48导数在经济中的应用ngs.pptx

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1、一、函数变化率一、函数变化率-边际函数边际函数二、成本二、成本三、收益三、收益四、函数的相关变化率四、函数的相关变化率-函数的弹性函数的弹性4.8 变化率及相对变化率在经济中的应用变化率及相对变化率在经济中的应用-边际分析与弹性分析介绍边际分析与弹性分析介绍1、边际函数、边际函数 设函数设函数 可导，导函数可导，导函数 也称也称为为边际函数边际函数。称为称为 在在内的平均变化率，它表示在内的平均变化率，它表示在 内内 的平均变化速度。的平均变化速度。在点在点 处的导数处的导数 称为称为 在点在点 处的变化率，也称为处的变化率，也称为 在点在点 处的处的边际函数值。它表示边际函数值。它表示 在点

2、在点 处的变化速处的变化速度。度。在点在点 处，处，从从 改变一个单位，改变一个单位，相应相应改变的真值应为改变的真值应为 。但当。但当x改变的改变的“单位单位”很小时，或很小时，或 x 的的“一个单位一个单位”与与值相对来比很小时，则有值相对来比很小时，则有 当当 时，标志着时，标志着 由由 减少一个单位减少一个单位 这说明这说明 在点在点 处，当处，当 产生一个产生一个单位的改变时，单位的改变时，近似改变近似改变 个单位。在个单位。在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去们略去“近似近似”二字二字 例例1函数函数 ，在点，在点 处的边处的边际函数

3、值际函数值 ，它表示当，它表示当 时时,改变一个单位，改变一个单位，（近似）改变（近似）改变20个单位。个单位。例例2 设某产品成本函数设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成为总成本，本，Q为产量），其变化率为产量），其变化率 称为边称为边际成本。际成本。称为当产量达到称为当产量达到 时的边际时的边际成本成本。西方经济学家对它的解释是：当产量西方经济学家对它的解释是：当产量达到达到 时，生产时，生产 前最后一个单位产品前最后一个单位产品所增添的成本。所增添的成本。2、成本、成本 某产品的总成本是指生产一定数量的产品某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳力、原料、设所需的

4、全部经济资源投入（劳力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定成本与备等）的价格或费用总额。它由固定成本与可变成本组成。可变成本组成。平均成本是生产一定量产品，平均每单平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。位产品的成本。边际成本是总成本的变化率，即总成本函边际成本是总成本的变化率，即总成本函数的导数数的导数 设设 C为总成本为总成本,为固定成本为固定成本,为可变为可变成本，成本，为平均成本，为平均成本，为边际成本，为边际成本，Q为产为产量，则有量，则有总成本函数总成本函数 平均成本函数平均成本函数边际成本函数边际成本函数例例1 已知某产品的成本函数为已知某产品的成本函数为 求：当求

5、：当Q=10时的总成本、平均成本及边际时的总成本、平均成本及边际成本。成本。例例2 例例1中的商品，当产量中的商品，当产量Q为多少时，为多少时，平均成本最小？平均成本最小？3、收益、收益 总收益是生产者出售一定量产品所得到的总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入。全部收入。平均收益是生产者出售一定量的产品，平平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售价。价。边际收益为总收益的变化率。边际收益为总收益的变化率。总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数 设设P为商品价格，为商品价

6、格，Q为商品量，为商品量，R为总收益，为总收益，为边际收益。则有为边际收益。则有需求函数需求函数 P=P(Q)总收益函数总收益函数 R=R(Q)平均收益函数平均收益函数边际收益函数边际收益函数需求与收益的关系有：需求与收益的关系有：总收益与平均收益总收益与平均收益 的关系为的关系为：总收益与边际收益的关系为：总收益与边际收益的关系为：例例1 设某产品的价格与销售量的关系为设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q/5，求销售量为，求销售量为30时的总收益、平均时的总收益、平均收益与边际收益。收益与边际收益。下面讨论最大利润原则：下面讨论最大利润原则：设总利润为设总利润为L，则，则 L=L(Q)

7、=R(Q)-C(Q)L(Q)取得最大值的必要条件为：取得最大值的必要条件为：，即即 于是可取得最大利润的必要条件是：边际收于是可取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。益等于边际成本。L(Q)取得最大值的充分条件为：取得最大值的充分条件为：即即 于是可取得最大利润的充分条件是：边际于是可取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。收益的变化率小于边际成本的变化率。例例2 已知某产品的需求函数为已知某产品的需求函数为P=10-Q/5，成本函数为成本函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利润求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最大利润原则。最大？并验证是否符合最大

8、利润原则。例例3 某工厂生产某产品，固定成本为某工厂生产某产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加元，每生产一单位产品，成本增加100元。元。已知总收益已知总收益R是年产量是年产量Q的函数的函数 问每年生产多少产品时，总利润最大？此时问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？总利润是多少？4、函数的相关变化率、函数的相关变化率-函数的弹函数的弹性性 前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此是不够的。是不够的。比如，商品比如，商品a每单

9、位价格每单位价格10元，涨价元，涨价1元；商品元；商品b每单位价格是每单位价格是1000元，也涨价元，也涨价1元，两种商品价格元，两种商品价格的绝对改变量都是的绝对改变量都是1元，但各自与其原价相比，两者元，但各自与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了涨了10%，而，而商品商品b涨了涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对改变。因此有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。量与相对变化率。从从 到到 两点间的相对变化两点间的相对变化 定义定义4.5 设函数设函数 在点在点 处可导，处可导，函数的相对改变量函数的相对改变量 ，与自，与自变量的相对改变

10、量变量的相对改变量 之比之比 ，称为函数，称为函数 率，或称为两点间的弹性。率，或称为两点间的弹性。当当 时，时，的极限称为的极限称为 在在 处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。即即 =记作记作 ，或，或对一般的对一般的x，若，若f(x)可导，则有可导，则有是是x的函数，称为的函数，称为f(x)的弹性函数。的弹性函数。函数函数f(x)在点在点x的弹性的弹性 反映随反映随x的变化的变化f(x)变化幅度的大小，也就是变化幅度的大小，也就是f(x)对对x变化反应的强变化反应的强烈程度或灵敏度。烈程度或灵敏度。表示在点表示在点 处，当处，当x产生产生1%

11、的改变时，的改变时，f(x)近似改变近似改变%。在应用问题中解释弹性的。在应用问题中解释弹性的具体意义时，我们也略去具体意义时，我们也略去“近似近似”二字。二字。注意：注意：两点间的弹性是有方向性的，因为两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性相对性”是对初始值而言的。是对初始值而言的。例例1 求函数求函数 在在 处的弹性。处的弹性。例例2 求函数求函数 的弹性函数的弹性函数 及及例例3 求幂函数求幂函数 （为常数）的弹性函数。为常数）的弹性函数。（该函数称为不变弹性函数）（该函数称为不变弹性函数）5、需求函数与供给函数、需求函数与供给函数 “需求需求”指在一定价格条件下，消费者愿意购买指在一定

12、价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。并且有支付能力购买的商品量。消费者对某种商品的需求是多种因素决定的消费者对某种商品的需求是多种因素决定的,商品商品的价格是影响需求的一个主要因素的价格是影响需求的一个主要因素,但还有许多其他因但还有许多其他因素素,如消费者收入的增减如消费者收入的增减,其它代用品的价格等都会影其它代用品的价格等都会影响需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素（把其响需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素（把其它因素对需求的影响看作不变的），只研究需求与价它因素对需求的影响看作不变的），只研究需求与价格的关系。格的关系。（1）需求函数需求函数设设P表示商品价格，

13、表示商品价格，Q表示需求量，那么有表示需求量，那么有Q=f(P)(P为自变量，为自变量，Q为因变量为因变量)称为需求函称为需求函数数 一般说来，商品价格低，需求大；商品价高，一般说来，商品价格低，需求大；商品价高，需求小。因此需求函数需求小。因此需求函数Q=f(P)是单调减少函数。是单调减少函数。因因Q=f(P)单调减少，所以有反函数单调减少，所以有反函数，也称为需求函数。，也称为需求函数。用用D来表示需求曲线来表示需求曲线 需求函数需求函数 的的 边际函数边际函数 称为边际需求。称为边际需求。例例 若已知需求函数为若已知需求函数为则边际需求函数为则边际需求函数为 当当P=4时，时，称为称为P

14、=4时的边际需求，它时的边际需求，它的经济含义表示：当价格的经济含义表示：当价格P=4时，价格上涨（或下跌）时，价格上涨（或下跌）1个单位时，需求将减少（或增加）个单位时，需求将减少（或增加）4个单位。个单位。（2）供给函数）供给函数 “供给供给”指在一定条价格条件下，生产者愿意出指在一定条价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。售并且有可供出售的商品量。供给也是由多种因素决定的，这里略去价格以外供给也是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系。的其它因素，只讨论供给与价格的关系。设设P表示商品价格表示商品价格,Q表示供给量表示供给量,那么有那么有(P为自

15、变量为自变量,Q为因变量为因变量)称为供给函称为供给函数数.一般说来一般说来,商品价格低，生产者不愿意生产，供给商品价格低，生产者不愿意生产，供给少；商品价格高，供给多。因此一般供给函数为单调少；商品价格高，供给多。因此一般供给函数为单调增加函数。所以有反函数增加函数。所以有反函数 ，也称为供给函，也称为供给函数。数。（1）均衡价格）均衡价格 均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，此时需求量与供给量称为均衡商品量。格，此时需求量与供给量称为均衡商品量。当当 时，此时消费者购买的商品量会大时，此时消费者购买的商品量会大于生产者愿意出卖的商品量，市场上

16、出现于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供不应求供不应求”，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况，这种状况，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况，这种状况不会持久，必然导致价格上涨。不会持久，必然导致价格上涨。当当 时，此时消费者购买的商品量会小时，此时消费者购买的商品量会小于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供过于供过于求求”，商品滞销。这种状况不会持久，必然导致价，商品滞销。这种状况不会持久，必然导致价格下跌。格下跌。总之，市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动。总之，市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动。6、需求弹性与供给弹性、需求弹性与供给弹性 定义定义4.6

17、 某商品需求函数某商品需求函数 在在 处处可导，可导，称为该商品在称为该商品在 与与两点间的需求弹性。记作两点间的需求弹性。记作称为该商品在称为该商品在处的需求弹性。记作处的需求弹性。记作例例1 已知某商品需求函数已知某商品需求函数 ，求，求（1）从）从P=30到到P=20，50各点间的需求弹性；各点间的需求弹性；（2）P=30时的需求弹性，并指出其经济含义。时的需求弹性，并指出其经济含义。例例2 设某商品需求函数为设某商品需求函数为 ，求，求（1）需求弹性函数；）需求弹性函数；（2）P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并指出其时的需求弹性，并指出其经济含义。经济含义。定义定义4.7 某商品供

18、给函数某商品供给函数 在在处可导，处可导，称为该商品在称为该商品在 与与两点间的供给弹性。记作两点间的供给弹性。记作称为该商品在称为该商品在 处的供给弹性。记作处的供给弹性。记作7、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化总收益总收益R是商品价格是商品价格P与销售量与销售量Q的乘积，即的乘积，即 （1）若）若 ，需求变动的幅度小于价格变动的幅，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，度，此时，递增。即价格上涨，总收益增递增。即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。加；价格下跌，总收益减少。（2）若）若 ，需求变动的幅度大于价格变动的，需求

19、变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，幅度，此时，递减。即价格上涨，总收益递减。即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。减少；价格下跌，总收益增加。（3）若）若 ，需求变动的幅度等于价格变动的，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时幅度，此时 ，取得最大值。取得最大值。由上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随由上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化，其关系如下图所示商品需求弹性的变化而变化，其关系如下图所示例例 设某商品需求函数为设某商品需求函数为(1)求需求弹性函数求需求弹性函数;(2)求求P=6时的需求弹性时的需求弹性;(3)在在P=6时时,若价格上涨若价格上涨1%,总收益增加还是减少总收益增加还是减少?将变化百分之几将变化百分之几?(4)P为何值时为何值时,总收益最大总收益最大?最大的总收益是多少最大的总收益是多少?