2.4.2圆的一般方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

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1、2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程复复 习：习：1.圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (xa)2+(yb)2=r2 当圆心在原点时当圆心在原点时(a=b=0)，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2+y2=r2 2.由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a,b,r 三个参数，因此必须具备三个独立三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程圆的标准方程.3.注

2、意圆的平面几何知识的运用注意圆的平面几何知识的运用.思考思考 我们知道我们知道,方程方程(x-1)2+(y-2)2=4表示以表示以(1,-2)为圆心为圆心,2为半径的圆为半径的圆.可以将可以将此方程变形为此方程变形为x2+y2-2x+4y+1=0.一般地一般地,圆的标准方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (2)的形式的形式.反过来反过来,形如形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?例如例如,对于方程对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方对其进行配方,得得(x-

3、1)2+(y-2)2=-1,因为任意因为任意一个点的坐标一个点的坐标(x,y)都不满足这个方程都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形所以这个方程不表示任何图形.所以所以,形形如如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明这表明,形如形如(2)的方程的方程不一定是圆的方程不一定是圆的方程.将方程将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方的左边配方,并把常数项移到右边并把常数项移到右边,得得探究探究 方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的中的D,E,F满足什么条件时满足什么条件时,这个方程表示圆这个方程表示圆?因此因此,当当 时

4、时,方程方程表示一个圆表示一个圆,我们把方程我们把方程叫做叫做圆的一般方程圆的一般方程.注意：注意：任何一个圆的方程都可以写成：任何一个圆的方程都可以写成：圆的标准方程的特点在于它明确地指出了圆的标准方程的特点在于它明确地指出了圆心和半径圆心和半径.圆的一般方程突出了方程形式上的特点，是一个圆的一般方程突出了方程形式上的特点，是一个关于关于x,y的二元二次方程的二元二次方程,其特点是其特点是缺少缺少xy项项,x2,y2项的系数相等且不为零项的系数相等且不为零.思考思考 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?解：解：(1)圆心坐标为圆心坐标为(3,0),半

5、径长为半径长为3；(2)圆心坐标为圆心坐标为(0,-b),半径长为半径长为|b|；1.求下列各圆的圆心坐标和半径求下列各圆的圆心坐标和半径:课课本本P88解：解：(1)方程表示一个点方程表示一个点(0,0)；(2)方程表示圆心坐标为方程表示圆心坐标为(1,-2),半径长为半径长为1的圆；的圆；2.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由:课课本本P88解解1：(待定系数法待定系数法)设过设过O,M1,M2的圆方程为的圆方程为则则过过O,M1,M2的圆方程为的圆方程为例例4 求过三点求过三点 O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径

6、和圆心坐标的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.求圆的方程常用待定系数法求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤是其大致步骤是:(1)根据题意根据题意,选择选择标准方程标准方程或或一般方程一般方程;(2)根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程组的方程组;(3)解出解出a,b,r或或D,E,F,得到标准方程或一般方程得到标准方程或一般方程.解解2：(待定系数法待定系数法)设过设过O,M1,M2的圆方程为的圆方程为则则过过O,M1,M2的圆方程为的圆方程为解解3：例例4 求过三点求过三点 O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标的圆的方程及圆的半径和

7、圆心坐标.lxO(0,0)yM1(1,1)M2(4,2)l一般地，求圆的方程有两种方法：一般地，求圆的方程有两种方法：(1)待定系数法：待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程组，求系数的方程组，求系数.(2)几何分析法：几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解即利用平面几何中的有关性质求解.常用的性质是圆的常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心弦的垂直平分线必过圆心.圆的标准方程：圆的标准方程：圆的一般方程：圆的一般方程：利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或利用待定系数法求圆

8、的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程般方程.求圆的方程的方法：求圆的方程的方法：例例5 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.xOyAB(4,3)M134 注意：点注意：点M的轨迹的轨迹方程是方程是指点指点M的坐标的坐标(x,y)满满足的关系式足的关系式.轨迹轨迹是是指点在运动变化过程中形成指点在运动变化过程中形成的图形的图形.在解析几何

9、中在解析几何中,我们常常把我们常常把图形图形看作看作点点的轨迹的轨迹(集合集合).解解1：(相关点代入法相关点代入法)【教材教材89页页10】在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果点如果点P的坐标的坐标(x,y)满足满足 证明证明:点点P的轨迹是圆心为的轨迹是圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的圆.证证明：明：点点P的的轨轨迹是迹是圆圆心心为为(a,b),半径半径为为r的的圆圆.方程特征：方程特征：直接体现了圆上点的坐标直接体现了圆上点的坐标x,y的间接关系的间接关系,体现了变元体现了变元(改改变变量形式变变量形式)和换元思想和换元思想.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r 的圆的圆

10、的的参数方程参数方程为：为：圆的参数方程圆的参数方程 特别地特别地,圆心为圆心为(0,0),半径为半径为r 的圆的圆 的的参数方程参数方程为：为：例例5 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.xOyAB(4,3)M134解解2：(参数法参数法)设设 M(x,y),A(x0,y0).由中点坐标公式得点由中点坐标公式得点M的轨迹参数方程为：的轨迹参数方程为：消参数得消参数得点点 A 在圆在圆(x+1)2+y2=4上上,3.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,AB=6

11、,CD=3,且且AB/CD,AD=BC,AB与与CD间的距离间的距离为为3.求等腰梯形求等腰梯形ABCD的外接圆的方程的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径并求这个圆的圆心坐标和半径.ABDC-3xOy33课课本本P88【巩固训练巩固训练1】已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运上运动动,点点M在直线在直线AB上上,且满足且满足 求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.xOyAB(4,3)M134解：解：【巩固训练巩固训练2】已知已知ABC的边的边AB长为长为4，若，若BC边上的中线为定长边上的中线为定长3，求顶点，求顶点C的轨迹

12、方程的轨迹方程ABDC-2xOy2【巩固训练巩固训练3】若方程若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：表示圆，求：(1)实数实数m的取值范围；的取值范围；(2)圆心坐标和半径圆心坐标和半径【巩巩固固训训练练4】求求经经过过点点A(2,4)且且与与直直线线x3y260相相切切于于点点B(8,6)的的圆圆的方程的方程解解1：(1)x2 和和 y2 的系数相同且不为的系数相同且不为 0，即，即AC 0；(2)没有没有 xy 这样的二次项，即这样的二次项，即B=0；(3)D2+E2 4AF 0.表示圆表示圆二元二次方程二元二次方程思考思考 满足什么条件时，二元二次方程满足什么条件时，二元二次方程

13、表示圆表示圆.1.圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的标准方程标准方程为：为：方程特征：方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）.-几何特征几何特征.2.圆的圆的一般方程一般方程为：为：方程特征：方程特征：突出了圆方程形式上的特点突出了圆方程形式上的特点.3.圆心为圆心为(a，b)，半径为，半径为r 的圆的的圆的参数方程参数方程为：为：方方程特征：程特征：直接体现了圆上点的坐标直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系的间接关系.-代数特征代数特征.4.以以M(x1,y1)、N(x2,y2)为直径端点的圆的方程是为直径端点的圆的方程是:(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)=0小结：小结：