电磁场与电磁波(时变电磁场)...ppt

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1、5.1 5.1 静态场的场与源的时间特性静态场的场与源的时间特性5.2 5.2 电磁感应定律及其数学方程电磁感应定律及其数学方程5.3 5.3 位移电流与时变场中的安培环路定律位移电流与时变场中的安培环路定律5.4 5.4 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组5.5 5.5 不同介质分解面上的边界条件不同介质分解面上的边界条件5.6 5.6 波动方程波动方程5.7 5.7 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量5.8 5.8 标量位和矢量位标量位和矢量位第第5 5章章 时变电磁场时变电磁场5.1 静态场的场与源的时间特性 1、静电场和恒定磁场对源的依赖关系在时间上具有即时性，即 静电场：恒定磁场

2、：2、静电场与恒定磁场均有对静电荷和恒定电流的即时依赖关系的特点。3、静电场与恒定磁场在空间中彼此独立。若空间中分布的是时变的电荷和时变的电流，则 不能完全确定空间中的电场和磁场分布。在本章中我们将看到：随时间变化的电场和磁场彼此不能独立，时变的电场将激励磁场，时变的磁场也将激励电场，时变电场与时变磁场的相互激励将形成向远方传播的电磁波。5.2 电磁感应定律及其数学方程 法拉第电磁感应定律 当 时，即穿过线圈的磁通增加时，0，这时感应电动势的实际方向与选定的参考方向相同。eI 结论：时变的磁场激励电场，且感应电场与时变磁场存在于同一空间 我们知道感应电动势是感应电场强度沿闭合回路的线积分于是

3、所以又因为 这就是法拉第电磁感应定律的积分形式时变的磁场将激励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保守场，感应电场在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于此闭合曲线围成的面上磁通的负变化率。若积分回路l是空间中一条固定回路，则 可转化为 由斯托克斯定律可得 积分回路是任意选取的，所以有 此为法拉弟电磁感应定律的微分形式.法拉弟电磁感应定律为：例5.2.1 如图5.2.1所示，边长为0.60m的正方形线圈，在磁感应强度 的场中以 的转速绕y轴转动。求线圈在输出端口上的感应电压。解：任意时刻线圈平面与轴的夹角，线圈平面投射到平面上的面积为：任意时刻线圈平面上穿过磁链为线圈在输出端口上的

4、感应电压为5.3位移电流与时变场中的安培环路定律 1.安培环路定律在时变场中出现的矛盾图5.3.1 含有电容器的电路中电流不连续 由于传导电流在电容器极板间中断，对于以闭合曲线L为边界的S1和S2两个曲面来说，电流只穿过曲面S1而不穿过曲面S2，因此出现的矛盾与 在电流对电容器的充放电过程中，电容器极板间的电场随着极板上电量的变化而变化，而且电场变化的方向与电流的方向一致。充电时电场增强,由正极指向负极，与传导电流方 向相同；放电时电场减弱，由负极指向正极，与传导电流方向也相同。2.麦克斯韦位移电流假说 将 也视为一种电流.根据电流连续性方程 利用高斯定律 可得:定义 为位移电流密度 则位移电

5、流强度为 将位移电流密度代入（1）方程中,得 任一体积上积分，并应用高斯定律可得：即通过闭合曲面的全电流的通量恒等于零，全电流在空间任选的闭合面上是连续的。麦克斯韦以全电流代替传导电流，进而把恒定磁场中的安培环路定律推广到时变场，得到 称为全电流安培环路定律全电流安培环路定律，简称安培环路定律安培环路定律。在任一闭合面S上积分后，可得时变场的安培环路定 律：根据stokes定理，上式可写为 3.时变场中的安培环路定律 全电流安培定律的积分形式全电流安培定律的积分形式 麦克斯韦关于位移电流的假说的实质是：变化的电场要激励磁场。需要说明的是：位移电流是电流概念的扩展，与传导电流一样，位移电流要激励

6、磁场，但它与传导电流不同的是，它不是带电粒子定向运动形成的，不能直接用实验测出。由 可知 可见，位移电流的一部分为 ，这是介质分子的电极化强度随时间改变引起的极化电流，也称为运流电流；另一部分位移电流仅对应于电场的变化。由此可得出结论：位移电流激励的磁场为真空中变化的电场（即真空中的位移电流）激励的磁场，与电介质在时变电场中被极化引起的极化电流激励的磁场的迭加。例5.3.1 潮湿土壤的电导率为 ,且 ，其中 求土壤中的传导电流密度 和位移电流密度 。解：传导电流密度为 ，因此 位移电流密度 ，因此 由此可见，在潮湿土壤中，位移电流密度较传导电流密度大三个数量级。5.4 麦克斯韦方程组 麦克斯韦

7、将时变电磁场的场源关系总结为：其积分形式包括如下的四个方程：上述四个方程依次称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。麦克斯韦第一方程就是时变电磁场中的安培环路定律，它的物理意义为：磁场是由电流和时变的电场激励的；第二方程为法拉弟电磁感应定律，它说明了时变的磁场激励电场这一事实；第三方程为时变磁场的磁通连续性方程，它说明了磁场是一个旋涡场；第四方程为高斯定律，它的物理意义为：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。麦克斯韦方程中没有写进电流连续性方程,可从 和 导出.把 两边同时取散度得 由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得 再把 代入上式，即得 此即电流连续性方程。上述给出麦克斯韦方程组的微分形式和

8、积分形式描述了时变电磁场在任意空间中的一般运动规律，但它不能限定时变电磁场在某一确定空间中的运动规律。因此，上述给出的麦克斯韦方程通常被称为麦克斯韦方程的非限定麦克斯韦方程的非限定形式形式，因为它没有限定 和 之间及 和 之间的关系，故适用于任何介质。在线性和各向同性的介质中，有关场量之间的关系为 称为媒质的本构关系。这里，只代表介质中的传导电流，而不包括空间中的源电流分布。如果空间中还存在源电流 ，则空间中的总电流为 一般情况下，源电流 都省去下标而直接用 表示。此时，麦克斯韦方程可用 和 两个场量写出 上式称为麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程组的限定形式。总结：麦克斯韦方程是描述客观存

9、在的宏观电磁现象的总规律，对静态场当然也适用，只是关于时间导数的项为零而已，可见前述静电场和恒定磁场的基本方程其实都只是麦克斯韦方程的特例。可得对时间积分可得即解：由麦克斯韦方程例 已知自由空中,求时变电磁场的磁场分量 并说明场构成了一个沿+z方向传播的行波。,图5.4.1 时刻沿轴变化的场量分布 由此可见，场 和 相互垂直，它们随时间和空间是按正弦波的方式传播的，它是一个行波。这里积分常数忽略不计，于是 图5.4.1给出了一个在 时刻沿 轴变化的场量分布。由图可看出：场 和 同时按 变化，所以 和 在某一时刻的某一位置满足 或 这是一个平面方程，这个平面的移动速度为 它就是此行波的传播速度。

10、5.5 不同介质分解面上的边界条件 1.两种不同介质界面（1）的边界条件 右图所示为两种媒质的分界面，1区媒质的参数为 、和 ；2区媒质的参数为 、和 。H1H21324lh 21Ht H1H21324lh 21Ht即由于是有限量，当由于小矩形闭合回路的选取具有任意性，则可得H1H21324lh 21Ht于是得又因为：经过简单的矢量混合积变换得 若分界面上不存在面电流（即 ）时，则有 由此可见，当分界面上分布有源面电流时，从一种媒质跨过另一种媒质时，其切向分量会发生突变。其突变量就等于分界面上的面电流密度。若分界面上没有面电流，则 的切向分量是连续的。H1H21324lh 21Ht E1E21

11、324lh 21Bt图5.5.2 的边界条件将麦克斯韦第二方程的积分形式用于图5.5.2所示的无穷小矩形闭合回路，可得（2）的边界条件式中的 是有限量，当即说明 在分界面上，其切向分量总是连续的。（3）的边界条件在不同媒质的分界面上取一小扁形闭合柱面，如图5.5.3所式。hSB1B2u2u1en图5.5.3 的边界条件将麦克斯韦第三方程的积分式应用与此闭合面可得：因此可得即这说明 在分界面上的法向分量总是连续的。hSD1D2u2u1en（4）的边界条件将麦克斯韦第四方程的积分式，即式应用于分界面上所取的一小扁形闭合柱面上可得由此可得若分界面上不存在源面电荷，则或 当分界面上存在自由面电荷时，的

12、法向分量不连续，其增量就等于分界面上自由电荷面密度。若分界面上没有自由面电荷分布，则 的法向分量在分界面上连续。在不同媒质的分界面上的边界条件可归纳为：分界面上存在源 和分界面上无源分布2.空气与理想导体的分界面 理想导体的 中 不可能为无穷大，理想导体中势必处处 。再又麦克斯韦第二方程 可得 如果不考虑导体中恒定磁场的存在，则理想导体中磁场也处处为零。因此，理想导体内部电磁场都为零。于是，在理想导体表面上有 式中 是导体表面法线方向的单位矢量。或在理想导体表面上有 在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由式 或 决定，导体表面上电场的切向分量

13、总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，则由式 或 决定。例5.5.1 如图所示，在两导体平板（，）限定的空气中传播的电磁波，已知波的电场分量为 式中，为常数。（1）试求波的磁场分量；（2）验证波的各场分量满足边界件；（3）求两导体表面上的面电荷和面电 流分布。图 两导体平板间传播的电磁波解：（1）由麦克斯韦第二方程 可得 于是 （2）由导体与空气的边界条件可知，在 ，和 的导体表面上应该有电场强度的切向分量 和磁感应强度的法向分量 。而当 和 时，和 可见电磁波的场分量自然满足边界条件。（3）由导体与空气的边界条件可知，在导体的表面上

14、有 在 的表面上，。于是 在 的表面上，。于是 5.6 波动方程 静态场的特点是场对源具有即时性，即源出现则场出现，源撤消则场撤消。在时变电磁场中，变化的电场将激励起磁场，变化的磁场将激励起电场，于是，这种电磁场的相互激励可使场脱离源，形成向远方传播的电磁波。若无源空间（，）中充满线性、均匀媒质，则麦克斯韦方程组可写成 或 或 两端取旋度则有对式可展开为于是即同理称为三维空间中的矢量齐次波动方程。波动方程是电磁波理论的最基本的方程。是研究电磁波传播规律的理论依据。例5.6.1 在一维空间中，波动方程退化为若函数 是二阶连续可微的，试证明是一维空间变量波动方程的解。式中 为电磁波在均匀介质中的传

15、播速度，在这里它是一个常数。证明：令 ，先证 是一维波动方程的解。将对变量z求偏导数有 同样又可求出：将所求 和 的结果代入一维波动方程式 可得 这就证明了 是式 的解。同样可以证明 也是式 的解。因此，仍为式 的解。讨论：的两项解代表的意义？先来看 。它表示 为 和 的函数，但没有具体表明到底是什么函数关系。所以，我们可以为任意的函数图形，如图5.6.1所示。图5.6.1它表示在某一瞬间 时，沿空间方向的分布情况。观察波形上任一点P的运动规律。点选定后，在无传播损耗的情况下，任何瞬间观察到的P点所对应的函数值 ，总应该等于上图所给出的P点所对应的函数值 ，亦即如图5.6.2所示；以速度 沿向

16、 正方向传播，同样以速度 沿向 负方向传播，表示的是表示的是图5.6.2沿+Z方向的运动规律5.7 坡印廷定理和坡印廷矢量 电磁波是一种特殊形式的物质，能量是物质的主要属性之一，从能量角度来看：时变电荷和时变电流将电能转换成电磁能量，空间中电磁能量分别以电场能和磁场能的形式存在并相互转换，电磁波将携带这些能量在空间中传播，因此，时变电磁场中一定存在能量的流动。电磁波能量在有耗媒质中传播时还将受到损耗。讨论电磁波能量在无源导电媒质中的传播和守恒性质。在线性、各向同性的无源导电媒质中，若媒质参数为 、和 ，麦克斯韦方程可以写成 （1）（2）将 点乘式(2)再减去 点乘式(1)得 （3）而于是，式(

17、3)可改写成 利用矢量恒等式 可得到（4）式中，为电磁波的电场能量密度为电磁波的磁场能量密度为电磁波在空间中单位体积的焦耳损耗功率若定义矢量称为坡印廷矢量坡印廷矢量 则可将（4）式改写成 其物理意义为：空间某点空间某点 矢量流入单位体积边界面的矢量流入单位体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。显然，矢量 代表空间中电磁波的功率流动密度，是垂直穿过单位面积的功率，它的单位是瓦/米2。对式两端对任意体积 求体积分,再利用高斯散度定理可得（5）式中S为限定体积 的闭合面。物理意义：对空间中任意闭合面限定的体积对空间中任意闭合面限定

18、的体积 ，矢量，矢量 流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率。焦耳损耗功率。为体积内的总电场储能为体积内的总磁场储能为体积内的总焦耳损耗功率于是，（5）式可改写成 通常称和 为电磁波的能量转换和能量守恒定理能量转换和能量守恒定理，或称为电磁波的坡印廷定理坡印廷定理。5.8 标量位和矢量位 时变电磁场中，由于磁场分量是一种旋涡场，时变电磁场中，由于磁场分量是一种旋涡场，即即可令可令:称矢量称矢量 为时变场的动态矢量磁位（简称矢量磁位）。为时变场的动态矢量磁位（简称矢量磁位）。1.1.矢量磁位矢量磁位 矢量场矢量场 是一

19、个发散场是一个发散场令令所以所以 称为时变场的动态标量电位（简称标量电位）称为时变场的动态标量电位（简称标量电位）2.2.标量电位标量电位 将将 代入麦克斯韦第二方程代入麦克斯韦第二方程 即可得即可得 3.3.达朗贝尔方程达朗贝尔方程在线性、各向同性媒质中来导出电磁场与其源的关系方程在线性、各向同性媒质中来导出电磁场与其源的关系方程将将 代入方程代入方程可得可得即即取洛仑兹规范取洛仑兹规范可得可得将式将式 代入方程代入方程 按同样的方法取洛仑兹规范，可得按同样的方法取洛仑兹规范，可得称称（1 1）（2 2）为达朗贝尔方程或为达朗贝尔方程或 与与 的非齐次波动方程。的非齐次波动方程。在无源空间中在无源空间中 ，于是式，于是式(1)(1)和式和式(2)(2)分别变为分别变为 这是一组齐次波动方程。这是一组齐次波动方程。和和