概率论与数理统计教学14-第一章第四节(概率统计).ppt

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1、 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.4 1.4 古典概型古典概型(等可能概型等可能概型)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介:通过分析古代较早时候的博通过分析古代较早时候的博弈对决思想弈对决思想,提出了古典概型数学模型提出了古典概型数学模型,证明证明了等可能概型的概率计算公式了等可能概型的概率计算公式.重点解决了重点解决了随机抽样概型、随机取数概型、分房概型等随机抽样概型、随机取数概型、分房概型等常见的概率计算问题，对有放回抽样和无放常见的概率计算问题，对有放回抽样和无放回抽样给出了对比分析回抽样给出了对比分析.本节的理论和解题本节的理论和解题方法对

2、于学习概率论知识具有方法对于学习概率论知识具有重要的指导意重要的指导意义义.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.4 1.4 古典概型古典概型(等可能概型等可能概型)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.4.1 提出问题提出问题 1.1.随机事件出现的机会均等，如何随机事件出现的机会均等，如何计算它们的发生可能性计算它们的发生可能性概率概率的大小？的大小？2.2.产品抽样、抓阄是否有先后顺序、分配产品抽样、抓阄是否有先后顺序、分配任务等现实问题的概率怎样分析？任务等现实问题的概率怎样分析？1.4.2 预备知识预备知识 1.1.排列组合计算公式，乘法原理，加法原排列组合计

3、算公式，乘法原理，加法原理理.2.2.样本空间，样本点计数，基本事件计数样本空间，样本点计数，基本事件计数.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在古代较早的时候在古代较早的时候,人们利用研究人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性确定对象的物理或几何性质所具有的对称性确定了计算概率的一种方法了计算概率的一种方法.例如例如,在例在例 1.2.1 抛掷硬币试验中抛掷硬币试验中,令令1表示表示“出现正面出现正面”,2表示表示“出现反面出现反面”,则样本空间则样本空间=1,2中有两个样本点中有两个样本点,1和和2发生的可能性是相等的发生的可能性是相等的,因而可以规定因而可以规定P(

4、1)=P(2)=0.5,即即“出现正面出现正面”和和“出出现反面现反面”的的概率各占一半概率各占一半.1.4.3 问题分析问题分析 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定义定义1 1 (2)每个基本事件每个基本事件 的发生是等可能的的发生是等可能的.,如果随机试验如果随机试验E满足下述条件：满足下述条件：(1)试验结果的个数是有限的试验结果的个数是有限的.则称这个试验为则称这个试验为等可能概型等可能概型.它在概率论发展它在概率论发展初期是主要的研究对象初期是主要的研究对象,所以也称为所以也称为古典概型古典概型.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在古典概型中在古典概型

5、中,任一随机事件任一随机事件A包含的包含的基本事件数基本事件数k与样本空间与样本空间中包含基本事件中包含基本事件总数总数n的比值的比值,等于随机事件等于随机事件A的概率的概率P(A),即即 (1.4.1)式就是式就是事件事件A的古典概率公式的古典概率公式.定理定理1.4.4 建立理论建立理论上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 证证 不妨设事件不妨设事件A所包含的所包含的k个基本事件个基本事件为为1，2，k，由等可能性，由等可能性知知,P(1)=P(2)=P(k)=1/n，又又由于基本事件由于基本事件1，2，k两两互两两互不相容不相容,由有限加法公式得到由有限加法公式得到:.讲评讲

6、评 对于古典概型应注意以下几点：对于古典概型应注意以下几点：(1)古典概型是学习概率统计的古典概型是学习概率统计的基础基础,因因此它是非常重要的概率模型此它是非常重要的概率模型.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.(2)(2)判断是否古典概型的关键是判断是否古典概型的关键是等可能性等可能性,而而有限性有限性较容易看出；就是事件较容易看出；就是事件A包含的基本事件个数不要重复计算或者漏掉；包含的基本事件个数不要重复计算或者漏掉；事件间的关系及运算亦要熟悉。事件间的关系及运算亦要熟悉。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回.(3)计算古典概型概率时计算古典概型概率时,首先要

7、首先要判断有限性和等可能性是否满足；其次要弄判断有限性和等可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样构成的清楚样本空间是怎样构成的.对于复杂问题对于复杂问题只要求基本事件的总数只要求基本事件的总数n,同时求出所讨论同时求出所讨论事件事件A包含的基本事件数包含的基本事件数k,再利用公式再利用公式(1.4.1)计算出计算出P(A).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.4.1 有有100件产品件产品,其中有其中有10件是件是次品次品,其余为合格品其余为合格品.任取任取5件件.计算计算:(1)5 (1)5件都是合格品的概率；件都是合格品的概率；(2)(2)至少有一件是次品的概率至

8、少有一件是次品的概率.解解 设设A表示事件表示事件55件产品都是合格品件产品都是合格品,则则 表示表示55件产品中至少有一件是次品件产品中至少有一件是次品.1.4.5 1.4.5 方法应用方法应用上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 可以分为两种情形：可以分为两种情形：(1)(1)第一次取出产品后考察第一次取出产品后考察“是否合格是否合格”,然后放回然后放回,搅拌后再抽取第二件产品搅拌后再抽取第二件产品,继续考继续考察察“是否合格是否合格”,依此进行下去，这种抽取方依此进行下去，这种抽取方式称为式称为放回抽样放回抽样.放回抽样通常采取放回抽样通常采取“一次性一次性抽取抽取”5 5件

9、产品的方式；件产品的方式；(2)(2)第一次取出产品后考察第一次取出产品后考察“是否合格是否合格”,不作放回处理不作放回处理,接着再抽取第二件产品接着再抽取第二件产品,继续继续考察考察“是否合格是否合格”,依此进行下去，这种抽取依此进行下去，这种抽取方式称为方式称为不放回抽样不放回抽样.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)(1)放回抽样的情况：放回抽样的情况：从从100件产品中一件一件地任取件产品中一件一件地任取5 5件的所有可能取法有件的所有可能取法有1005种种,即基即基本事件总数本事件总数n=1005.取取5 5个都是合格品的所有可能取法有个都是合格品的所有可能取法有

10、905种种,即即A A包含的基本事件数为包含的基本事件数为k=905,所以所以P(A)=若认为从若认为从100件产品中一次性地任取件产品中一次性地任取5 5件，则所有可能取法有件，则所有可能取法有 种种,即基本事件即基本事件总数总数 n=.=.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 5 5件都是合格品的所有可能取法有件都是合格品的所有可能取法有 种种,即即A包含的基本事件数为包含的基本事件数为k=,=,P(A)=所以所以 由对立事件概率公式由对立事件概率公式(1.3.8)得到，事得到，事件件 至少有一件是次品至少有一件是次品 的概率为的概率为P()=1 1P(A)=1 1上页上页下页

11、下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (2)(2)不放回抽样的情况：不放回抽样的情况：在在100100件产品中顺次取出件产品中顺次取出5 5件产品的件产品的所有可能取法有所有可能取法有 种种,故基本事件总数故基本事件总数n=.=.同理同理,A包含的基本事件数包含的基本事件数 k=.所以所以,抽取到抽取到5 5件合格品的概率为件合格品的概率为 P P(A)=)=事件事件 至少有一件是次品至少有一件是次品 的概率的概率=1=1P P(A)=1)=1 可见，放回抽样与不放回抽样的事件概率不相同可见，放回抽样与不放回抽样的事件概率不相同.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 分析

12、例分析例1.4.1：我们应该理解抽样的两种方式我们应该理解抽样的两种方式“放回放回抽样抽样”和和“不放回抽样不放回抽样”；理解理解“第一件合格品第一件合格品,第二件又是合格第二件又是合格品品”和和“抽到两件合格品抽到两件合格品”的的“有序有序”和和“无无序序”的排列与组合问题；的排列与组合问题；样本空间样本空间和事件和事件A的的“有序有序”取法与取法与“无序无序”取法必须保持一致取法必须保持一致.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.4.2 一袋中装有一袋中装有N个小球个小球,其中其中m个个是红球是红球,剩下的为白球剩下的为白球.从袋中任取出从袋中任取出n(nN)个小球个小

13、球,问其中恰有问其中恰有k(km)个红球的个红球的概率是多少？概率是多少？分析分析袋中装有袋中装有2种颜色球种颜色球,其中其中m个红个红球球,剩下剩下N-m个为白球个为白球.从袋中任取出从袋中任取出n(nN)个个 小球小球,求恰有求恰有k(km)个红球的概个红球的概 率率,没有顺序没有顺序,用组合知识用组合知识.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设X表示表示“取得的取得的n个球中红球的数量个球中红球的数量”,则则恰有恰有k个红球个红球的事件可表示为的事件可表示为X=k,因此因此所求概率所求概率 为为 解解 这个模型不要求摸球的顺序这个模型不要求摸球的顺序,应用组合式计算应用组

14、合式计算.所有可能的取法共有所有可能的取法共有 种种.（1.4.2）上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 像这样像这样X取值的概率情况称为取值的概率情况称为超几何超几何分布分布.上式常称为上式常称为超几何分布的概率公式超几何分布的概率公式.显然显然,X可能的取值为可能的取值为0,1,m.讲评讲评 例例1.4.1和例和例1.4.2通常称为古典概型通常称为古典概型中的摸球问题中的摸球问题.特点特点是是:样本空间由两部分或两样本空间由两部分或两部分以上的成份组成部分以上的成份组成,考虑基本事件发生的先考虑基本事件发生的先后顺序，用乘法原理后顺序，用乘法原理.上页上页下页下页返回返回上页上

15、页下页下页返回返回 由以上举出的例题可知由以上举出的例题可知,古典概型大体可以古典概型大体可以概概 括为三大类问题：括为三大类问题：(1)摸球问题摸球问题(产品的随机产品的随机抽样问题抽样问题)；(2)分房问题分房问题;(3)随机取数问题随机取数问题.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.4.4 建立理论建立理论2几何概率几何概率 在概率论的发展初期在概率论的发展初期,人们就认识到人们就认识到,仅假定样本空间为有限集是不够的仅假定样本空间为有限集是不够的,有时需要有时需要处理有无穷多个样本点的情形处理有无穷多个样本点的情形.我们先看下面我们先看下面一个例子一个例子 引例引例 用

16、计算机在用计算机在0,2区间上任意打出区间上任意打出一个随机数一个随机数X,求求X小于小于1.2的概率的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 我们认为我们认为“随机数随机数x在区间在区间0,2上任何上任何一处出现的机会均等一处出现的机会均等”,其概率应只与其概率应只与区间区间0,1.2的长度有关的长度有关,概率应该为区间概率应该为区间0,1.2长度与区间长度与区间0,2长度之比，即概率应该长度之比，即概率应该等于等于 .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 描述这些随机试验的描述这些随机试验的样本空间样本空间,都是欧氏空间的一个都是欧氏空间的一个区间区间或者或者区

17、域区域,其样本点具有其样本点具有“等可能分布等可能分布”的性质的性质.设区域设区域A ,如果样本点落入如果样本点落入A中中,我们就说事件我们就说事件A发生了发生了.这样可作以下定义这样可作以下定义.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义2 设设为欧氏空间的一个为欧氏空间的一个区域区域,以以m()表示表示的度量的度量(一维为一维为长度长度,二维为面积二维为面积,三维为体积等三维为体积等).A 是是中一个可以度量的子集中一个可以度量的子集,定义定义P P(A)=)=（1.4.3）为事件为事件A发生的概率发生的概率,称其为称其为几何概率几何概率.有有些书也称为些书也称为几何型概率

18、几何型概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.4.3 某货运码头仅能容一船卸货某货运码头仅能容一船卸货,而甲而甲、乙两船在码头卸货时间分别为乙两船在码头卸货时间分别为1小小时和时和2小时小时.设甲设甲、乙两船在乙两船在24小时内随时可能小时内随时可能到达到达,求它们中任何一船都不需要等待码头空出求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率的概率.解解 设设x,y分别为甲、乙两船的到达时刻分别为甲、乙两船的到达时刻(单单位位:小时小时).则则(x,y)为一个样本点为一个样本点,从而样本空间从而样本空间 =(x,y)|0 x24,0y24.又设又设A为所求事件为所求事件,则由

19、题意易知则由题意易知 A=(x,y)|x-y2或或y-x1.1.4.5 1.4.5 方法应用方法应用2 2几何概率几何概率上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示.于是所求概率为于是所求概率为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例1.4.4 从区间从区间0,1中任取三个随机数中任取三个随机数,求三数之和不大于求三数之和不大于1的概率的概率.解解 设设x,y,z分别表示此三个数分别表示此三个数,则易知样则易知样本空间本空间 =(x,y,z)|0 x1,0y1,0z1.这是三维空间中一个棱长为这是三维空间中一个棱长为1的正方体的正方体.设

20、设A表表示示三数之和不大于三数之和不大于1,则有则有 A=(x,y,z)|x+y+z1,x0,y0,z0.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评 例例1.4.3是二维空间是二维空间,度量用面积计算度量用面积计算;例例1.4.4是三维空间是三维空间,度量用体积计算度量用体积计算.A中样本点组成如图中锥体中样本点组成如图中锥体O-BCD于是有于是有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.4.6 内容小结与思考内容小结与思考 本次课学习了概率的定义及其性质本次课学习了概率的定义及其性质,重点研究了古典概型及其概率计算问题重点研究了古典概型及其概率计算问题.为了为了利

21、用古典概型的定义来计算概率利用古典概型的定义来计算概率.首先应确定首先应确定试验的基本事件的总数试验的基本事件的总数n,再确定随机事件再确定随机事件A所所包含的基本事件数包含的基本事件数k,则后者与前者之比则后者与前者之比,即为即为所求的概率所求的概率 P(A)=.在在基本理论基本理论方面方面,对概率加法公式、概率对概率加法公式、概率减法公式和对立事件概率公式要学会综合应用减法公式和对立事件概率公式要学会综合应用.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 在在基本方法基本方法方面方面,分析事件分析事件A的对立事件的对立事件 用用 计算计算A发生的概率发生的概率,在处理有关在处理有关“至

22、少至少”或或“至多至多”问题时常常用问题时常常用到到.在古典概型的概率计算中在古典概型的概率计算中,对摸球问题对摸球问题,也也叫随机取样问题必须熟练掌握叫随机取样问题必须熟练掌握,特别是超几何分特别是超几何分布公式更是常用布公式更是常用.1.4.7 习题布置 习题习题1.4 4、5、6.参考文献与联系方式参考文献与联系方式 1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连理大连理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指 导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计教概率论与数理统计教 案案 作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8 月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验 教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：