5.第五节-二阶常系数齐次线性微分方程.pptx

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1、第第第第五五五五节节节节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第第第第八八八八章章章章 微分方程微分方程微分方程微分方程当 为常数时，称为常系数线性微分方程。其中 为常数。二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 阶线性微分方程(1)当 时，称为常系数齐次线性微分方程。(2)定理定理1 如果函数 与 是方程(2)的两个解，那么也是(2)的解，其中 、是任意常数。将(3)式代入(2)式左端，得证证 (3)由于 与 是方程(2)的解，上式右端方括号中的表达式都恒等于零，所以(3)式是方程(2)的解。叠加起来的解(3)从形式上来看含有

2、 与 两个任意常数，但它不一定是方程(2)的通解。例如，设 是(2)的一个解，则 也是(2)的解。这时(3)式成为 ，可以把它改写成 ，其中 。齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理。这显然不是(2)的通解。那么在什么情况下(3)式才是(2)的通解呢？要解决这个问题，我们还得引入一个新的概念，即所谓函数的线性相关与线性无关。设 为定义在区间 上的 个函数，如果存在 个不全为零的常数 ，使得当 时有恒等式成立，那么称这 个函数在区间 上线性相关；否则称线性无关。例如，函数 在整个数轴上是线性相关的。因为取 ，就有恒等式又如，函数 在任何区间 内是线性无关的。因为如果 不全为零，那么在该区间

3、内至多只有两个 值能使二次三项式为零；要使它恒等于零，必须 全为零。关于二阶齐次线性微分方程(2)的通解结构，我们有如下的定理。定理定理 2 如果 与 是方程(2)的两个线性无关的特解，那么 (、是任意常数)就是方程(2)的通解。对 求导，则无论 为实数或复数，都有 ，由线性微分方程解的结构可知，只要求出两个线性无关的特解 与 ，就可得到方程(2)的通解。由于指数函数 和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此我们用 来尝试，通过选取适当的常数 ，使 满足方程(2)。代入方程(2),得 由此可知，只要 满足代数方程(4)，函数 就是微分方程(2)的解。我们把代数方程(4)称作微分方程(2)的特征方

4、程。(4)由于 ，所以 特征方程(4)是一个二次代数方程。它的两个根 、可用公式 求出，它们有下列三种不同情况：(1)当 时，是两个不相等的实根：(2)当 时，是两不相等的实根：(3)当 时，是一对共轭复根：其中(1)特征方程有两个不相等的实根：，则 ，是微分方程(2)的两个解，且 相应地，微分方程(2)的通解也有三种不同的情况：(2)特征方程有两个相等的实根：，这时我们只得到微分方程(2)的一个特解 ，为了寻找另一个解 ，并且要求 不是常数。即 ，线性无关，故 是微分方程(2)的通解。设 ，即 是方程(2)的另一个解，其中 是某个待定系数（不为常数），则对 求导两次，得将 及 代入微分方程(

5、2),整理后得由于 ，故得由此可知，只要取一个满足上式且不为常数的函数 ，即可得所要求的 。将上式积分两次，得因为 是特征方程(4)的重根，所以 ，于是前式成为可取 ，得 。于是微分方程(2)的另一个特解 ，从而微分方程(2)的通解为 即(3)特征方程有一对共轭复根 ，此时 ，是微分方程(2)的两个线性无关的解，所以有通解由于它们是复值函数形式，利用欧拉公式 ，把 改写为此时 与 也线性无关且为微分方程(2)的解，所以微分方程(2)的通解为取综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程(2)求出特征方程(4)的两个根 ，。的通解，步骤如下：(1)写出微分方程(2)的特征方程(3)根据特征方程(4)的两个根的不同情况，按照下列表格写出微分方程(2)的通解：特征方程的两个根 ，两个不相等的实根 ，微分方程 的通解两个不相等的实根一对共轭复根例例1 求微分方程 的通解。所求微分方程的通解为 。有两个不同实根 ，对应的特征方程为 解：解：所求微分方程的通解为 有两个相同的实根 对应的特征方程为 例例2 求微分方程 的通解。解：解：例例3 求微分方程 的通解。所求微分方程的通解为有一对共轭复根 对应的特征方程为 解解