六年级数学下册 第八章 数据的收集与整理单元复习名师公开课省级获奖课件 鲁教版五四制.ppt

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1、第八章 单元复习课一、数据收集中的相关概念一、数据收集中的相关概念1.1.普查普查为了某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查为了某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查.2.2.抽样调查抽样调查在许多情况下在许多情况下,人们常常从总体中抽取部分个体进行调查人们常常从总体中抽取部分个体进行调查,这种这种调查叫做抽样调查调查叫做抽样调查.3.3.总体、个体、样本、样本容量总体、个体、样本、样本容量(1)(1)总体总体:所要考察对象的全体称为总体所要考察对象的全体称为总体.(2)(2)个体个体:组成总体的每一个考察对象称为个体组成总体的每一个考察对象称为个体.(3)(3)样本样

2、本:从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本.4.4.普查与抽样调查普查与抽样调查注注:普查与抽样调查是收集数据的两种方式普查与抽样调查是收集数据的两种方式,它们各有优缺点它们各有优缺点,在在调查时根据具体情况选择调查方式调查时根据具体情况选择调查方式.我们可以用样本的某种性质我们可以用样本的某种性质去估计总体的相应性质去估计总体的相应性质,但抽取的样本是否具有代表性但抽取的样本是否具有代表性,直接关直接关系到对总体估计的准确程度系到对总体估计的准确程度.5.5.组距组距:把所有数据分成若干组把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距每个小组的

3、两个端点之间的距离离(组内数据的取值范围组内数据的取值范围)称为组距称为组距.6.6.频数分布表频数分布表:利用频数分布表利用频数分布表,可以清楚地反映出一组数据中可以清楚地反映出一组数据中的每个数据出现的频数的每个数据出现的频数,从而反映这些数据的整体分布情况从而反映这些数据的整体分布情况.二、频数直方图二、频数直方图1.1.要全面地掌握一组数据要全面地掌握一组数据,必须分析这组数据中各个数据的分布必须分析这组数据中各个数据的分布情况情况.为了直观、形象地表示一组数据的分布情况为了直观、形象地表示一组数据的分布情况,可以以频数可以以频数分布表为基础分布表为基础,绘制频数直方图绘制频数直方图.

4、(1)(1)频数直方图是条形统计图的一种频数直方图是条形统计图的一种.(2)(2)直方图的结构直方图的结构:直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成.(3)(3)作直方图的步骤作直方图的步骤:作两根互相垂直的轴作两根互相垂直的轴:横轴和纵轴横轴和纵轴;在横轴上划分一些相互在横轴上划分一些相互衔接的线段衔接的线段,每条线段表示一组每条线段表示一组,在线段的左端点标明这组的下在线段的左端点标明这组的下限限,在最后一组的线段的右端点标明其上限在最后一组的线段的右端点标明其上限;在纵轴上划分刻在纵轴上划分刻度度,并用自然数标记并用自然数标记;以横轴上的每条线段为底各作一

5、矩形立以横轴上的每条线段为底各作一矩形立于横轴之上于横轴之上,使各矩形的高等于相应的频数使各矩形的高等于相应的频数.2.2.频数分布直方图与条形图的异同点频数分布直方图与条形图的异同点相同点相同点:(1):(1)横轴、纵轴表示的意义相同横轴、纵轴表示的意义相同;(2);(2)都是用矩形高表示都是用矩形高表示数据的个数数据的个数;(3);(3)都易于比较各组频数或数据之间的差别都易于比较各组频数或数据之间的差别.不同点不同点:(1):(1)频数分布直方图各矩形之间没有空隙频数分布直方图各矩形之间没有空隙,而条形图各矩而条形图各矩形之间可以有空隙形之间可以有空隙;(2);(2)频数分布直方图能够显

6、示频数分布情况频数分布直方图能够显示频数分布情况,而条形图只能显示每组中的具体数据而条形图只能显示每组中的具体数据;(3);(3)频数分布直方图一般频数分布直方图一般只描述一种统计对象只描述一种统计对象,而条形图有时可同时显示描述两个或多个而条形图有时可同时显示描述两个或多个统计对象统计对象(如复合条形图如复合条形图).).3.3.画频数分布直方图可按以下步骤画频数分布直方图可按以下步骤:(1)(1)计算最大值与最小值的差计算最大值与最小值的差;(2)(2)决定组距和组数决定组距和组数;(3)(3)列频数分布表列频数分布表;(4)(4)画频数直方图画频数直方图.注注:(1):(1)组距和组数的

7、确定没有固定标准组距和组数的确定没有固定标准,要凭借经验和所研究的要凭借经验和所研究的具体问题决定具体问题决定.一般数据越多一般数据越多,分的组数越多分的组数越多,当数据在当数据在100100个以个以内时内时,根据数据的多少通常分成根据数据的多少通常分成5 51212组组.组数是由最大值与最小组数是由最大值与最小值的差和组距决定的值的差和组距决定的,组数组数=但结果要进但结果要进1.1.(2)(2)决定分点的方法有三种决定分点的方法有三种:一是规定每组包含最小值但不包含最一是规定每组包含最小值但不包含最大值大值;二是规定每组包含最大值但不包含最小值二是规定每组包含最大值但不包含最小值;三是使分

8、点的数三是使分点的数据比原数据多一位小数据比原数据多一位小数,并把第一小组的起点稍微降低一点并把第一小组的起点稍微降低一点.三、扇形统计图及统计图的选择三、扇形统计图及统计图的选择1.1.扇形统计图是用整个圆的面积表示总数扇形统计图是用整个圆的面积表示总数,用圆内的扇形面积表用圆内的扇形面积表示各部分数量占总数的百分比以及部分与部分之间的关系的一示各部分数量占总数的百分比以及部分与部分之间的关系的一种统计图种统计图.扇形统计图可以清楚地表示各部分在总体中所占的百扇形统计图可以清楚地表示各部分在总体中所占的百分比分比(以及各部分之间的大小关系以及各部分之间的大小关系).).因此因此,当总数一定时

9、当总数一定时,一般用一般用扇形统计图来表示各部分间的数量关系扇形统计图来表示各部分间的数量关系.2.2.制作扇形统计图的一般步骤制作扇形统计图的一般步骤(1)(1)列出扇形统计图的标题以及数据来源列出扇形统计图的标题以及数据来源.(2)(2)计算各项目占总体的百分比计算各项目占总体的百分比,进而计算扇形的圆心角进而计算扇形的圆心角(扇形圆扇形圆心角的度数心角的度数=该部分的百分比该部分的百分比360),360),并画出扇形并画出扇形.(3)(3)标注清楚各项目的名称及百分比标注清楚各项目的名称及百分比.普查普查收收集集数数据据抽样调查抽样调查制表制表整整理理数数据据绘图绘图描描述述数数据据分分

10、析析数数据据得得出出结结论论条条形形图图扇扇形形图图折折线线图图直直方方图图 普查和抽样调查普查和抽样调查【相关链接相关链接】收集数据的方式有普查与抽样调查收集数据的方式有普查与抽样调查.1.1.普查可以直接得到较为全面的、可靠的信息普查可以直接得到较为全面的、可靠的信息,但有时受条件但有时受条件的限制的限制,不允许普查不允许普查.2.2.抽样调查时抽取的样本必须具有代表性和广泛性抽样调查时抽取的样本必须具有代表性和广泛性.【例例1 1】(2012(2012滨州中考滨州中考)以下问题以下问题,不适合用普查不适合用普查(全面调查全面调查)的是的是()(A)(A)了解全班同学每周体育锻炼的时间了解

11、全班同学每周体育锻炼的时间(B)(B)鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数(C)(C)学校招聘教师学校招聘教师,对应聘人员面试对应聘人员面试(D)(D)黄河三角洲中学调查全校黄河三角洲中学调查全校753753名学生的身高名学生的身高【教你解题教你解题】频数直方图和数据统计频数直方图和数据统计【相关链接相关链接】1.1.频数直方图频数直方图直观反映各组数据的数量大小直观反映各组数据的数量大小,为我们的统计分析提供了最直接为我们的统计分析提供了最直接的信息的信息.2.2.统计的思想是一种重要的数学思想统计的思想是一种重要的数学思想,通常会涉及一些数据分析通常会涉及一

12、些数据分析.用样本估计总体的思想就是统计思想用样本估计总体的思想就是统计思想.【例例2 2】(2011(2011自贡中考自贡中考)我市某校九年级我市某校九年级(1)(1)班学生参加毕业体班学生参加毕业体考的成绩统计如图所示考的成绩统计如图所示,请根据统计图中提供的信息完成后面的请根据统计图中提供的信息完成后面的填空题填空题(将答案填写在相应的横线上将答案填写在相应的横线上).).(1)(1)该班共有该班共有名学生名学生;(2)(2)若女生体考成绩在若女生体考成绩在3737分及其以上分及其以上,男生体考成绩在男生体考成绩在3838分及其以分及其以上被认定为体尖生上被认定为体尖生,则该班共有则该班

13、共有名体尖生名体尖生.【思路点拨思路点拨】计算各个频数之和计算各个频数之和总人数总人数分类统计计算分类统计计算【自主解答自主解答】(1)2+2+1+1+3+3+3+5+8+6+5+3+3+4+2+3+1+1=56.(1)2+2+1+1+3+3+3+5+8+6+5+3+3+4+2+3+1+1=56.(2)(2)女生体考成绩在女生体考成绩在3737分及其以上的人数有分及其以上的人数有5+3+2+1=11(5+3+2+1=11(人人),),男生男生体考成绩在体考成绩在3838分及其以上的人数有分及其以上的人数有:4+3+1=8(:4+3+1=8(人人),),所以所以11+8=19.11+8=19.答

14、案答案:(1)56 (1)56 (2)19(2)19 统计图的选择及综合应用统计图的选择及综合应用 【相关链接相关链接】为了合理地表示数据常常用到不同的统计图为了合理地表示数据常常用到不同的统计图,常用的统计常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图,扇形统计图能直扇形统计图能直观地反映出各部分所占总体的百分比大小观地反映出各部分所占总体的百分比大小,条形统计图能更好条形统计图能更好地表示出每个项目的具体数目地表示出每个项目的具体数目,折线统计图更善于表现事物的折线统计图更善于表现事物的变化情况变化情况,所以在实际中应根据不同的需要选择适当的统计图所

15、以在实际中应根据不同的需要选择适当的统计图.【例例3 3】(2012(2012嘉兴中考嘉兴中考)小敏为了解本市的空气质量情况小敏为了解本市的空气质量情况,从从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计计,绘制了如图所示的条形图和扇形图绘制了如图所示的条形图和扇形图(部分信息未给出部分信息未给出).).请你根据图中提供的信息请你根据图中提供的信息,解答下列问题解答下列问题:(1)(1)计算被抽取的天数计算被抽取的天数.(2)(2)请补全条形图请补全条形图,并求扇形图中表示优的扇形的圆心角度数并求扇形图中表示优的扇形的圆心角度数.

16、(3)(3)请估计该市这一年请估计该市这一年(365(365天天)达到优和良的总天数达到优和良的总天数.【思路点拨思路点拨】(1)(1)由条形图可知良的天数由条形图可知良的天数,扇形图可知它所占所扇形图可知它所占所抽取天数的百分比抽取天数的百分比,由部分与整体的关系可求出被抽取的天数由部分与整体的关系可求出被抽取的天数.(2)(2)求出轻微污染的天数及与被抽取的天数的比求出轻微污染的天数及与被抽取的天数的比.(3)(3)利用统计思想利用统计思想,用样本中优和良占被抽取的天数的百分比来用样本中优和良占被抽取的天数的百分比来估计该市一年达到优和良的总天数估计该市一年达到优和良的总天数.【自主解答自

17、主解答】(1)(1)因为扇形图中空气为良所占比例为因为扇形图中空气为良所占比例为64%,64%,条形条形图中空气为良的天数为图中空气为良的天数为3232天天,所以被抽取的总天数为所以被抽取的总天数为:3264%=50(:3264%=50(天天).).(2)(2)轻微污染天数是轻微污染天数是50-32-8-3-1-1=5(50-32-8-3-1-1=5(天天););表示优的圆心角度表示优的圆心角度数是数是 360=57.6,360=57.6,如图所示如图所示:(3)(3)因为样本中优和良的天数分别为因为样本中优和良的天数分别为:8,32,:8,32,所以一年所以一年(365(365天天)达到优和

18、良的总天数为达到优和良的总天数为:365=292(365=292(天天).).所以估计该市一年达到优和良的总天数为所以估计该市一年达到优和良的总天数为292292天天.【命题揭秘命题揭秘】结合近几年的中考试题分析结合近几年的中考试题分析,扇形统计图、折线统计图、扇形统计图、折线统计图、条形统计图等与统计有关的知识点在中考中的地位越来越高条形统计图等与统计有关的知识点在中考中的地位越来越高,题型主要以选择题、解答题为主题型主要以选择题、解答题为主,分值大约在分值大约在6 6分分8 8分左右分左右.1.1.某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭

19、经济状况进行调查调查.调查的结果是该社区共有调查的结果是该社区共有500500户户,高收入、中等收入和低收高收入、中等收入和低收入家庭分别有入家庭分别有125125户、户、280280户和户和9595户户.已知该市有已知该市有100100万户家庭万户家庭,下下列表述正确的是列表述正确的是()(A)(A)该市高收入家庭约该市高收入家庭约2525万户万户(B)(B)该市中等收入家庭约该市中等收入家庭约5656万户万户(C)(C)该市低收入家庭约该市低收入家庭约1919万户万户(D)(D)因城市社区家庭经济状况较好因城市社区家庭经济状况较好,所以不能据此数估计该城区所以不能据此数估计该城区所有家庭经

20、济状况所有家庭经济状况【解析解析】选选D.D.本题需要仔细审题本题需要仔细审题,前面三个选项很容易对考生造前面三个选项很容易对考生造成干扰成干扰.因城市社区家庭经济状况较好因城市社区家庭经济状况较好,抽取的样本不具有代表抽取的样本不具有代表性性,所以不能据此数据估计全市所有家庭经济状况所以不能据此数据估计全市所有家庭经济状况.如果将题干如果将题干中中“该市该市”改为改为“该市城区该市城区”,前面三个选项分别改为前面三个选项分别改为“该市城该市城区高收入家庭约区高收入家庭约2525万户万户”“”“该市城区中等收入家庭约该市城区中等收入家庭约5656万户万户”“该市城区低收入家庭约该市城区低收入家

21、庭约1919万户万户”,这种说法则是正确的这种说法则是正确的,故选故选D.D.2.2.下列调查中下列调查中,适合采用普查方式的是适合采用普查方式的是()(A)(A)对綦江河水质情况的调查对綦江河水质情况的调查(B)(B)对端午节期间市场上粽子质量情况的调查对端午节期间市场上粽子质量情况的调查(C)(C)对某班对某班5050名同学体重情况的调查名同学体重情况的调查(D)(D)对某类烟花爆竹燃放安全的调查对某类烟花爆竹燃放安全的调查【解析解析】选选C.A.C.A.对綦江河水质情况的调查应用抽样调查对綦江河水质情况的调查应用抽样调查,大概知大概知道水质情况就可以了道水质情况就可以了,故此选项错误故此

22、选项错误;B.B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查适用抽样调查对端午节期间市场上粽子质量情况的调查适用抽样调查,利用利用全面调查能造成浪费全面调查能造成浪费,也影响出售也影响出售,故此选项错误故此选项错误;C.C.对某班对某班5050名同学体重情况的调查适用全面调查名同学体重情况的调查适用全面调查,人数不多人数不多,全全面调查准确面调查准确,故此选项正确故此选项正确;D.D.对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查适用抽样调查对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查适用抽样调查,利用全面利用全面调查调查,破坏性极大破坏性极大,故此选项错误故此选项错误.3.(20123.(2012湖州中考湖州中考)如图是七

23、年级如图是七年级(1)(1)班参加课外兴趣小组人数班参加课外兴趣小组人数的扇形图的扇形图,则表示唱歌兴趣小组人数的圆心角度数是则表示唱歌兴趣小组人数的圆心角度数是()(A)36(A)36(B)72(B)72(C)108(C)108(D)180(D)180【解析解析】选选B.B.扇形图的圆心角度数为扇形图的圆心角度数为360,360,各兴趣小组圆心角各兴趣小组圆心角度数所占百分比的和是度数所占百分比的和是1,1,所以唱歌兴趣小组人数的圆心角度数所以唱歌兴趣小组人数的圆心角度数是是360(1-50%-30%)=72.360(1-50%-30%)=72.4.(20114.(2011青岛中考青岛中考)

24、生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量量,设计了如下方案设计了如下方案:先捕捉先捕捉100100只雀鸟只雀鸟,给它们做上标记后放回给它们做上标记后放回山林山林;一段时间后一段时间后,再从中随机捕捉再从中随机捕捉500500只只,其中有标记的雀鸟有其中有标记的雀鸟有5 5只只.请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为_只只.【解析解析】100 =10 000(100 =10 000(只只).).答案答案:10 00010 0005.5.图图,是李晓同学根据所在学校三个年级男女生人数画出的是李晓同学根据所在学校三个

25、年级男女生人数画出的两幅条形图两幅条形图.图图能更好地反映学校每个年级学生的总人能更好地反映学校每个年级学生的总人数数;图图能更好地比较每个年级的男女生人数能更好地比较每个年级的男女生人数.【解析解析】图图能更好地反映学校每个年级的男女生人数之和能更好地反映学校每个年级的男女生人数之和;图图能更好地比较每个年级的男女生的人数能更好地比较每个年级的男女生的人数.答案答案:6.(20126.(2012益阳中考益阳中考)某市每年都要举办中小学某市每年都要举办中小学“三独三独”比赛比赛(包包括独唱、独舞、独奏三个类别括独唱、独舞、独奏三个类别),),如图是该市如图是该市20122012年参加年参加“三

26、独三独”比赛的不完整的参赛人数统计图比赛的不完整的参赛人数统计图.(1)(1)该市参加该市参加“三独三独”比赛的总人数是比赛的总人数是人人,图中独唱所图中独唱所在扇形的圆心角的度数是在扇形的圆心角的度数是度度,并把条形图补充完整并把条形图补充完整;(2)(2)从这次参赛选手中随机抽取从这次参赛选手中随机抽取2020人调查人调查,其中有其中有9 9人获奖人获奖,请你请你估算今年全市约有多少人获奖估算今年全市约有多少人获奖?【解析解析】(1)400,180;(1)400,180;(2)(2)估算今年全市获奖人数约有估算今年全市获奖人数约有400 =180(400 =180(人人).).7.(201

27、17.(2011宁夏中考宁夏中考)我市某中学九年级学生对市民我市某中学九年级学生对市民“创建精神创建精神文明城市文明城市”知晓率采取随机抽样的方法进行问卷调查知晓率采取随机抽样的方法进行问卷调查,问卷调查问卷调查的结果划分为的结果划分为“非常了解非常了解”“”“比较了解比较了解”“”“基本了解基本了解”“”“不太不太了解了解”“”“从未听说从未听说”五个等级五个等级,统计后的数据整理如下表统计后的数据整理如下表:(1)(1)本次问卷调查抽取的样本容量为本次问卷调查抽取的样本容量为,表中表中m m的值为的值为;(2)(2)根据表中的数据计算等级为根据表中的数据计算等级为“非常了解非常了解”的频数

28、在扇形统计的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数图中所对应扇形的圆心角的度数;(3)(3)根据上述统计结果根据上述统计结果,请你对政府相关部门提出一句话建议请你对政府相关部门提出一句话建议.【解析解析】(1)400.2=200,m=60200=0.3.(1)400.2=200,m=60200=0.3.(2)(2)圆心角的度数是圆心角的度数是:3600.2=72.:3600.2=72.(3)(3)对市民对市民“创建精神文明城市创建精神文明城市”应该加大宣传力度应该加大宣传力度.8.8.为了丰富校园文化生活为了丰富校园文化生活,某校计划在午间校园广播台播放某校计划在午间校园广播台播放“百百家

29、讲坛家讲坛”的部分内容的部分内容.为了了解学生的喜好为了了解学生的喜好,抽取若干名学生进抽取若干名学生进行问卷调查行问卷调查(每人只选一项内容每人只选一项内容),),整理调查结果整理调查结果,绘制统计图如绘制统计图如下下:请根据统计图提供的信息回答以下问题请根据统计图提供的信息回答以下问题:(1)(1)抽取的学生数为抽取的学生数为名名;(2)(2)该校有该校有3 0003 000名学生名学生,估计喜欢收听易中天估计喜欢收听易中天品三国品三国的学生的学生有有名名;(3)(3)估计该校女学生喜欢收听刘心武评估计该校女学生喜欢收听刘心武评红楼梦红楼梦的约占全校学的约占全校学生的生的%;%;(4)(4

30、)你认为上述估计合理吗你认为上述估计合理吗?理由是什么理由是什么?【解析解析】(1)300;(1)300;(2)1 060;(2)1 060;(3)15;(3)15;(4)(4)合理合理.理由略理由略(理由中体现用样本估计总体即可理由中体现用样本估计总体即可)1、了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多2023/3/72023/3/76:17:46 AM。2023/3/72023/3/7Tuesday,March 7,20232、一般的伟人总是让身边的人感到渺小Tuesday,March 7,20236:17:46 AM3/7/2023 6:17:46 AM06:17Mar-23。2023/3/

31、72023/3/72023/3/73/7/2023 6:17:46 AM3、2023/3/7Mar-2307-Mar-234、昨天是张退票的支票07-Mar-236:17:46 AM06:172023/3/72023/3/72023/3/7Tuesday,March 7,20235、积极人格的完善是本，财富的确立是末07-3月-23。2023/3/72023/3/72023/3/72023/3/73/7/20236、昨晚多几分钟的准备3/7/2023 6:17:46 AM07 三月 20232023/3/72023/3/72023/3/77、每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐2023/3/7三月

32、 232023/3/72023/3/72023/3/73/7/20238、业余生活要有意义，不要越轨。2023/3/72023/3/707 March 20239、要及时把握梦想，因为梦想一死3/7/2023 6:17:46 AM。2023/3/72023/3/72023/3/72023/3/710、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。3/7/2023 6:17:46 AM2023/3/707-3月-2311、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。3/7/2023 6:17 AM3/7/2023 6:17 AM2023/3/72023/3/7谢谢大家谢谢大家1、每

33、一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路2023/3/706:172、成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦。2023/3/72023/3/72023/3/73/7/2023 6:17:47 AM3、每天只看目标，别老想障碍Tuesday,March 7,2023。2023/3/72023/3/72023/3/7Monday,July 19,202107-Mar-234、宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子2023/3/7。2023/3/72023/3/72023/3/7Tuesday,March 7,20235、积极向上的心态，是成功者的最基本要素2023/3/7。2023/3/7

34、2023/3/72023/3/72023/3/73/7/20236、生活总会给你另一个机会，2023/3/76:17:47 AM2023/3/72023/3/72023/3/77、人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:482023/3/72023/3/73/7/20238、业余生活要有意义，不要越轨。2023/3/72023/3/707 March 20239、我们必须在失败中寻找胜利Tuesday,March 7,20232023/3/710、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。3/7/2023 6:17:47 AM2023/3/707-3月-2311、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。3/7/2023 6:17 AM3/7/2023 6:17 AM2023/3/72023/3/7谢谢大家谢谢大家