第01讲-----静力学分析.ppt

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1、第一讲 静力学平面共点力的平衡平面力矩（偶）的平衡（A可任选）平衡的性质：稳定、不稳定、随与。判断方法：力（矩）、能量。（6、7、8）三维力系（9、10）虚功（11、12）杂题（13、14）（1、2、3、4、5）1如图所示，n层支架由相同的等腰直角三角形板铰接而成，其顶部受两个力作用，其大小都为P，方向如图，现不计架子本身的自重，试求底部固定铰支座A，B处的约束反力。2由式可得(2)将上面n-1个板隔离出来,用和(1)相同的方法,可求得解：(1)研究整体由式可知最后(3)将板EDB隔离出来2。五根质量与长度均相同的匀质细杆用质量可略的光滑铰链连接，今将一个顶点悬挂在天花板上(如图)，试求平衡时

2、五边形当中，每边与竖直方向的夹角1和2。(底边与竖直方向垂直)。（两种解法）Ny3Nx3Nx2Ny2Nx1Ny1Ny2Nx2对AC杆：解：从力的角度来解。对OC杆对AB杆联列以上各式可得：又解：以O点为势能零点，建立系统的重力势能表达式有：由几何约束，得：现在，系统处于平衡状态，则势能必然最低（稳定平衡）。先用1表示2，利用*式，有：故有：得：用计算器逼近解可得：故3.直径为d和D的两个圆柱，置于同一水平的粗糙平面上，如图所示，在大圆柱上绕以绳子，作用在绳端的水平拉力为F，设所有接触处的摩擦系数均为，试求大圆柱能翻过小圆柱时，值必须满足的条件。解：先考虑 A、B 两处那里更容易滑动？当D柱快离

3、地时，B处的正压力为，摩擦力为F。此时对D取力为Mg（对D取F和fA的焦点为转轴）。所以A点更易滑动。可知A处摩擦力也为F。正压对D用力必过E点，摩擦角为（三力共点），可知A处d对D的全反其中即4.如图，已知匀质杆长为l，搁置于半径为R的圆柱上，各处的摩擦系数均为，求系统平衡时，杆与地面倾角应满足的条件。N3f3N2f2N1f1OON3f3N2f2N1f1OO解：设杆和圆柱体的重力分别为G1和G2。对杆对柱以上七个方程中只有六个有效。由最后一式可知，N1N2，又因为f1=f2,所以一定是2处比1处容易移动。再来比较2处和O处。）如果是2处先移动，必有f2=N2,代入式，可得=tg（/2）,将此

4、结果代入,式,即有在这种情况下,如要，必须有杆要能搁在柱上，当然要因此在时，）如果是处先移动，必有代入前式，可有满足上式的即为平衡时的，这时要求0对应稳定平衡；M=0对应随遇平衡；M 0对应不稳定平衡。7.一种“平衡吊”如图，它主要由杆ABD，DEF，BC，CE四杆铰接而成，而A处轴可以固定在竖直槽的不同位置，从而调节F处吊钩上重物的高度，杆ABD可绕A在竖直平面内转动，C点能在光滑水平槽内滑动，不计所有摩擦，用l1表示AD的长度，l2表示AB的长度，l3表示DF的长度，l4表示BC的长度。(1)若将各杆都视为轻杆，且无配重物时，试论证l1l2l3l4应满足何种关系，才能使平衡吊的吊钩(包括重

5、物)位于同一水平面的不同位置时平衡吊都能平衡？(2)若考虑各杆自重，为使平衡吊的吊钩位于同一水平面的不同位置时都可平衡，必须在杆ABD的P处加一重物，P距A为lp，设配重物重量为Gp，AD，DF，BC，CE重量分别为G1，G3，G4，G5，不计AP的重力，问当l1，l2，l3，l4和lp已知，且l1=l3，l2=l4时，Gp的值为多少？解：（1）由于A点为固定转轴，则系统对A点的力矩必为0，由参考图可知化简得：由于题目要求，取不同值时*式均成立。故，即（2）下面换用能量法考虑，取A为势能零点，则系统势能表示为：故总的势能为由则Vt化为：使Vt为定值，要求cos的系数为0。故由，得：评析评析：本

6、题与前题有所不同，先用受力法分析，再用势能，但都抓住“不变”这一条件作文章，即将变数的系数记为0，这十分有用，应牢记。8.在盛有密度为1的液体的大容器中放入一只底面积为的小的圆柱形容器，在这个容器的底部又插入一根长为的细管。两只容器壁均静止不动。在小的容器中注入密度为的染了颜色的液体，使其高度至，以使与外面容器的液面相平，然后打开细管的下端，可以看到重液由细管内流入大容器中，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着。如果假设液体不会混合以及表面张力可忽略不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量是多少？在以后的每次循环中，流进小容器的轻液的质量和从小容器里流出的重液的质量各

7、是多少?解：设小容器的液面下降x后A面平衡上压强PA1=P0+2g(H-x+l)下压强PA1=P0+1g(H+l)由PA1=PA1可得 x=(2-1)(H+l)/2m1=2xs=(2-1)(H+l)s故第一次流出液体质量这是一种不稳定平衡，如果由于某种微扰使细管内液体上升x（由于小容器截面比细管大得多，因此此微扰不会改变小容器内液面的高度）这样下压强大于上压强，将把两种液体的分界面一直推到B处，然后轻液开始浮到重液上面，直至B处上、下压强相等关心B处向下的扰动.如此循环，直至小容器内重液全部流出至大容器底部。下面计算每次流入小容器的轻液质量mk和小容器中流出的重液质量mn。每次轻液流入从PAk

8、=PAk开始，设在小容器中流入xk高的轻液后，B处上下压强相等，则PAk-2gl+1gxk=PAk-1gl得xk=(2-1)l/P1,mk=1xks=(2-1)ls每次重液流出从每次重液流出从PBn=PBn开始，设小容器内液面下降xn后，A处上下压强相等开始，设小容器内液面下降xn后，A处上下压强相等，即PBn+2gl-wgxn=PBn+1gl可得xn=(2-1)l/2,mn=2xns=(2-1)l s=mk9。半径为r、质量为m的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触用一个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒(上下均无底)，将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间

9、均保持接触，但相互无作用力现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦因数均为=0.775问：R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来?解:设系统已被提离桌面而能保持平衡，受力分析如图所示，平衡方程为：上球下球整体 下球由两式可得：因为式代入式得：、代入式得：为了使物体之间不滑动，必须满足下列二式：因为4+cos1+4cos，所以只要式满足，式必定满足也就是说如果发生滑动，首先在上、下球之间发生因为=（0.775），由式得：等式两边平方并整理后得：128cos128cos2 2maxmax+

10、24cos+24cosmaxmax-77=0-77=0可解得设R=br，借助于俯视图可知但是b又不能太小，要使上球不从三球中掉下，必须使所以R取值范围为即0.1547rRO.6796r10质量为m、长为l的均质细杆AB一端A置于足够粗糙地面，另一端B斜靠在墙上。自A至墙引垂线AO，已知OAB=，杆上端与墙面的摩擦系数为。求杆B端不至滑下时，杆与AO所在平面与铅垂面的最大倾角 以 及 此 刻 墙 对 杆B 端 的 支 承 力N。分析与解分析与解:设图为临界状态时的系统位形，坐标OXYZ如图中所示。OYZ为墙面，O为A在墙上的垂足，Z轴铅直向上。杆上受力为三维空间受力。若B端在墙上滑动，将画出一个

11、以O为圆心，l sin为半径的半圆，如图中虚线所示。杆B端受摩擦力f与圆相切，且与y轴夹角，还受支承力N，指向x轴正向。杆上A端受力未知，图中未画出。尽管一开始我们并不知道如何写平衡方程会使求解简化。但可以试着写出转动方程，使与题无关的未知力不要出现在方程中。先写出杆上受力对AO轴的力矩平衡方程，方程中不出现A端受到的未知力，B端受到的支承力N的力矩为零，只有B端受到的摩擦力f和重力mg对AO轴有力矩，平衡方程为：又联立解得：由于未知，此式还不能得到角。由于图中所示为临界状态，与N有关系：联立方程、，得经分析，再写出对A点的铅直轴AE的力矩平衡方程。同样，杆上A端未知力不出现在方程中，重力mg

12、不产生力矩，只有B端受到的支承力N和摩擦力在y方向分力对轴AE有力矩，平衡方程为：联立方程、，得到支承力表达式：11。如图，由4根长杆AD、BC、CF、DE和4根短杆AO1、BO1、EO4、FO4构成一个框架（各连接处都是铰链），总质量为M。下面再挂一个m，12之间用轻绳连接，使框架呈三个正方形，求绳上的张力。解：假设O2O3绳缩短了x，那么m将升高3x，整个框架的重心将升高1.5x，这些势能的获得正是由于O2O3绳做了功。设上的张力是T可解得：12.如图所示，一光滑的圆截面之半圆环管内装满2n个相同的滚珠，每珠重P，与管恰好密合，放在铅直平面内且两端等高，如Nm是由顶端起第m个和第（m+1）

13、个珠间的压力，证明：（两种解法）解：每个球对圆心的张角 因此第m个小球E(见图)Nm与OE的夹角为 将E球的重力P、Nmax、Nm投影到垂直于OE的方向用力的方用力的方法来解题法来解题因而其中(凑积化和差)因而即解：设想从第1到第m个球都发生小位移S，则第k个小球上升的高度为hk，有：设每个小球所对的圆心角为，有：故有：因而从第1到第m小球的总势能增量为：用能量的方法为求上述值，须借助矢量法，所求的和式为在x轴上的投影，由故又故现考虑Nm做的功为由虚功原理，得：得：评析评析：本题可以用受力分析，建立递推关系去解，此处向大家介绍虚功原理求力的方法，是为了让大家注意，平衡问题与能量有着密不可分的关

14、系，有时用受力分析不得要领的问题，从能量角度去想，便可迎刃而解。13。.用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长为h=l/4的长方形。要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。思考：如果所有接触面之间都有摩擦（摩擦因数为）呢？由于积木是光滑的，所以积木之间无水平作用，即最上面两块积木之间应无弹力。以第n+1块积木右端A为转轴，分析第n块，其上n1块积木的总重心不能越出B（应恰在B点），所以有（如右图）解：（思考：如有如何？）（注意：虽自上而下木块之间的压力不断增大，但f却始终为G。）如图，以A为转轴分析第n块，以上n1块的总重心可延伸至B以外，但压力总还是作用在B点研究第一块总的14.解：在金属板膨胀的过程中，可找到一个不动的点A，AB段f 向上，AC段f 向下。设板的线密度为，那么有在夜间收缩过程中研究C端：（可代表整个板）白天：晚上：、负号可见板是下降的。