稳定性定义与稳定性条件.ppt

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1、第第4章章 控制系统稳定性分析控制系统稳定性分析 4.1 稳定性定义与稳定性条件稳定性定义与稳定性条件 当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：1)系统的自由响应是有界的；2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳稳定定的、不不稳稳定定的和渐渐进进稳定稳定的。显显然然，如如果果系系统统不不稳稳定定，则则系系统统的的响响应应是是无无界界的的，系系统统的的输输出出将将逐逐渐渐增增加加直直到到损损坏坏系系统统，或或者者进进入入振振荡荡状状态态。因因此此，系系统统稳稳定定是是保

2、保证证系统能正常工作的首要条件。系统能正常工作的首要条件。稳定性稳定性是控制系统最基本的性质。是控制系统最基本的性质。李雅普诺夫用李雅普诺夫用范数范数作为状态空间作为状态空间“尺度尺度”的度量。的度量。4.1.1 范数的概念范数的概念 1.向量的范数向量的范数 定义定义：n维向量空间维向量空间 的范数定义为的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数矩阵的范数 定义定义：mxn矩阵矩阵A的范数定义为的范数定义为:(4.2)(4.3)4.1.2 平衡状态平衡状态 系系统统没没有有输输入入作作用用时时，处处于于自自由由运运动动状状态态。当当系系统统到到达达某某状状态态，并并且且维维持持在在此此状状态态而

3、而不不再再发发生生变变化化的的，这样的状态称为系统的这样的状态称为系统的平衡状态平衡状态。根根据据平平衡衡状状态态的的定定义义可可知知,连连续续系系统统 的的平平衡衡状状态态 是是满满足足平平衡衡方方程程 即即 的的系系统统状状态态。离离散散系系统统 的的平平衡衡状状态态，是是对对所所有有的的k，都都满满足足平衡方程平衡方程 的系统状态。的系统状态。首先讨论线性系统 的平衡状态。由于平衡状态为 ，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态 ；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态，对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态也可能有多个平衡

4、状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。例例4.1 求下列非线性系统的平衡状态求下列非线性系统的平衡状态 解解 由由平平衡衡状状态态定定义义，平平衡衡状状态态 应应满足满足:得非线性系统有得非线性系统有三个平衡状态三个平衡状态：,.4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定稳定 定义定义:如果对于任意给定的每个实数如果对于任意给定的每个实数 ,都都对应存在着另一实数对应存在着另一实数 ,使得从满足不等使得从满足不等式式 的任意初态的任意初态 出发的系统响出发的系统响应应,在所有的时间内都满足在所有的时间内都满足 则称系统则称系统的平衡状态的平衡状态 是是稳定稳

5、定的的.若若 与与 的选取无的选取无关关,则称平衡状态则称平衡状态 是是一致稳定一致稳定的的.l2.渐近稳定渐近稳定 定定义义：若若平平衡衡状状态态 是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，并并且且当当 时时，,即即 ，则称平衡状态是则称平衡状态是渐进稳定渐进稳定的。的。3.大范围（渐近）稳定大范围（渐近）稳定 定定义义：如如果果对对任任意意大大的的 ，系系统统总总是是稳稳定定的的，则则称称系系统统是是大大范范围围（渐渐进进）稳稳定定的的。如如果果系系统统总总是是渐渐进进稳稳定定的的，则则称称系系统统是是大大范范围围渐渐进进稳稳定定的。的。4.不稳定不稳定 定定义义：如如果果对对于于

6、某某一一实实数数 ，不不论论 取取多多小小，由由 内内出出发发的的轨轨迹迹，至至少少有有一一条条轨轨迹迹越越出出 ，则称平衡状态为，则称平衡状态为不稳定不稳定.上上述述定定义义对对于于离离散散系系统统也也是是适适用用的的，只只是是将连续时间将连续时间t理解为离散时间理解为离散时间k。注注意意:稳稳定定性性讨讨论论的的是是系系统统没没有有输输入入（包包括括参参考考输输入入和和扰扰动动）作作用用或或者者输输入入作作用用消消失失以以后后的的自自由由运运动动状状态态。所所以以，通通常常通通过过分分析析系系统统的的零零输输入入响响应应，或或者者脉脉冲冲响响应应来来分分析析系系统统的的稳稳定定性。性。4.

7、1.4 线性定常连续系统的稳定性条件线性定常连续系统的稳定性条件 1.SISO线性定常连续系统稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 设描述设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为则系统的特征方程为:(4.5)设设特特征征方方程程(4.5)有有k个个实实根根 ，r对对共共轭轭复复根根 ，则系统的脉冲响应为，则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出：从上式可以看出：1）若若 ，均均为为负负实实部部，则则有有 ，因因此此，当所有特征根的实部都为负时，系统是当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定稳定的；的；2）若若 ，中中有有一一个个或或

8、者者几几个个为为正正，则则有有 ，因因此此，当当特特征征根根中中有有一一个个或或者者几几个个为为正正实实部部时，系统是时，系统是不稳定不稳定的；的；l3）若）若 中有一个或者几个为零中有一个或者几个为零,而其它而其它 ，均为负，则有均为负，则有 为常数。若为常数。若 中有一个中有一个或者几个为零，而其它或者几个为零，而其它 、均为负，则均为负，则y(t)y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定临界稳定的。

9、临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。界稳定在工程上是不稳定的。结结论论：线线性性定定常常连连续续系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，系系统统的的全全部部特特征征根根或或闭闭环环极极点点都都具具有有负负实部，或者说都位于复平面左半部。实部，或者说都位于复平面左半部。l 2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 描述描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：线性定常连续系统的状态方程为：（4.

10、7）设设A有有相相异异特特征征值值 ，则则存存在在非非奇奇异异线线性性变变换换 ，使，使 为对角矩阵，即为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:由于由于 ，所以，原状态方程的，所以，原状态方程的零输入解为零输入解为:(4.8)可见可见 (4.9)将上式展开将上式展开,的每个元素都是的每个元素都是 的线的线性组合，所以可写成矩阵多项式性组合，所以可写成矩阵多项式:所以所以 (4.10)从上式可见，当从上式可见，当A A的所有特征值位于的所有特征值位于复平面左复平面左半平面半平面，即，即 ，则对任意，则对任意x(0)x(0)，有，有 ，系统，系

11、统渐进稳定渐进稳定。只要有一只要有一个特征个特征值值的的实部大于零实部大于零，对对于于 ，系，系统统不稳定不稳定。当有特征值的当有特征值的实部等于零实部等于零，而，而其它特征值的其它特征值的实部小于零实部小于零，则随着时间的增加，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺李雅普诺夫意义下稳定夫意义下稳定的，或者称为的，或者称为临界稳定临界稳定的。的。当当A具具有有重重特特征征值值时时,x(t)含含有有 诸诸项，稳定性结论同上。项，稳定性结论同上。结结论论：MIMO线线性性定定常常连连续续系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，系系统统矩

12、矩阵阵A的的全全部部特特征征值值具具有有负负实实部部，或或者者说说都都位位于于复复平平面面左左半部半部。4.1.5 线性定常离散系统的稳线性定常离散系统的稳定性定性 1.SISO线性定常离散系统稳定性条件线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 ，则系统输出的则系统输出的Z变换为变换为：(4.11)现在讨论系统在现在讨论系统在单位脉冲序列离散信单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下的输出响应序列。作用下的输出响应序列。（1）有个互异的单极点有个互异的单极点 ，。Y(z)可以展成可以展成:相应的脉冲响应序列为相应的脉冲响应序列为:(4.1

13、2)如如果果所所有有的的极极点点在在单单位位圆圆内内,即即 ，则则 ，所以所以，系统是系统是渐近稳定渐近稳定的的。如如果果其其中中有有一一个个极极点点在在单单位位圆圆上上，设设 ，而而其其余余极极点点均均在在单单位位圆圆内内，则则 ，所所以以，系系统统是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，又又称称临临界稳定界稳定。如如 果果 有有 一一 个个 或或 一一 个个 以以 上上 的的 极极 点点 在在 单单 位位 圆圆 外外,则则 ，所以，系统是，所以，系统是不稳定不稳定的。的。（2）有一对共轭复数极点有一对共轭复数极点 对应这一对复数极点的脉冲响应序列是对应这一对复数极点的脉冲响应序列

14、是:由于特征方程是实系数，由于特征方程是实系数，所以，所以，必定是必定是共轭共轭的。的。设设 代入上式得代入上式得:(4.13)由由此此可可见见，该该对对复复数数极极点点若若在在单单位位圆圆内内（），系系统统是是渐渐近近稳稳定定的的；若若在在单单位位圆圆外外（），系系 统统 是是 不不 稳稳 定定 的的；在在 单单 位位 圆圆 上上（），系统是临界稳定的。），系统是临界稳定的。（3）含有重极点含有重极点 不失一般性，设含有两重极点不失一般性，设含有两重极点 ，则，则Y(z)可展可展开为开为:对应的脉冲响应序列为对应的脉冲响应序列为:(4.14)显显然然，若若重重极极点点在在单单位位圆圆内内，即

15、即 ，系系统统是是渐渐近近稳稳定定的的；重重极极点点在在单单位位圆圆外外,即即 ，系系统统是是不不稳稳定定的的；重重极极点点在在单单位位圆圆上上,即即 ，由式（由式（4.14）可得）可得:系统是系统是不稳定不稳定的。的。结结论论：线线性性定定常常离离散散系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数的的所所有有极极点点都都位位于于平平面面的的单单位位圆圆内内。2.MIMO线性定常离散系统稳定性条件线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的状态方程为设线性定常离散系统的状态方程为:(4.15)做非奇异线性变换做非奇异线性变换 ,式式(4.15)变换为变换

16、为:(4.16)（1）A有有n个互异的特征值个互异的特征值 ，总可以找到一个总可以找到一个非奇异阵非奇异阵P，使矩阵，使矩阵 化为化为对角型对角型，即，即 于是于是 (4.17)根据状态转移矩阵的定义，方程根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为的解为 (4.18)变换回原来的变量，有变换回原来的变量，有 (4.19)由式由式(4.19)看出：当看出：当 时，时，的充分必的充分必要条件是要条件是 ，。（2）特征值是特征方程的重根）特征值是特征方程的重根 不不失失一一般般性性，设设为为两两重重根根。经经非非奇奇异异线线性性变变换换可以化为下面的可以化为下面的约当型约当型：(4.20)状态方程状态方程(4.20)的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为:齐次方程齐次方程(4.20)的解为的解为:(4.21)显然，当显然，当 时，时，都趋于零的充分都趋于零的充分必要条件是必要条件是 。结论结论：线性定常离散系统稳定的充分必线性定常离散系统稳定的充分必要条件是要条件是:所有特征值全部在复平面的单所有特征值全部在复平面的单位圆内。位圆内。