机械可靠性设计0704分析方法10872.pptx

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1、机械可靠性设计可靠性设计4.3 一次二阶矩方法求可靠度一次二阶矩方法求可靠度_工程方法工程方法第四章第四章 机械可靠性设计分析方法机械可靠性设计分析方法 4.1干涉面积法干涉面积法4.2 分布代数分布代数4.4 蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法4.5 变异系数传递规律变异系数传递规律 从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复从可靠度计算的普遍方程可以看出，对于应力和强度比较复杂的分布，由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。杂的分布，由于积分困难，往往难以得出问题的解析解。因此如何采用一些较好的近似方法，能因此如何采用一些较好的近似方法，能比较方便地求得满足工程比较方便地求得满足工

2、程精度要求的零件可靠度的近似解精度要求的零件可靠度的近似解，一直是人们探讨的一个问题。，一直是人们探讨的一个问题。3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a2应力和强度两个概率密度函应力和强度两个概率密度函数的交叉区，即干涉区阴影数的交叉区，即干涉区阴影面积的大小，反映了零件或面积的大小，反映了零件或结构可靠度的高低。结构可靠度的高低。该面积越小，可靠度越高，该面积越小，可靠度越高，反之，可靠度越低。反之，可靠度越低。干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值的相对位置及方干涉面积的大小是由两个概率密度函数平均值

3、的相对位置及方差决定的。差决定的。可靠度可否通过计算该面积的大小给出？可靠度可否通过计算该面积的大小给出？3-1应力和强度概率密度曲线的干涉面积应力和强度概率密度曲线的干涉面积Or,sf(s)g(r)s0=r0f(s)g(r)a1a24.1干涉面积法干涉面积法设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为设应力、强度两概率密度函数曲线的交点横坐标为s0=r0，并令，并令在应力在应力s、强度、强度r相互独立的情况下，零件的失效概率相互独立的情况下，零件的失效概率(不可靠度不可靠度)可表示为可表示为另一方面，零件的可靠度可表示为另一方面，零件的可靠度可表示为即有即有可见，失效概率数值上可见，失效概率

4、数值上不等于干涉区的阴影面不等于干涉区的阴影面积。积。由于可靠度由于可靠度R(t)总是小于总是小于(1-a1a2)，所以，所以(1-a1a2)可作为零可作为零件可靠度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的件可靠度的上限，成为衡量可靠性的一种指标，称为零件的非失效保证度非失效保证度。若已知应力和强度的概率密度函数若已知应力和强度的概率密度函数f(s)、g(r)，便可求，便可求出干涉面积出干涉面积a1和和a2，由此便可估计出零件的可靠度。，由此便可估计出零件的可靠度。例例4-1 设某一零件的强度设某一零件的强度r和作用在该零件上的应力和作用在该零件上的应力s均为正态分均为正态分布。强度的均值

5、和标准差分别为布。强度的均值和标准差分别为r=180 Mpa，r 8 Mpa，应，应力的均值和标准差分别为力的均值和标准差分别为 s 150 Mpa，s 6 Mpa，试计算该，试计算该零件的可靠度和非失效保证度。零件的可靠度和非失效保证度。解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有解：由于应力和强度均服从正态分布，所以有则可靠度为则可靠度为现用干涉面积法估算零件的可靠度，现用干涉面积法估算零件的可靠度，因因s0=r0处有处有f(s0)=g(r0)所以有所以有解得解得s0=r0=163.5 MPa，因此求得，因此求得a1和和a2分别为分别为可靠度的上限可靠度的上限RU=0.9976比理论值高万分之

6、十一，同样，可靠度下限比理论值高万分之十一，同样，可靠度下限所以有所以有经验公式经验公式该式结果与理论值相比误差约为该式结果与理论值相比误差约为0.14%，可见，干涉面积法得出，可见，干涉面积法得出的零件可靠度近似值的零件可靠度近似值，精度还是比较高的。，精度还是比较高的。该例应力与强度均为正态分布，是为了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式的应力和强度的分布均适用该例应力与强度均为正态分布，是为了将近似值与理论值比较，该法对其他任何形式的应力和强度的分布均适用 强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件强度、应力和它们的干涉变量及其他许多随机事件往往需要用两个、三个或更多随机变量的函数

7、往往需要用两个、三个或更多随机变量的函数Z=f(x1,x2,xn)来描述。来描述。与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公与实数代数一样，随机变量也可以通过一系列公式进行代数运算。式进行代数运算。4.2 分布代数分布代数 当已知其中每一个随机变量当已知其中每一个随机变量xi(il，2，n)的均的均值值i和标准差和标准差i时，可以通过随机变量的代数运算来确时，可以通过随机变量的代数运算来确定函数定函数Z=f(xi)的均值的均值z和标准差和标准差z，从而运用联结方程，从而运用联结方程求得零件的可靠性系数和可靠度。求得零件的可靠性系数和可靠度。一、独立随机变量的加法一、独立随机变量的加法 若已知随

8、机变量若已知随机变量X的均值的均值X和标准差和标准差X，随机变量随机变量Y的均值的均值Y和标准差和标准差Y，可以推导出随机变量，可以推导出随机变量Z=X+Y的的均值均值Z和标准差和标准差Z二、独立随机变量的减法二、独立随机变量的减法同样可以推导出随机变量同样可以推导出随机变量Z=X-Y的均值的均值Z和标准差和标准差Z三、独立随机变量的乘法三、独立随机变量的乘法积数（积数（Z=XY)的均值的均值Z和标准差和标准差Z四、独立随机变量的除法四、独立随机变量的除法 有一含有有一含有n个随机变量的函数个随机变量的函数Z=f(x1,x2,xn)，如果，如果每一个随每一个随机变量的变异系数机变量的变异系数C

9、x=x/x0.1，以及这些随机变量，以及这些随机变量相互独立相互独立，且且都不起主要控制作用都不起主要控制作用，则有概率论的中心极限定理可知，这，则有概率论的中心极限定理可知，这个多维函数个多维函数Z=f(x1,x2,xn)能够满意地服从正态分布能够满意地服从正态分布。当已知其中每一个随机变量的均值当已知其中每一个随机变量的均值i及标准差及标准差i，则可以运用，则可以运用以上随机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量以上随机变量的代数运算公式，综合成为一个含单一随机变量的函数，即确定这个单一函数的均值的函数，即确定这个单一函数的均值z和标准差和标准差z。综合方法综合方法：先综合函数中两

10、个变量先综合函数中两个变量x1和和 x2，确定已合成的变，确定已合成的变量的均值和标准差，接着把上面已得到的合成变量与下一个变量的均值和标准差，接着把上面已得到的合成变量与下一个变量量x3综合起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所综合起来，求出合成的均值和标准差。依此类推，直到所有的变量都被综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标有的变量都被综合到单一的变量中去，即求出函数的均值和标准差。准差。例例4-2 今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(F,F)=F(80000,1200)N，拉杆直径拉杆直径d(d,d)=d(40,0.8)mm，拉杆长拉杆长 l(

11、l,l)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E(E,E)=E(21104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的，求在弹性变形范围内拉杆的伸长伸长。解：由胡克定理知，的伸长为解：由胡克定理知，的伸长为其中其中 设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，因此可根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。因此可根据正态随机变量代数运算公式，对已知参数逐一合成。1）求拉杆的截面面积）求拉杆的截面面积A(A,A)因此因此 A(A,A)=A(1256,50.24)mm22）令）令G=Fl求变量求变量G的均值的均值

12、G和标准差和标准差G3）令）令H=AE,求变量求变量H的均值的均值H和标准差和标准差H4）计算拉杆伸长）计算拉杆伸长 的均值的均值和标准差和标准差即拉杆伸长即拉杆伸长 (,)=(1.83,0.084)mm 因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可因为正态分布有一重要特性，即数据偏离三倍标准差的可能性很小能性很小(概率为概率为0.27%)，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中，几乎可以忽略，所以在可靠性设计中一般可假设公差一般可假设公差=3(为标准差为标准差)，即，即故拉杆伸长为故拉杆伸长为 若随机变量若随机变量Y的函数比较复杂，计算的函数比较复杂，计算Y的数学期望的数学期望E(Y)和方差

13、和方差D(Y)可能很困难，往往不能简单地运用它们可能很困难，往往不能简单地运用它们的定义，把函数代入积分公式而得出结果。的定义，把函数代入积分公式而得出结果。对于一个多维随机变量对于一个多维随机变量Y=f(x1,x2,xn)，用分布代，用分布代数的方法，经多次综合求解函数的均值和方差，计算量数的方法，经多次综合求解函数的均值和方差，计算量很大，比较麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得很大，比较麻烦，这时可将函数展开成泰勒级数，求得近似解。近似解。4.3一次二阶矩法一次二阶矩法泰勒级数近似求解法泰勒级数近似求解法 当应力当应力s和强度和强度r均服从正态分布且相互独立时，根均服从正态分布且相互独

14、立时，根据联结方程可方便地求得可靠度系数据联结方程可方便地求得可靠度系数，进而求得可靠进而求得可靠度度R(t)；但当应力但当应力s和强度和强度r服从其它分布时，需要知道应力服从其它分布时，需要知道应力s和强和强度度r或干涉变量或干涉变量Y进行积分。进行积分。目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强目前许多工程实际中尚缺乏足够的资料来确定应力和强度的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的度的分布，且积分的计算也十分繁杂，当应力和强度的分布未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶分布未知，仅有足够的资料来确定它们的一阶矩和二阶矩矩（均值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠（均

15、值和方差）时，可以采用一次二阶矩法来求可靠性指标性指标4.3一次二阶矩法一次二阶矩法泰勒级数近似求解法泰勒级数近似求解法一维随机变量函数的近似求解一维随机变量函数的近似求解设设y=f(x)在在x=（均值）处展开成一泰勒级数（均值）处展开成一泰勒级数若若D(x)很小很小例例4-3 已知一杆件已知一杆件r的均值的均值r=30mm，标准差，标准差r=1.5mm，求断面，求断面面积面积A的均值的均值A及标准差及标准差A。解：解：面积面积A=r2，则，则f(r)=2r，f”(r)=2，可得，可得 对于一个多维随机变量对于一个多维随机变量y=f(x1,x2,xn)，独立随机独立随机变量变量xi(il，2，

16、n)均值和标准差为均值和标准差为i和和i。多维随机变量函数的近似求解多维随机变量函数的近似求解若若D(xi)很小很小y的数学期望的数学期望y的方差的方差因此可靠度系数：因此可靠度系数：例例4-4 4-4 一次二阶矩方法求可靠度：一次二阶矩方法求可靠度：有一根有一根A3钢的圆形杆件，圆杆直径钢的圆形杆件，圆杆直径d的均值为的均值为d=30mm，标准差为，标准差为d=3mm，圆杆的屈服极限，圆杆的屈服极限r的均值的均值 r=290N/mm2，标准差，标准差 r=25N/mm2。当杆件承受轴向当杆件承受轴向拉力拉力 P=105N（考虑为常量），试求杆件的可靠性指数（考虑为常量），试求杆件的可靠性指数

17、和可靠度。和可靠度。解：以极限载荷表示的极限方程为解：以极限载荷表示的极限方程为函数函数Y Y的均值和标准差分别为的均值和标准差分别为例例4-44-4解：解：若假设为正态分布可靠度查表为：若假设为正态分布可靠度查表为：R=0.9906R=0.9906可靠性指数为：可靠性指数为：习题：一杆受拉力作用，若外力的均值习题：一杆受拉力作用，若外力的均值F=2104 N，标准差为，标准差为F=2000N，断面面积均值，断面面积均值 A=1000mm2，标准差标准差 A=80mm2。求应力求应力s的均值的均值s和标准差和标准差s。（用矩法）（用矩法）蒙待卡洛模拟法是通过随机变量的统计试验或蒙待卡洛模拟法是

18、通过随机变量的统计试验或随机模拟，求解数学、物理和工程技术问题近似随机模拟，求解数学、物理和工程技术问题近似解的数值方法，因此也称为统计试验法或随机模解的数值方法，因此也称为统计试验法或随机模拟法。拟法。蒙特卡洛模拟法是用法国和意大利接境的一个蒙特卡洛模拟法是用法国和意大利接境的一个著名赌城蒙特著名赌城蒙特 卡洛卡洛(Monte Carlo)命名的。该方法命名的。该方法开始应用于开始应用于40年代，集中研究年代，集中研究 是在是在50年代。由于年代。由于科学技术的发展，出现了许多复杂的问题，用传科学技术的发展，出现了许多复杂的问题，用传统的数学方法或物理试验进行处理有时难以解决，统的数学方法或

19、物理试验进行处理有时难以解决，用蒙特卡洛方用蒙特卡洛方 法则可有效地解决问题。法则可有效地解决问题。4.4 蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法一、基本原理一、基本原理 蒙特卡洛模拟的理论基础来自概率论中的两蒙特卡洛模拟的理论基础来自概率论中的两个基本定理。个基本定理。大数定理大数定理：设：设x1，x2，xn，是，是n个独立的随机变个独立的随机变量，若它们来量，若它们来 自同一母体，有相同的分布，且具有相自同一母体，有相同的分布，且具有相同的有限的均值和方差，分同的有限的均值和方差，分 别用别用和和2 表示，则对于任表示，则对于任意意0有有:伯努利定理伯努利定理：若随机事件：若随机事件A发生的概率

20、为发生的概率为P(A)，在，在n次独立次独立 试验中，事件试验中，事件A发生的频数为发生的频数为m，频率为，频率为W(A)mn，则对于，则对于 任意任意 0有有:蒙特卡洛法从同一母体中抽出简单子样来做抽样蒙特卡洛法从同一母体中抽出简单子样来做抽样试验，由上两式知，当试验，由上两式知，当n足够大时，频率足够大时，频率mn 以概率以概率1收敛于收敛于P(A)。因此从理论上讲，这种方法。因此从理论上讲，这种方法 的应用范围的应用范围几乎没有什么限制。几乎没有什么限制。当用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，可当用蒙特卡洛法求解某一事件发生的概率时，可以通过抽样试验的办法得到该事件出现的频率，作为问以

21、通过抽样试验的办法得到该事件出现的频率，作为问题的解。在应用蒙特卡洛方法时，需要进行大量的统计题的解。在应用蒙特卡洛方法时，需要进行大量的统计试验，譬如说试验，譬如说1000次，由次，由 人工进行如此之多的试验会人工进行如此之多的试验会有很多困难，但高速电子计算机的发有很多困难，但高速电子计算机的发 展，为蒙持卡洛展，为蒙持卡洛模拟提供了强大的工具，使该方法得以用于工程实践。模拟提供了强大的工具，使该方法得以用于工程实践。即便是应用计算机，如何在不影响结果精度的前提下，即便是应用计算机，如何在不影响结果精度的前提下，减少减少 计算时间，仍是应用蒙特卡洛法中的重要研究课计算时间，仍是应用蒙特卡洛

22、法中的重要研究课题。题。(a)根据提出的问题确定各变量之间的确定性函数关系。根据提出的问题确定各变量之间的确定性函数关系。(b)根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征些特征(例如概率、均值和方差等例如概率、均值和方差等)。(c)根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀通常先产生均匀 分布的随机

23、数，然后生成服从某一分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数。分布的随机数。二、蒙特卡洛模拟求解步骤二、蒙特卡洛模拟求解步骤:(d)根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行随和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行随机抽样。这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、机抽样。这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等。相关抽样、重要抽样等。(e)按所建立的模型进行仿真计算，求出问题的一个随按所建立的模型进行仿真计算，求出问题的一个随机解。机解。(f)统计分折模拟试验结果，给出问题的概率解以及解统

24、计分折模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。的精度估计。在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛方法可以确定在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛方法可以确定复杂随机复杂随机 变量的概率分布和数字特征；可以通过随变量的概率分布和数字特征；可以通过随机模拟估计系统和零件机模拟估计系统和零件 的可靠度；也可以模拟随机的可靠度；也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。过程、寻求系统最优参数等。二、蒙特卡洛模拟求解步骤二、蒙特卡洛模拟求解步骤:分布名称分布名称 密度函数密度函数f(x)或或f(t)或或 0，1均匀分布均匀分布 1 均匀分布均匀分布 指数分布指数分布 标准正态分布标准正态分布 正态分布正态分

25、布 是标准正态分布抽样是标准正态分布抽样 对数正态分布对数正态分布 常见分布函数随机变量的随机抽样公式常见分布函数随机变量的随机抽样公式例例4-54-5某铝合金板的形状如图所示。受弯矩作用，其某铝合金板的形状如图所示。受弯矩作用，其尺寸尺寸H、h、均服从正态分布，分布参数为：均服从正态分布，分布参数为：试确定理论应力集中系数试确定理论应力集中系数 的分布类型及分的分布类型及分布参数。布参数。MM受弯矩作用的铝合金板受弯矩作用的铝合金板三、蒙特卡洛模拟算例三、蒙特卡洛模拟算例蒙蒙特特卡卡洛洛模模拟拟算算例例的的程程序序框框图图开始开始输入输入H、h、分布的类型及参数分布的类型及参数;Nj=1分别

26、从分别从H、h和和的分布中产生随机数的分布中产生随机数Hf,hf,f 计算计算 的随机数的随机数j j=N进行分布类型判断、估计分布参数进行分布类型判断、估计分布参数输出输出 的分布类型和分布参数的分布类型和分布参数结束结束j=j+1解：理论应立集中系数解：理论应立集中系数的计算公式为的计算公式为蒙特卡洛模拟算例蒙特卡洛模拟算例由于由于H、h、均服从正态分布，所以根据正态分布均服从正态分布，所以根据正态分布的抽样公式以及的抽样公式以及 的计算公式编制计算机程序，上的计算公式编制计算机程序，上机运行。输入参数为：机运行。输入参数为：模拟次数模拟次数N=1000=1000。输出结果为：输出结果为：

27、服从正态分布，服从正态分布，均值为：均值为：标准差：标准差：即：即：蒙特卡洛模拟算例蒙特卡洛模拟算例用蒙特卡洛仿真计算用蒙特卡洛仿真计算应力和强度为任意分应力和强度为任意分布时的可靠度布时的可靠度 任意分布的应力任意分布的应力强度强度模型都可以用蒙特卡洛模型都可以用蒙特卡洛模拟法求可靠度的近似模拟法求可靠度的近似值，结果的精度随模拟值，结果的精度随模拟的次数的增多而增高。的次数的增多而增高。模拟程序的流程图如右模拟程序的流程图如右图所示。图所示。开始开始输入应力和强度分布类型和输入应力和强度分布类型和参数，模拟次数参数，模拟次数N,置置j=1对应力和强度各产生对应力和强度各产生一个随机数一个随

28、机数xsj和和xSj比较比较xsj和和xSj并记下并记下xsjxSj的次数的次数N1j=N?输出输出R=N1/N结束结束j=j+1close all;clear all;clc;nsample=10000;mu_YL=400;sig_YL=25;y_YL=normrnd(mu_YL,sig_YL,nsample 1);mu_QD=500;sig_QD=50;y_QD=normrnd(mu_QD,sig_QD,nsample 1);n_OK=0;for j=1:nsample x_YL=y_YL(j);if y_YL(j)y_QD(j);n_OK=n_OK+1;endendy_YLmuhat,y

29、_YLsigmahat,muci,sigmaci=normfit(y_YL);y_QDmuhat,y_QDsigmahat,muci2,sigmaci2=normfit(y_QD);R1=n_OK/nsample例例31 已知某机器零件的应已知某机器零件的应力力s和强度和强度S均为正态分布。其均为正态分布。其分布参数分别为分布参数分别为s 362 Mpa，s 39 Mpa，r=500 Mpa，r 25 Mpa。试计算零件。试计算零件的可靠度。的可靠度。解：例例4-64-6用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：零件的可靠度：解析解零件的可靠度：解析解 R0.9984蒙特卡洛方法

30、蒙特卡洛方法:N=10000时，时，R0.9986Normal Vs Normal 已知应力为对数正态分布，应力已知应力为对数正态分布，应力s 1n(6.205，0.0998)Mpa，强度为正态分布，强度为正态分布，rN(600，60)Mpa。按图按图18-10编制计算机程序，模拟次数编制计算机程序，模拟次数10000。上机计。上机计算运行结果为及算运行结果为及0.894。解：例例4-74-7用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：LogNormal Vs.Normal 已知应力为指数分布，应力已知应力为指数分布，应力s 151.0 Mpa，强度为正，强度为正态分布，态分布，r

31、N(600，60)Mpa。用蒙特卡洛法求可靠度。用蒙特卡洛法求可靠度。模拟次数模拟次数10000。上机计算结果为。上机计算结果为0.9399解：例例4-84-8用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：Exp Vs Normal 已知应力为对数正态分布，应力已知应力为对数正态分布，应力s ln(6.2046，0.2699)，强度为对数正态分布，强度为对数正态分布，r ln(6.2046，0.2299)。用蒙特。用蒙特卡洛法求可靠度。卡洛法求可靠度。模拟次数模拟次数10000。上机计算结果为。上机计算结果为0.9225解：例例4-94-9用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方

32、法求可靠度：LogNormal Vs.LogNormal 已知应力为已知应力为Weibull分布，应力分布，应力s w(0.001，1.25)，强度为正态分布，强度为正态分布，rN(500，150)。用蒙特卡洛法求。用蒙特卡洛法求可靠度。可靠度。模拟次数模拟次数10000。上机计算结果为。上机计算结果为0.8718。解：例例4-104-10用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：用蒙特卡洛仿真方法求可靠度：Weibull Vs Normal对于这样一些复杂的多元函数的统计特征，特别是标准差，即对于这样一些复杂的多元函数的统计特征，特别是标准差，即使采用前面所介绍的多维随机变量函数均值及标准差的近似解使采用

33、前面所介绍的多维随机变量函数均值及标准差的近似解法，也相当繁琐，容易出错。法，也相当繁琐，容易出错。利用变差系数，则可使这些函数由其多个随机变量的乘除关系，利用变差系数，则可使这些函数由其多个随机变量的乘除关系，转化为变差系数间的相加的简单关系，使计算多维随机变量函转化为变差系数间的相加的简单关系，使计算多维随机变量函数均值及标准差的过程显著简化。数均值及标准差的过程显著简化。4.5 4.5 变差系数传递规律变差系数传递规律定义：概率分布变量定义：概率分布变量x的变异系数为：的变异系数为：在机械设计中，许多计算公式常常包含多个随机变量，而这在机械设计中，许多计算公式常常包含多个随机变量，而这些

34、随机变量又常为乘除关系，有些还是非线性的。些随机变量又常为乘除关系，有些还是非线性的。1、变量为乘积关系的函数的变差系数、变量为乘积关系的函数的变差系数(1)二元函数二元函数 z=xy当当x、y为相互独立的随机变量时，其标准差为为相互独立的随机变量时，其标准差为从而得从而得z的变差系数为的变差系数为(2)多变量函数多变量函数z=x1x2xn其标准差为其标准差为故有故有注意：不论变量之间是相乘或相除，其函数变差系数注意：不论变量之间是相乘或相除，其函数变差系数C的计算式的计算式是相同的。因此对于以任何形式组成的变量函数，其变差系数是相同的。因此对于以任何形式组成的变量函数，其变差系数的计算要比其

35、标准差的计算简单得多。的计算要比其标准差的计算简单得多。(3)以乘除关系的任何形式组成的多变量函数以乘除关系的任何形式组成的多变量函数其变差系数均为其变差系数均为或或或或即即2.幂函数的变差系数幂函数的变差系数（1）幂函数）幂函数(4)则有则有(2)则有则有a=1/n(3)则有则有a=-1例例4-2 今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷今有一受拉伸载荷的杆件，已知载荷F(F,F)=F(80000,1200)N，拉杆直径拉杆直径d(d,d)=d(40,0.8)mm，拉杆长拉杆长 l(l,l)=l(6000,60)mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E(E,E)=E(21104,3150)Mpa，求在弹性变形范围内拉杆的，求在弹性变形范围内拉杆的伸长伸长。解：由胡克定理知，的伸长为解：由胡克定理知，的伸长为其中其中 设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，设以上各参数均为相互独立、服从正态分布的随机变量，谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH