第10章傅立叶变换分析解析.ppt

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1、数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院第第1010章傅立叶变换章傅立叶变换10.1 10.1 引言引言是线性系统分析的有力工具。是线性系统分析的有力工具。是线性系统分析的有力工具。是线性系统分析的有力工具。线性系统具有因果性，线性系统具有因果性，t=0时输入脉冲，则时输入脉冲，则t0时必为时必为0。正变换：正变换：正变换：正变换：10.1.1 10.1.1 10.1.1 10.1.1 连续傅立叶变换连续傅立叶变换连续傅立叶变换连续傅立叶

2、变换反变换：反变换：反变换：反变换：幂的符号不同幂的符号不同幂的符号不同幂的符号不同变换是互逆的变换是互逆的变换是互逆的变换是互逆的1 1数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院变量替换：变量替换：u=t+js，du=dt，则：则：10.1.1.110.1.1.110.1.1.110.1.1.1例：高斯函数的傅立叶变换例：高斯函数的傅立叶变换例：高斯函数的傅立叶变换例：高斯函数的傅立叶变换2 2数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像

3、处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.1.210.1.210.1.210.1.2傅立叶变换的存在性傅立叶变换的存在性傅立叶变换的存在性傅立叶变换的存在性如果一个函数（连续的或是有限个不连续点的）如果一个函数（连续的或是有限个不连续点的）在（在（-,）绝对可积，则对）绝对可积，则对s的任何值，函数的傅立的任何值，函数的傅立叶变换都存在。叶变换都存在。常数的傅立叶变换是原点处的一个脉冲。常数的傅立叶变换是原点处的一个脉冲。3 3数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理D

4、igital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.1.310.1.310.1.310.1.3傅立叶级数展开傅立叶级数展开傅立叶级数展开傅立叶级数展开设设g(t)是一个是一个瞬时函数瞬时函数，在区间，在区间-T/2,T/2外的值外的值为零，也可以认为它是一个周期函数的一个周期。则为零，也可以认为它是一个周期函数的一个周期。则根据式对根据式对s离散化离散化得到得到系数序列系数序列：式中式中T为周期为周期 s=1/T上式的反变换：上式的反变换：反变换式表明，反变换式表明，将不同频率的正弦型曲线相加

5、，在区将不同频率的正弦型曲线相加，在区间内表示了间内表示了g(t)，其中其中系数系数Gn重建了这些正弦型曲线的重建了这些正弦型曲线的振幅振幅。4 4数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院定义函数定义函数f(t)的的傅立叶级数展开傅立叶级数展开傅立叶级数展开傅立叶级数展开为：为：其中：其中：5 5数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image Processing

6、DIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院将时间和频率都离散化。将时间和频率都离散化。10.1.410.1.410.1.410.1.4离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFTDFTDFTDFT）设设fi是长度为是长度为N的序列（如：对连续函数采用的序列（如：对连续函数采用等间隔采样）则等间隔采样）则DFT就是序列就是序列Fn。6 6数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院上述变换对每一点作上述变换

7、对每一点作N次，因此次，因此N个点需要个点需要N2次次乘法和加法，计算量太大。乘法和加法，计算量太大。FFT将操作降到将操作降到Nlog2N数量级。数量级。要求要求N可分解为一些较小整数的乘积，如可分解为一些较小整数的乘积，如N2p时时效率最高。效率最高。10.1.510.1.510.1.510.1.5快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFTFFTFFTFFT）7 7数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院1

8、0.1.610.1.610.1.610.1.6一些常用函数的傅立叶变换一些常用函数的傅立叶变换一些常用函数的傅立叶变换一些常用函数的傅立叶变换函数函数f(t)F(s)高斯高斯矩形脉冲矩形脉冲三角脉冲三角脉冲冲激冲激单位阶跃单位阶跃余弦余弦正弦正弦复指数复指数8 8数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.210.2傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质10.2.110.2.110.2.110.2.1对称性对称性对称性对称性非奇非偶函数可被分

9、成奇、偶两个组成部分：非奇非偶函数可被分成奇、偶两个组成部分：10.2.1.110.2.1.110.2.1.110.2.1.1奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性偶函数：偶函数：奇函数：奇函数：9 9数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院奇偶性对傅立叶变换的影响奇偶性对傅立叶变换的影响奇偶性对傅立叶变换的影响奇偶性对傅立叶变换的影响欧拉关系：欧拉关系：奇偶函数乘积的无限积分为奇偶函数乘积的无限积分为0傅立叶变换的对称性：傅立叶变换的对称性：傅立叶变

10、换的对称性：傅立叶变换的对称性：偶函数分量变换为偶函数分量，不引入系数；偶函数分量变换为偶函数分量，不引入系数；奇函数分量变换为奇函数分量，并引入奇函数分量变换为奇函数分量，并引入j系数。系数。1010数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.2.1.210.2.1.210.2.1.210.2.1.2实部和虚部实部和虚部实部和虚部实部和虚部实偶函数实偶函数实偶函数实偶函数实奇函数虚奇函数实奇函数虚奇函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数

11、虚奇函数实奇函数虚奇函数实奇函数实函数实函数f(t)虚函数虚函数jf(t)FTFT结论：结论：结论：结论：偶不变，偶不变，偶不变，偶不变，奇添奇添奇添奇添j j实函数的变换结果具有偶实部和奇虚部，实函数的变换结果具有偶实部和奇虚部，称为称为Hermite函数，该函数具有函数，该函数具有共扼对称共扼对称共扼对称共扼对称性质，性质，即即F F(s)s)=F F*(-(-s s)1111数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.2.210.

12、2.210.2.210.2.2加法定理加法定理加法定理加法定理1212数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.2.310.2.310.2.310.2.3位移定理位移定理位移定理位移定理函数的位移会在其傅立叶变换中引入函数的位移会在其傅立叶变换中引入复系数复系数虽虽幅值未变幅值未变，但，但相移变了相移变了（与频率和位移量（与频率和位移量a成正比）。成正比）。10.2.410.2.410.2.410.2.4卷积定理卷积定理卷积定理卷积定

13、理在空域中作不直观的、难懂的卷积，不如在另一在空域中作不直观的、难懂的卷积，不如在另一个域中作乘法。个域中作乘法。1313数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.2.510.2.510.2.510.2.5相似性定理相似性定理相似性定理相似性定理时空域窄频域宽时空域窄频域宽高斯函数：高斯函数：其中：为标准差其中：为标准差1414数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigita

14、l Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.2.610.2.610.2.610.2.6RayleighRayleighRayleighRayleigh定理定理定理定理就像电压的能量用功率（电压平方）来表示，就像电压的能量用功率（电压平方）来表示，定义定义函数的能量：函数的能量：上式说明，无论是在时域还是在频域，上式说明，无论是在时域还是在频域，函数的函数的能量是相等的。能量是相等的。（能量守恒定律）（能量守恒定律）（能量守恒定律）（能量守恒定律）对实偶函数：对实偶函数：1515数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital I

15、mage ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.3 10.3 线性系统和傅立叶变换线性系统和傅立叶变换10.3.1 10.3.1 10.3.1 10.3.1 线性系统术语线性系统术语线性系统术语线性系统术语输入信号输入信号f(t)输入信号的谱输入信号的谱F(s)输出信号输出信号h(t)输出信号的谱输出信号的谱H(s)冲激响应冲激响应g(t)传递函数传递函数G(s)1616数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image Proces

16、singDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院确定确定未知线性系统未知线性系统的冲激响应的冲激响应g(t)或传递函数或传递函数G(s)10.3.2 10.3.2 10.3.2 10.3.2 线性系统辨识线性系统辨识线性系统辨识线性系统辨识输入已知输入已知f(t)，测出输出量测出输出量h(t)，则则及及例：输入例：输入f(t)(t)，测得输出测得输出h(t)(t)，则冲激响则冲激响应应g(t)为为:1717数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中

17、国传媒大学信息工程学院1818数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院1919数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院傅立叶变换傅立叶变换可以被表示为可以被表示为两个两个两个两个分别以分别以正弦正弦正弦正弦和和余弦余弦余弦余弦为为核的变换核的变换之和之和之和之和。因而在。因而在FT中

18、，正弦和余弦会表现出特殊中，正弦和余弦会表现出特殊性质。性质。10.3.3 10.3.3 10.3.3 10.3.3 正弦型分解正弦型分解正弦型分解正弦型分解例：输入余弦函数例：输入余弦函数f(t)=cos(2 f0t)，f0 0，是实偶函数。是实偶函数。其冲激响应是实函数，包括奇、偶部，即其冲激响应是实函数，包括奇、偶部，即而传递函数是冲激响的傅立叶变换而传递函数是冲激响的傅立叶变换（实偶实偶实偶实偶实偶实偶实偶实偶，实奇虚奇实奇虚奇实奇虚奇实奇虚奇）当输入为当输入为实偶函数实偶函数，冲激响应，冲激响应g(t)为实奇函数为实奇函数，则传，则传递函数递函数G(s)为虚奇函数为虚奇函数。当输入的

19、。当输入的实偶脉冲对实偶脉冲对乘以乘以虚的奇虚的奇传递函数传递函数时，就被转化成时，就被转化成虚的奇冲激对虚的奇冲激对。此过程将输入。此过程将输入端的端的余弦函数余弦函数余弦函数余弦函数转化为输出端的转化为输出端的正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数，输出成为正弦，输出成为正弦函数的和。即：函数的和。即：偶输入函数偶输入函数偶输入函数偶输入函数*奇冲激响应奇输出函数奇冲激响应奇输出函数奇冲激响应奇输出函数奇冲激响应奇输出函数2020数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工

20、程学院中国传媒大学信息工程学院因此得到输出谱：因此得到输出谱：即输出信号：即输出信号：而余弦函数的谱是：而余弦函数的谱是：由于由于Hermite函数即是函数即是偶实部奇虚部偶实部奇虚部，因此，因此G(s)是是Hermite函数，且具有函数，且具有共扼对称共扼对称性质。即：性质。即：2121数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院式式可写为可写为其中：其中：由上可见，由上可见，冲激响应的奇、偶冲激响应的奇、偶与与传递函数的虚、传递函数的虚、

21、实实之间有着一定的联系。之间有着一定的联系。冲激响应的奇部在传递函数冲激响应的奇部在传递函数中引入一项虚奇部中引入一项虚奇部，因此会使输入的余弦产生一个正，因此会使输入的余弦产生一个正弦输出，并在输出端反映为相移。弦输出，并在输出端反映为相移。输出幅度取决于复输出幅度取决于复传递函数的模值的均方根传递函数的模值的均方根。2222数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院余弦函数余弦函数余弦函数余弦函数的傅立叶变换是的傅立叶变换是偶冲激对偶冲

22、激对偶冲激对偶冲激对时，时，正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数的傅立叶变换是的傅立叶变换是虚奇冲激对虚奇冲激对虚奇冲激对虚奇冲激对。对任意实函数，谱都是对任意实函数，谱都是Hermite函数，即函数，即F(s)F*(-s)，也就是说，实函数的谱有一半是冗余的，可被忽也就是说，实函数的谱有一半是冗余的，可被忽略。但为了分析方便，本书画出来的都是双边谱。略。但为了分析方便，本书画出来的都是双边谱。10.3.4 10.3.4 10.3.4 10.3.4 负频率负频率负频率负频率2323数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Ima

23、ge ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4 10.4 二维傅立叶变换二维傅立叶变换10.4.1 10.4.1 10.4.1 10.4.1 定义定义定义定义f(x,y)是图像，而是图像，而F(u,v)则是该图像的谱。则是该图像的谱。二维矩形脉冲的谱二维矩形脉冲的谱二维矩形脉冲二维矩形脉冲2424数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4.2 10.4.2 10.4.2 10.4.2 二维二

24、维二维二维DFTDFTDFTDFT可分离性：可分离性：在图像的行上计算在图像的行上计算在图像的行上计算在图像的行上计算DFTDFT结果数组在列上计算结果数组在列上计算结果数组在列上计算结果数组在列上计算DFTDFT2525数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4.3 10.4.3 10.4.3 10.4.3 矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示可见可见F是一个是一个NN的复系数核矩阵。的复系数核矩阵。GFgF，其中：其中：F为为酉矩阵

25、酉矩阵酉矩阵酉矩阵，即，即矩阵的逆是其复共轭的转置矩阵的逆是其复共轭的转置：F F-1-1(F(F*)T T。要得到酉矩阵的逆，只需简单地交换要得到酉矩阵的逆，只需简单地交换行和列的位置，并改变每个元素虚部的符号。由行和列的位置，并改变每个元素虚部的符号。由于于F是对称的，因此转置也可以省去。是对称的，因此转置也可以省去。2626数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4.4 10.4.4 10.4.4 10.4.4 二维傅立叶变换

26、的性质二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质加法定理加法定理相似定理相似定理位移定理位移定理卷积定理卷积定理可分离乘积可分离乘积微分微分旋转旋转拉普拉斯拉普拉斯Rayleigh定理定理（10.4.4.110.4.4.110.4.4.110.4.4.1）（10.4.4.310.4.4.310.4.4.310.4.4.3）（10.4.4.210.4.4.210.4.4.210.4.4.2）2727数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒

27、大学信息工程学院10.4.4.210.4.4.210.4.4.210.4.4.2相似性定理的推广相似性定理的推广相似性定理的推广相似性定理的推广其中：其中：2828数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4.4.410.4.4.410.4.4.410.4.4.4投影投影投影投影将二维函数将二维函数f(x,y)投影到投影到x轴上，得到一个一维函数轴上，得到一个一维函数则则p(x)的一维傅立叶变换为：的一维傅立叶变换为：因此：因此：f(

28、x,y)在在x轴上投影的变换轴上投影的变换F(u,v)在在u轴上的取值轴上的取值推论：推论：f(x,y)在与在与x轴成轴成 角的直线上投影的变换角的直线上投影的变换F(u,v)沿与沿与u轴成轴成 角的直线上的取值角的直线上的取值2929数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4.510.4.510.4.510.4.5圆对称和圆对称和圆对称和圆对称和HankelHankelHankelHankel变换变换变换变换主要应用于圆对称的冲激

29、响应和传递函数（略）。主要应用于圆对称的冲激响应和传递函数（略）。3030数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.4.510.4.510.4.510.4.5解释解释解释解释由图可见，由图可见，幅度幅度谱的结构稍规则些谱的结构稍规则些，而而相位谱则完全随机相位谱则完全随机（类似于白噪声）。（类似于白噪声）。然而如果忽略相位信然而如果忽略相位信息（相位设为零）直息（相位设为零）直接对幅度谱反变换来接对幅度谱反变换来重构图像，则什么也重构

30、图像，则什么也看不出来，相反，如看不出来，相反，如果忽略幅度谱（幅值果忽略幅度谱（幅值设为常数）而直接对设为常数）而直接对相位谱进行反变换，相位谱进行反变换，却可以辨认出原始图却可以辨认出原始图像的轮廓。像的轮廓。3131数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院3232数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学

31、院中国传媒大学信息工程学院The image at the top left has a corrugated effect due to a fault in the acquisition process.This can be removed by doing a 2-dimensional Fast-Fourier Transform on the image(top right),removing the bright spots(bottom left),and finally doing an inverse Fast Fourier Transform to return to

32、 the original image without the corrugated background(bottom right).3333数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.510.5相关和能量谱相关和能量谱10.5.110.5.110.5.110.5.1自相关自相关自相关自相关自卷积：自卷积：自相关函数：自相关函数：可见，自相关函数永远是偶函数，在可见，自相关函数永远是偶函数，在t=0处有极大值处有极大值每个函数都有唯一

33、的自相关函数，反之不确定。每个函数都有唯一的自相关函数，反之不确定。3434数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.5.210.5.210.5.210.5.2能量谱能量谱能量谱能量谱自相关函数的傅立叶变换称为自相关函数的傅立叶变换称为f(t)的能量谱密度，的能量谱密度，简称能量谱。简称能量谱。若若f(t)是实函数，其自相关函数是实偶函数，则是实函数，其自相关函数是实偶函数，则能量也是实偶函数。能量也是实偶函数。f(t)有唯一的能量谱

34、，但反之不确定。有唯一的能量谱，但反之不确定。3535数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.5.310.5.310.5.310.5.3互相关互相关互相关互相关互相关函数：互相关函数：互相关反映了两个函数在不同相对位置上互相匹互相关反映了两个函数在不同相对位置上互相匹配的程度。配的程度。互能量谱：互能量谱：3636数字图像处理数字图像处理数字图像处理数字图像处理Digital Image ProcessingDigital Image ProcessingDIP中国传媒大学信息工程学院中国传媒大学信息工程学院10.610.6FTFT性质总结性质总结3737