4.第四节-极限的运算法则.ppt

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1、第第第第四四四四节节节节 极限的运算法则极限的运算法则极限的运算法则极限的运算法则第二章第二章第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续在同一定理中，考虑的是 的同一变化过程，其主要运算法则如下：定理定理 设 ，则（3）当 时，有（2）（1）（1）为常数，则 ；在使用这些法则时，必须注意：在使用这些法则时，必须注意：（1）法则要求每个参加运算的函数的极限存在；（2）商的极限的运算法则运用的前提是分母极限不为零。（2）（为正整数）。推论推论 例例1求解：解：例例2 求 因为解：解：所以，由商的运算法则（2）对于有理分式函数 （其中 为多项式），当分母 时，有从上面两个例子可以看出：（

2、1）对于函数 为多项式，有 但是在 处，当有理分式 的分母 时，就不能使用商的极限运算法则，需要用另外的方法处理。例例3 求 解：解：因为分母的极限 ，故不能用商的极限运算法则求其极限。在分母为零的情况下，求极限的方法将取决于分子的极限状况。我们看到分子极限 .由于分子和分母中有公因子 ，当 时，即 ，可约去这个不为零的公因子，所以例例4 求 解：解：故由无穷大与无穷小关系得到：因为分母的极限 ，故不能用商的极限运算法则。但由于例例5 求 解：解：当 时，分子、分母的极限都是0，将分子无理式有理化，然后再求极限，得由于 所以 例例6 求下列极限（1）（2）（3）解：解：这里所求各极限都是在 时的情形。（1）当 时，分子、分母的极限都不存在，用 同时除分子、分母，然后取极限，得（3）分子、分母同时除以 ，然后求极限，得（2）分子、分母同时除以 ，然后求极限，得一般地，当 和 为非负整数时，有例例7 求 因为 ，故不能直接应用极限的运算法则，可以先通分，约去非零因子 ，再利用有理函数求极限的结论，故有解：解：解：解：当 时，上式是无限项无穷小之和，不能直接应用运算法则。例例8 求