示输入信号的变化趋势，常常被用来改善控制系统

29、的动态性能。控制系统的动态性能。2021/5/2251如如图图所所示示，理理想想微微分分环环节节实实际际上上难难以以实实现现，因因此此我我们们常常采采用用带带有有惯惯性性的的微微分分环环节节，其其传递函数传递函数 其单位阶跃响应为其单位阶跃响应为 2021/5/2252 曲曲线线如如下下图图所所示示，实实际际微微分分环环节节的的阶阶跃跃响响应应是是按按指指数数规规律律下下降降，若若K K值值很很大大而而T Td d值值很很小小时时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。实际微分环节就愈接近于理想微分环节。2021/5/22535.二阶振荡环节二阶振荡环节(二阶惯性环节二阶惯性环节)二阶振荡环节的

30、动态方程为二阶振荡环节的动态方程为 其传递函数其传递函数 式式中中 为为无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡角角频频率率，为为阻阻尼尼比比，在后面时域分析中将详细讨论。在后面时域分析中将详细讨论。2021/5/22542021/5/2255 图图中中所所示示为为RLC网网络络，输输入入为为ui(t)、输输出出u0(t)，其其动态特性方程动态特性方程 其传递函数其传递函数 式中式中 2021/5/22566.延迟环节延迟环节(时滞环节时滞环节)延延迟迟环环节节是是输输入入信信号号加加入入后后，输输出出信信号号要要延延迟迟一一段段时时间间后后才才重重现现输输入入信信号号，其动态方程为其动态方程为 其传递函

31、数是一个超越函数其传递函数是一个超越函数 式中式中称延迟时间称延迟时间 2021/5/2257 需需要要指指出出，在在实实际际生生产产中中，有有很很多多场场合合是是存存在在迟迟延延的的，比比如如皮皮带带或或管管道道输输送送过过程程、管管道道反反应应和和管管道道混混合合过过程程，多多个个设设备备串串联联以以及及测测量量装装置置系系统统等等。迟迟延延过过大大往往往往会会使使控控制制效效果果恶恶化化，甚至使系统失去稳定。甚至使系统失去稳定。2021/5/2258 2.4 2.4 方框图方框图 在在控控制制工工程程中中，为为了了便便于于对对系系统统进进行行分分析析和和设设计计，常常将将各各元元件件在在

32、系系统统中中的的功功能能及及各各部部分分之之间间的的联联系系用用图图形形来来表表示示，即即方方框图和信号流图。框图和信号流图。2021/5/22592.4.1方框图 方方框框图图也也称称方方块块图图或或结结构构图图，具具有有形形象象和和直直观观的的特特点点。系系统统方方框框图图是是系系统统中中各各元元件件功功能能和和信信号号流流向向的的图图解解，它它清清楚楚地地表表明明了了系系统统中中各各个个环环节节间间的的相相互互关关系系。构构成成方方框框图图的的基基本本符符号号有有四四种种，即即信信号号线线、比比较较点点、传传递递环环节节的的方方框框和引出点。和引出点。2021/5/22602021/5/

33、22612.4.2系统方框图的构成 对对于于一一个个系系统统在在清清楚楚系系统统工工作作原原理理及及信信号号传传递递情情况况下下，可可按按方方框框图图的的基基本本连连接接形形式式，把把各各个个环节的方框图，连接成系统方框图。环节的方框图，连接成系统方框图。例例2-5 图图中中为为一一无无源源RC网网络络。选选取取变变量量如如图图所所示示，根据电路定律，写出其微分方程组为根据电路定律，写出其微分方程组为 2021/5/22622021/5/2263零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得 2021/5/2264 RC网络方框图 各环节方框图 2021/5/22

34、65例2-6 图中为电枢电压控制的直流他励电动机,描述其运动方程为 2021/5/2266零初始条件下，对式中两边取拉氏变换 2021/5/2267第2章 线性系统的数学模型 将同一变量的信号线连接起来，将输入Ua(s)放在左端，输出(s)放在图形右端，得系统方框图如图所示。2021/5/2268第2章 线性系统的数学模型 2.4.3环节间的连接 环节的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。1.串联:在单向的信号传递中，若前一个环节的输出就是后一个环节的输入，并依次串接如图2-32所示，这种联接方式称为串联。n个环节串联后总的传递函数:2021/5/2269第2章 线性系统的数学模型 即环节串联

35、后总的传递函数等于串联的各个环节传递函数的乘积。环节的串联RC网络2021/5/2270第2章 线性系统的数学模型 2.并联:若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点时，称为并联。如图2-34所示。由图可知 总的传递函数为 环节的并联2021/5/2271第2章 线性系统的数学模型 3.反馈：若将系统或环节的输出信号反馈到输入端，与输入信号相比较，就构成了反馈连接，如图所示。如果反馈信号与给定信号极性相反，则称负反馈连接。反之，则为正反馈连接，若反馈环节H(s)=1称为单位反馈。反馈连接2021/5/2272第2章 线性系统的数学模型 反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把由信号

36、输入点到信号输出点的通道称为前向通道；把输出信号反馈到输入点的通道称为反馈通道。对于负反馈连接，给定信号r(t)和反馈信号b(t)之差，称为偏差信号e(t)即 通常将反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比，定义为开环传递函数，即 开环传递函数=2021/5/2273第2章 线性系统的数学模型 输出信号C(s)与偏差信号E(s)之比，称为前向通道传递函数，即 前向通道传递函数=而系统输出信号C(s)与输入信号R(s)之比称为闭环传递函数，记为(s)或GB(s)。2021/5/2274第2章 线性系统的数学模型 得闭环传递函数为 对于正反馈连接，则闭环传递函数为 2021/5/2275第2章 线性

37、系统的数学模型 2.4.4方框图的变换和简化 有了系统的方框图以后，为了对系统进行进一步的分析研究，需要对方框图作一定的变换，以便求出系统的闭环传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。除了前面介绍的串联、并联和反馈连接可以简化为一个等效环节外，还有信号引出点及比较点前后移动的规则。2021/5/2276第2章 线性系统的数学模型 控制系统结构图中，环节的连接方式主要有三种基本形式，即串联连接、并联连接和反馈连接。1.1.环节的合并环节的合并1）串联环节的合并）串联环节的合并 图2-19 结构图中几个环节按照信

38、号流向首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输入，这种连接方式称为串联连接。图2-19所示为两环节串联的情况2021/5/2277第2章 线性系统的数学模型 由于 所以，串联连接的环节合并成为一个环节，等效的传递函数为 此结论可以推广到n个环节串联的情况，等效环节的传递函数为各串联环节传递函数的乘积。2021/5/2278第2章 线性系统的数学模型 当两个或多个环节具有相同的输入量，而总输出量为各环节输出量的代数和时，称环节为并联连接，如图2-20所示。2）并联环节的合并）并联环节的合并 图图2-20由此可见，两个环节并联的等效传递函数等于两个环节传递函数的代数和。2021/5/2279第2章

39、 线性系统的数学模型 此结论可推广到n个环节的并联，即n个环节并联后的等效传递函数为并联各环节传递函数的代数和。2021/5/2280第2章 线性系统的数学模型 将环节的输出量反送到输入端与输入信号进行比较后作为环节的输入量，就构成了反馈连接，如图2-21(a)所示。3）反馈连接环节的合并）反馈连接环节的合并 图图2-21图2-21(a)中B(s)为反馈信号，E(s)为偏差信号。如果反馈信号在相加点处取“+”号，称为正反馈；取“-”号，称为负反馈。2021/5/2281第2章 线性系统的数学模型 环节反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。环节反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把信号输入

40、点通常把信号输入点R R(s)(s)到信号输出点到信号输出点Y Y(s)(s)的通道称的通道称为前向通道，前向通道上所有环节的传递函数之积定义为前向通道，前向通道上所有环节的传递函数之积定义为前向通道传递函数；把输出信号为前向通道传递函数；把输出信号Y Y(s)(s)到反馈信号到反馈信号B B(s s)的通道称为反馈通道，反馈通道上所有环节的传递函数的通道称为反馈通道，反馈通道上所有环节的传递函数之积定义为反馈通道传递函数。之积定义为反馈通道传递函数。把偏差信号把偏差信号E E(s s)到输出信号到输出信号Y Y(s)(s)再经反馈信号再经反馈信号B B(s s)到偏差信号到偏差信号E E(s

41、 s)的封闭通道称为回路，回路上所有环节的封闭通道称为回路，回路上所有环节的传递函数之积定义为回路传递函数。的传递函数之积定义为回路传递函数。2021/5/2282第2章 线性系统的数学模型 负反馈是自动控制系统最基本的结构形式，当反馈极性为负时，偏差信号等于输入信号与反馈信号之差，有整理可得系统反馈后的闭环传递函数GB(s)为同理可得，正反馈时系统的闭环传递函数GB(s)为2021/5/2283第2章 线性系统的数学模型 通常将反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比，定义为开环传递函数GK(s)，即显然，开环传递函数GK(s)是前向通道传递函数G(s)与反馈通道传递函数H(s)的乘积。由此可

42、见，反馈控制系统的闭环传递函数、开环传递函数和前向通道传递函数符合下面的关系2021/5/2284第2章 线性系统的数学模型 若反馈环节 ，则称为单位反馈 单位反馈连接的闭环传递函数为 （2-74）从结构图可以看出，并联连接环节的合并和反馈连接环节的合并有着相同的结果，就是消除了结构图中的信号的相加点和信号的分支点。2021/5/2285第2章 线性系统的数学模型 上述三种环节合并的方法是简化结构图的有效途径，但在几乎所有系统的结构图中，都会存在有信号的相加点和分支点，这就使得结构图中环节之间不完全符合上述三种连接方式，甚至出现环路相扣的情况，导致无法利用上述等价关系来实现结构图的简化。通过信

43、号相加点、分支点的移动和互换可以使得环节之间具有典型的串联、并联和反馈连接形式，最终将结构图简化为一个输入量和一个输出量之间只有一个传递函数方框的形式，获得系统的传递函数。信号相加点、分支点的移动和互换也必须遵循等效原则。2.2.信号相加点和信号分支点的移动和互换信号相加点和信号分支点的移动和互换2021/5/2286第2章 线性系统的数学模型 图图2-221）信号相加点的移动）信号相加点的移动 _移动的支路上增加相应的环节 2021/5/2287第2章 线性系统的数学模型 2）信号分支点的移动）信号分支点的移动 _移动的支路上增加相应的环节 图图2-232021/5/2288第2章 线性系统

44、的数学模型 图2-243）相邻的信号相加点和相邻的信号分支点的位置交换）相邻的信号相加点和相邻的信号分支点的位置交换相邻的信号相加点可以交换位置 相邻的信号相加点也可以交换位置 2021/5/2289第2章 线性系统的数学模型 结构图简化的关键是解除环路、消除信号的相加点结构图简化的关键是解除环路、消除信号的相加点和分支点，因此，在结构图简化过程中首先要设法使和分支点，因此，在结构图简化过程中首先要设法使交叉环路分开，或形成大环套小环的形式。由于结构交叉环路分开，或形成大环套小环的形式。由于结构图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的信号相加点图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的信号相加点也可以彼

45、此交换，而当分支点与相加点相邻时，它们也可以彼此交换，而当分支点与相加点相邻时，它们的位置是不能作简单交换的，因而解除交叉环路最有的位置是不能作简单交换的，因而解除交叉环路最有效的方法是相加点朝着有相加点的方向移动，分支点效的方法是相加点朝着有相加点的方向移动，分支点朝着有分支点的方向移动，然后将相邻的相加点或相朝着有分支点的方向移动，然后将相邻的相加点或相邻的分支点交换位置，即可将交叉环路解开。邻的分支点交换位置，即可将交叉环路解开。由由此此可可见见，结结构构图图变变换换前前后后所所满满足足的的等等效效变变换换原原则，可简单总结为以下两点：则，可简单总结为以下两点：前向传递函数不变；前向传递

46、函数不变；回路传递函数不变。回路传递函数不变。2021/5/2290第2章 线性系统的数学模型 例例2-12 具有多反馈回路的系统结构图如图2-25所示，试利用等效变换的方法简化结构图，求取系统的传递函数Y(s)/R(s)。解：解：图2-25结构图具有多重反馈连接，反馈连接不存在交叉现象，可采用由内而外的办法，逐级合并反馈连接的环节。图图2-252021/5/2291第2章 线性系统的数学模型（2）串联连接环节合并如下图所示（1）内环正反馈连接环节合并如下图所示 2021/5/2292第2章 线性系统的数学模型（3）并联连接环节合并如下图所示（4）反馈连接环节合并如下图所示 2021/5/22

47、93第2章 线性系统的数学模型 例例2-13具有针对给定补偿的控制系统结构图如图2-27所示，Y(s)/R(s)。解：解：（1）相加点a后移与b点互换，并将串联环节合并（2）分别合并并联连接的环节和反馈连接的环节（3）合并串联连接的环节，过程如下图图2-272021/5/2294第2章 线性系统的数学模型 图图2-282021/5/2295第2章 线性系统的数学模型 例例2-14简化图2-29所示系统结构图，写出系统输出 Y(s)的表达式。图2-292021/5/2296第2章 线性系统的数学模型 图2-30解：解：（1）R(s)单独作用下，等效的系统结构图如图2-30所示 2021/5/22

48、97第2章 线性系统的数学模型（2）N1(s)单独作用下，等效的系统结构图如图2-31所示 2021/5/2298第2章 线性系统的数学模型 图2-32（3）N2(s)单独作用下，等效的系统结构图如图2-32所示（4）根据叠加原理，3个输入共同作用下系统的输出为 2021/5/2299第2章 线性系统的数学模型 例例 2-7化 简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数 2021/5/22100第2章 线性系统的数学模型 2021/5/22101第2章 线性系统的数学模型 图2-37(a)是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为 例例2-8 试化简如图2-37(a)所示系统的方框图，并求闭环传递函数。2021/5/22102第2章 线性系统的数学模型 图2-37 方框图的变换与简化 2021/5/22103第2章 线性系统的数学模型 返回2021/5/22104第2章 线性系统的数学模型 谢谢观赏！2020/11/5105