131函数的单调性与导数(第一课时).ppt

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1、第一课时第一课时函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是减函数；上是减函数；若若 f(x)在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x)在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G=(a,b)复习引入复习引入:oyxyox1oyx1在（在（，0）和）和（0,）上分别是）上分别是减函数。减函数。但在定义域但在定义

2、域上不是减函数。上不是减函数。在（在（，1）上）上是减函数，在（是减函数，在（1,）上是增函数。）上是增函数。在在(,)上是增函数上是增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增

3、函数，则为单调递增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)f(x2)的大小的大小,在函数在函数y=f(x)比较复杂比较复杂的情况下的情况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单用导数来判断函数的单调性就比较简单.2yx0.观察函数观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象：的图象：总结总结(1):(1):该函数在区该函数在区间（间（，

4、2 2）上单调）上单调递减递减,切线斜率切线斜率小于小于0 0,即其导数即其导数f f(x(x)为负为负,总结总结(2):(2):该函数在当该函数在当x=2x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0 0,即即导数为导数为0 0总结总结(3):(3):该函数在区该函数在区间（间（2 2，+）上单调）上单调递增递增,切线斜率切线斜率大于大于0 0,即其导数即其导数f f(x(x)为正为正.K0新课新课函数的单调性函数的单调性(导数导数)一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可导在某个区间内可导,如果如果 则则f(x)f(x)为为增函数增函数；如果如果,则则f(x)f(x)为为减函

5、数减函数如果在如果在某个区间内某个区间内恒有恒有 ,则则f(x)f(x)为为常数函数常数函数.例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解:当当1 x 4,或或 x 0,(x)0,得函数单调增区间得函数单调增区间;解不等式解不等式f(x)0,f(x)0,得函数单调减区间得函数单调减区间.1、证明可导函数、证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论归纳归纳练习练习P263.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解解:由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 ,得得 ,即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ;相应地相应地,函数的递减区间是函数的递减区间是练习练习4.求证求证:函数函数 在在 内是内是减函数减函数.