6-6--子空间的直和与线性空间的同构ppt课件(全).ppt

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1、两个子空间的直和：两个子空间的直和：定义：设定义：设W W1 1，W W2 2为数域为数域F F上线性空间上线性空间V V的子空间，的子空间，如果如果W W1 1WW2 2=0=0，则称，则称W W1 1+W+W2 2为子空间为子空间W W1 1，W W2 2的直和，的直和，记为记为W W1 1+W+W2 2。两个子空间的和构成直和的条件：设。两个子空间的和构成直和的条件：设W W1 1，W W2 2是是V V的子空间，则的子空间，则W W1 1+W+W2 2为直和的充要是下列条件之为直和的充要是下列条件之一成立：一成立：(1)W (1)W1 1+W+W2 2中的每个元都能够唯一地表成中的每个

2、元都能够唯一地表成W W1 1的一的一个向量与个向量与W W2 2的一个向量的和的一个向量的和(简述为每个向量的表法简述为每个向量的表法唯一唯一)。(2)(2)零向量能唯一地表成零向量能唯一地表成W W1 1的一个向量与的一个向量与W W2 2的的一个向量的和一个向量的和(简述为零向量表法唯一简述为零向量表法唯一)。(3)dim (3)dim（W W1 1+W+W2 2）=dim W=dim W1 1+dim W+dim W2 2 （当（当W W1 1，W W2 2有限维时）有限维时）多个子空间的直和多个子空间的直和 设W1，W2，Wr都是线性空间V的子空间。如果 则称W1+W2+Wr为子空间

3、W1，W2，Wr的直和，记为W1+W2+Wr。说明说明：一定要注意这里的条件是，不是Wi Wj=0，初学者很容易出错。多个子空间的和构成直和的条件多个子空间的和构成直和的条件设 W1，W2，Wr是线性空间V的子空间，则 W1+W2+Wr构成直和的充要条件是下列之一成立：1 1）W W1 1+W+W2 2+W+Wr r中每个向量表法唯一；中每个向量表法唯一；2 2）W W1 1+W+W2 2+W+Wr r中的零向量表法唯一；中的零向量表法唯一；3 3）dim dim（W W1 1+W+W2 2+W+Wr r）=dim W dim W1 1+dim W+dim W2 2+dim W+dim Wr

4、r。（当（当W W1 1，W W2 2，W Wr r均为有限维时）。均为有限维时）。线性空间的同构线性空间的同构定义定义设设 是两个线性空间，如果它们的元素是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间组合的对应，那末就称线性空间 与与 同构同构.例如例如与与 维数组向量空间维数组向量空间 同构同构.因为因为形成一一对应关系；形成一一对应关系；则有则有同维数的线性空间必同构同维数的线性空间必同构同构的线性空间之间具有反身性、对称性同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性与传递性结论结论数域数域 上任意两个上任意两个 维线性空间都同构维线性空间都同构同构的意义同构的意义在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数维线性空间唯一本质的特征就是它的维数