【精品】2-1复变函数及导数（可编辑.ppt

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1、2-1复变函数及导数第二章第二章 解析函数解析函数 本章首先介绍连续函数与函数导数的本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数本的初等函数.22-1 复变函数的导数一、导数的概念及其求导法则二、微分的定义及其可微的充要条件3(1)导数的定义导数的定义一、导数的概念及其求导法则4解解6解解78(2)可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数f(z)在在z0 处可导，则在处可导，则在z0 处一定连续处一定连续,但但函数函数 f(z)在在z0 处连续不一定

2、在处连续不一定在z0 处可导处可导.910(3)求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略且证明方法相同，此处略.求导公式与法则求导公式与法则:1112 由此可以看出，复变函数的导数定义与一复变函数的导数定义与一元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们元实函数的导数定义在形式上完全一样，它

3、们的一些求导公式与求导法则也一样。的一些求导公式与求导法则也一样。然而，复变函数的导数要求极限存在与然而，复变函数的导数要求极限存在与 变变量量 z 趋于趋于 z0 的方式无关的方式无关,这与二元实函数的极限这与二元实函数的极限相一致，是否可以说明相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个复变函数的导数就是两个二元实函数的导数？二元实函数的导数？上节例上节例 2说明问题不是那么简单。说明问题不是那么简单。131.可微的概念可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。函数的微分概念完全一致。复变函数可微与可导是否也具有一元实变复变函

4、数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？函数可微与可导的关系？二、微分的定义及其可微的充要条件二、微分的定义及其可微的充要条件14令令15则则且且反过来可容易证明反过来可容易证明16与一元函数类似地与一元函数类似地,记记 172.充要条件充要条件Cauchy-Rieman简介18定理定理:设函数设函数 在区域在区域D D内确定，则内确定，则函数在点函数在点 可导可导的充分必要条件是：的充分必要条件是：与与 在在 可微可微 在在 的导数为的导数为条件条件(*)(*)常称为常称为柯西柯西黎曼条件黎曼条件（C.R.C.R.条件）条件）柯西黎曼条件方程（C.R.方程）1920推论：推论：设

5、设 。若。若 和和 在在 的四个一阶偏导函数在点的四个一阶偏导函数在点 均连续并且满足均连续并且满足 C-R C-R 方程，方程，则则 在点在点 处可导。处可导。注意：注意：1 1）在点在点 可微等价于它在该可微等价于它在该点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。可微。2 2）一个二元实函数在某点可微的一个二元实函数在某点可微的充分充分条件是：条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。连续。21判别可导性判别可导性P33,4(3)判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪些点连续。f(z

6、)zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xyf(z)在整个复平面连续C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。22Q 研究 在 的可导性。（说明在上面定理中 的可微性不可去）Q 判别函数 的可导点。23例例1 1 试证函数试证函数 （n n为自然数）在复平为自然数）在复平面上处处可导，且面上处处可导，且证证 用定义来证明用定义来证明对于复平面上的任意一点对于复平面上的任意一点 z z，由导数定义有，由导数定义有 于是，于是，在点在点z z的导数存的导数存在且等于在且等于 由点由点 z z 在复平面上的

7、任意性，证得在复平面上的任意性，证得 在复平面上处处可导在复平面上处处可导 函数函数 在复平面解析在复平面解析 24例例2 2 设设 定义在复平面上，试证定义在复平面上，试证 于复平面上于复平面上仅在原点可导仅在原点可导证用定义来证明证用定义来证明若若 ，则因，则因 所以，所以，在点在点 可导可导 25若若 ，则有，则有 令令 ，于是有，于是有 由于上式当由于上式当 在过点在过点 z z 平行于虚轴的直线上趋于平行于虚轴的直线上趋于（即（即 ）时，）时，其极限为其极限为 x x，而当，而当 在过点在过点 z z 平行于实轴的直线平行于实轴的直线上趋于（即上趋于（即 ）时，其极限）时，其极限为为 ，所以，当，所以，当 时，时，不存在，故不存在，故 在点在点 处不可处不可导导 26 于于复平面上仅在原点可导复平面上仅在原点可导可证得函数可证得函数 在复平面上处处不可导该函数在复平面上是一在复平面上处处不可导该函数在复平面上是一个处处连续个处处连续,但又处处不可导的函数但又处处不可导的函数.27用用LHospital法则求法则求 型的极限型的极限 设函数f(z)和g(z)在点z0可导且 ，试证等式P34,6证证:说明说明:(1)当 而 时，极限为无穷大。(2)当 时，可继续用LHospital法则求极限(3)的情形，可用 把问题转化为求 的极限如如:28