第9章-压杆稳定分解.ppt

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1、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定1、压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念2、细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式3、不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数4、欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图5、实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数6、压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面实际的受压杆件 实际的受压杆件由于:1.其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.2.作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3.3.材料性质并非绝对均匀，4.因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此

2、引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。9-1 9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力；对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏(压溃)。对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研究。图a为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求Fd 关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即 M(x)=-F(e+d-w)，这样得到的挠曲线近

3、似微分方程EIz w=F(e+d-w)和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。(a)按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时偏心压力F 与最大侧向位移d 的关系曲线如图b所示。(b)由图可见虽然偶然偏心的程度不同(e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的Fd 关系曲线其特点与图b相同。抽象的细长中心受压直杆 由图b可知，当偶然偏心的偏心距e0时，细长压杆的F-d 关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的F-d 关系曲线将是折线OAB。由此引出了

4、关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当FFcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d0)，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说FFcr时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(critical force)。从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。失稳现象稳定状态失稳现象临界状态失稳现象不稳定状态压杆的截面

5、形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面，图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(Euler)公式。(a)9-2 9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。

6、杆的挠曲线近似微分方程为(b)(a)上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。令k2=Fcr/EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为(b)(c)此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和 x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F=Fcr时杆可在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于

7、是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到(c)(a)注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成为w 0而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0满足此条件的kl为或即 由于 意味着临界力Fcr 0，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解 klp 相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。由klp有亦即从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取klp，以此代入式(c)得注意到当x=l/2 时 w=d，故有 A=d。从而知，对应于k

8、lp，亦即对应于Fcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值，故不能说未知量A已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。(a)现在通过二个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。9-3 9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式公式压杆的长度因数压杆的长度因数 例题例题9-1 试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式

9、，并求压杆相应的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面，亦即杆最容易发生弯曲的平面。解：解：根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程则为并令 有此微分方程的通解为从而亦有 根据边界条件x=0，w=0得Ak=0；注意到 不会等于零，故知A0，从而有wBcoskx+d。再利用边界条件x=0，w=0得B=-d。于是此压杆的挠曲线方程成为至此仍未得到可以确定隐含Fcr的未知量k的条件。为此，利用 x=l 时 w=d 这一关系，从而得出从式(a)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中只能coskl=0。满足此条件的kl的最小值

10、为kl=p/2，亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：(b)亦即 以 kl=p/2 亦即 k=p/(2l)代入式(a)便得到此压杆对应于式(b)所示临界力的挠曲线方程：表表91 各种支承条件下细长压杆的临界力各种支承条件下细长压杆的临界力 Fcrl支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定，两端固定，但可沿纵向但可沿纵向相对移动相对移动一端固定一端固定一端自由一端自由两端固定，两端固定，但可沿横向但可沿横向相对移动相对移动失失稳稳时时挠挠曲曲线线形形状状临界力临界力长度系数长度系数lFcrl0.5lFcr=1=0.7=0.5=2=12llFcrFcr0.7ll

11、表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为m l 的两端铰支压杆的临界力。表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度m l。运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Im

12、in。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销.欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可

13、按scrFcr/A来计算，亦即9-4 9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图式中，scr称为临界应力；为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即 根据欧拉公式只可应用于scrsp的条件，由式(a)知该应用条件就是亦即或写作可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有 通常把llp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把llp的压杆，亦即不能应用

14、欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(llp)的scr-l曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，应用欧拉公式求临界力的最小柔度lp偏大一些。(4)小柔度压杆的临界力和临界应力表达式 小柔度压杆的挠曲线近似微分方程与大柔度压杆的 wM(x)/EI 完全一致，对不同杆端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：临界力临界应力Er：折减弹性模量折减弹性模量.压杆的临界应力总图 临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力scr随柔度l 变化的关系曲线。在llp的部分，有

15、欧拉公式scr p2E/l2表达scrl关系；但在压杆柔度l很小时，由于该理论存在的不足，计算所得scr可能会大于材料的屈服极限ss，故取scr ss。在llp的范围内可利用折减弹性模量理论公式scr p2Er/l2表达scrl关系；此外，该理论公式中有与截面形状相关的折减弹性模量Er，故l91，故按下式计算稳定因数：从而有许可压力：例题例题9-5 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数取为m1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力s=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横

16、截面上有4个直径为d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。解解：1.按稳定条件选择槽钢号码 为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A=18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j 是否不小于假设的j 0.5。注意到此组合截面对于z

17、轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合截面压杆的柔度：由表9-3查得，Q235钢b类截面中心压杆相应的稳定因数为j0.262。显然，前面假设的j0.5这个值过大，需重新假设j 值再来试算；重新假设的j 值大致上取以前面假设的j0.5和所得的j0.262的平均值为基础稍偏于所得j 的值。重新假设j0.35，于是有试选16号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：由表9-3得j=0.311，它略小于假设的j0.35。现按采用2根16号槽钢的组合截面柱而j0.311进行稳定性校核。此时稳

18、定许用应力为按横截面毛面积算得的工作应力为虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过1.5，这是允许的。2.计算钢柱两槽钢的合理间距 由于认为此钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的柔度ly=lz。根据 可知，也就是要求组合截面的惯性矩Iy=Iz。如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为亦即消去公因子2A0后有在选用16号槽钢的情况下，上式为由此求得 h81.4 mm。实际采用的间距h不应小于此值。3.按钢柱的净横截面积校核强度钢柱的净横截面积为按净面积算得的用于强度计算的工作应力为它小于强度许用应力s=170

19、 MPa，满足强度条件。例题例题9-6 机械中的工字形截面连杆，两端为柱形铰，从而该连杆如在xy平面内失稳，可取长度因数mz=1.0；如在xz平面内失稳，则可取my=0.6。已知：连杆由Q235钢锻造成型，它属于a类截面中心压杆。该连杆承受的最大轴向压力为F=35 kN，材料的强度许用应力s=206 MPa。试校核其稳定性。解：解：1.工字形截面面积A和形心主惯性矩Iz，Iyz2.横截面对z轴和对y轴的惯性半径iz，iy3.连杆的柔度连杆两端在局部为矩形截面，它的形心主惯性矩为分别比工字形截面的 Iz 和 Iy 大了15.5和126，Iy远大于Iy。这就表明两端的矩形截面部分对中间工字形截面部分在xz平面内的弯曲位移起到明显的约束作用，故在按工字形截面的Iy检算在xz平面内的稳定性时取l2=580 mm作为连杆的长度。于是有4.连杆的稳定性校核 按较大的柔度值ly68.9由Q235钢a类截面压杆的jl表(见教材308页表9-2)，以内插法求得从而得稳定许用应力：而连杆横截面上的工作应力为因s s st，故满足稳定性要求。