7.2复数的四则运算（精讲）.docx

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1、7.2复数的四则运算(精讲)思维导图设”=。+从，C2=r+di(o, b, c, dER)是任意两个现数，则L加减运算1 +公=(o +c)+(b+d)i；Z2=(a -c)+(b发数的乘法法则设n=a+bi, 2=c+di(a, b, c, dGR)是任意两个爱数,则g2=(+MXc+=麻一蝴+(“+幽L对任意爱数z】，Z2* zsC,有Z1Z1 =Z1Z1Z1Z1 =Z1Z1交换律结合律复数的四则运算乘法.乘法对加法的分配律首先按多项式的乘法展开.再将F换成-1. 思路然后再进行复数的加、减运算.设Nl=a+bi, G=c+di(a, b, c, dWR,且 c+diHO)是任意两个竟数

2、,口 a+bi ac+bd . bc-ad” .，一2公式喋-ET/+/ + /+/1 “)一首先将除式写为分五再将分子、分母同乘以分母的共枕复数.然后将分子、分母分别进行乘法运算，思路并将其化为复数的代数形式.竟数范围内实系数一元二次方程*+bx+c=O(a#O)的求根公式为复数求根-到0时,la典例精讲考点一复数的加就运算考点二复数的乘除运算考点三共施复数复数的四则运算考点四在复数内解方程考点五复数的综合运用考点一复数的加减运算【例1】（2022高一课时练习）已知i为虚数单位，计算下列各式.(l)(l + 2i) + (7-lli)-(5 + 6i)；(2)5i-L(6 + 8i)-(-l

3、 + 3i)J；1 3.+12 4(3)(| + i + 1(3)(3 ) I2.-13I 3 J- + -i2 4 Jt-46 12(4)( + Z?i) (2a 3Z?i) 3i(,Z? g R).7 S【答案】(1)3- 15i ：-7 ； (3);-亍i ； (4)-a + (4b-3)i.o 12【解析】(1)G + 2i) + (7-lli)-(5 + 6i) = (l + 7-5) + (2-li-6)i=3-15i;(2)5i-(6 + 8i)-(-l+3i) = 5i-(7 + 5i) = -7；(4)【一隅三反】1. （2022广东湛江）计算:（l）（5-3i）+（7-5i

4、）-4i；(3)(5)(4+ 3/)+ (5 + 7/)；(3 + 20 + (-3-2/)；(2)(-2-4i)-(-2 + i)+(l + 7i)；(4) (-5 + /)-(3-2/)；(6) (63/)(3/ 2).(a + bi)-(2a - 3bi)-3i =(a -2a) + |一(-36) 3=-a + (4Z?-3)i.(7)(8) (0.5+ 1.3/)-(1.2+ 0.7/)4-(1-0.4/)7 5【答案】(l)2-12i(2)l + 2i (3) 9 + 10/； (4) -8 + 3/： (5) 0； (6) 8. (7)(8) 0.3+0.2/.6 12【解析】(

5、5 3i) +(7 5i) 4i=(5 + 7) (3 + 5 + 4)i = 12:(-2-4i)-(-2 + i) + (l+7i) = (-2 + 2 +1)-(4 +l-7)i = l+2i(3)(4)(5)(6)(4 + 3i) + (5 + 7i) =(4 + 5) +(3i + 7i) =9 + 10/ (-5 + /)-(3-2/)=(-5-3) + (/ + 2/)=-8 + 3Z (34-204-(-3-2/) =(3-3)+(2/-2z) =0(6-3/)-(-3/-2) =(6+2)+(-3/+ 3/)=8(7)-i1 3.2 317 53 4)6 12(8)(0.5

6、+1.3/)-(1.2 + 0.7/)+ (1-0.4/) = (0.5-1.2+1) + (1.3-0.7-0.4)/ = 0.3 + 0.2/. 考点二复数的乘除运算(3) (l + 2i) i【例2-1（2022高课时练习）计算:(拒+ &i)3(4 + 5i)(5-4i)(l-i)(4)+ 73/2?【答案】（1）4（2）T应i【解析】盖【答案】（1）4（2）T应i【解析】盖(3)l + 2i(4)-l+i2 (l + 2Gi)i,/6.J(6)L = +5= -1 +，,l + 2V3i2【例2-2(2022高一课时练习)计算：i + i2+i2叫 (2)i-i2-i(1 + i)2

7、 T (& + 4)(6 + 同.6 # + 2i+3i-m+ (厨+( 一 _+ r产6 . i+2i2+3i3+. + 2 020i220+2 021021.【答案】(1)0(2) (3) 1010+101H【解析】原式=。+2+卜,)+。用7+少，+俨小叫产+巧=0(2)原式=(d.九4)丫/乙/).任。“刈、刈5俨6) = (t产=(3)原式= (i2 3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-lli+12)+(2017i 2018-2019i+2020)+2021i=505(2-2i)+2 021i= 1010+101 li.【一隅三反】I.(2022全国高一假期作业)设2

8、=(噌与4.，则Izl二.J3 +J21【答案】2石 【解析】由题意化简2 =绰与也=警普=产口=亚逑+更二至i，则忖=J（述逑 +（6且8应）；=而=2出,故答案为：2后 V 55. （2023高一课时练习）（石+后）；（右-后丫=.（其中i是虚数单位）【答案】24石i【解析】（石+后）一（石一后）=（6+ 6）-（6-扃北（6+后）2+（6 + /）（逐一后）+ （逐一后）2 =（2/3i）-（2 + 2洞+8+2-2洞）=（26）. 12 = 24.故答案为：24Gi2 （2023高一课时练习）计算.(l-4i)(l + i) + 2 + 4i3 + 4i【解析】（1）解法1：原式解法2

9、：原式=(1 + i)2 & + 后二肚 (0 + )ii(-x/3i-V2)-1 V2 + x/3i= -l + i(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)i2原式f 1 V3. 3=+ 1 4 24卜 5-3i + 2 + 4i 7 + i(7 + i)(3-4i) 25-25i ,原式=-tt.= T-7-=八八 八=1 - 1 .3 + 413 + 41 (3 + 41)(3-41)25原式 _(1 + 8(1)6 (疔+。-疔(2i)(-绅 _8i + 8i_0 (l-i)(l + i)222原式甘+ (-1).-26+ i =2后)J3i m r V2 Y_ pf _ t

10、(4-8i) (2023全国高一专题练习)在复平面内，复数T匚(i为虚数单位)的共扰复数对应的点位于1-1(?).A.第一象限；B.第二象限； C.第三象限； D.第四象限.【答案】D1 l + i l + i 1 1 . i【解析】J-=(l_i)(1 + i)=V=2 + 21所以其共轲复数为万一字，它在复平面所对应的点坐标为 (：，-；)，位于第四象限.故选：D. (2022春辽宁沈阳高一沈阳市第四十中学校考阶段练习)已知复数z满足i.z = l + i,其中i为虚数单 位，则z的共扼复数为.【答案】l + i【解析】由于iz = l+i,所以iz(-i) = (l + i)(-i),z

11、 = Ji,所以 = i + i.故答案为：l + i考点四在复数内解方程【例4-1(2022.全国高一专题练习)已知l + i是关于x的方程V-依+2 = 0的根，则实数.【答案】2【解析】因为l + i是关于x的方程/-衣+2 = 0的根，所以l-i也是方程/-分+ 2 = 0的根，所以(l + i) + (l-i) = a,得a = 2,故答案为：2【例4-2】(2022春上海浦东新高一校考期末)已知关于x的实系数一元二次方程W+日+3 = 0有两个虚 根阳和乙，且、一9| = 2及，则k的值为(?)A. 2B. -2C. 2D. 2石-(-4 + 8i)2 +2后(1+2后)0一2后)

12、- 13 f J+i)-， Jn-V7i =考点三共挽复数【例3】(2022春吉林长春高一校考期中)已知复数z = -3 + 2i,则三的共胡复数为.1 + 1【答案】彳一/【解析】因为z = -3+2i,所以三=f，所以三的共腕复数为-:一点l + i l + i (l + i)(l-i)21 + 12 2故答案为： 2 2【一隅三反】I. (2022.高一单元测试)已知i为虚数单位，复数二的共枕复数为(?) 1-2A. i+2B. -2-iC. i-2D. 2-i【答案】C55(i + 2) 八.【解析】因为一?” ：、/，二一2-1,共规复数为i2.故选：C.【答案】C【解析】因为方程/

13、 +如+ 3 = 0仃两个虚根4和x?,所以 D二犬 4? 3 0.则一 26v%v2G，又由求根公式知两虚根为上半三亘，国-百=2a,所以|内一到=卜12-后| = 2夜,则正二F = 2Q，解得& = 2,满足要求，所以攵=2.故选：C.【例4-3(2022高一课时练习)在复数范围内分解因式：(DF+6/+9； (2)%4-2x Z+4=4 + 9i+4-9i = 8. z1 -Zj =(4 + 9i)(4-9i) = 97以为和z2为根的实系数一元二次方程可以为x2 -8x + 97 = 0 .3. (2022春.江西上饶高一校联考期末)已知复数z =-/-2+(?-2)i(?eR),其

14、中i为虚数单位.(1)若z是纯虚数，求实数，的值；若帆=3, z是关于x的实系数方程+办+武。的一个更数根，求实数的值.【答案】?=一1；a+b = 9【解析】因为复数z = 4m-2+(时2)i=(m+购-2)+(加-2)i(mwR)是纯虚数,w + l)(/n-2) = 0,一 2 w 0,当， =3时，z = (?+D(L2) + (L2)i=4 + i因为z是关于工的实系数方程/+6一人二。的一个复数根，所以z的共挽复数5=4-i也是实系数方程f+ar+A =()的根，所以(4 + i) +(4-i) = -a , (4 + i)x(4-i) = /?,解得：a = -S, b = 1

15、7 ,故a + Z = 9. 考点五复数的综合运用【例5-1(2022春山东临沂高一统考期末)(多选)已知复数：满足(i-l)z = 2i,则(？?？)A. |z| = V2B. z 的虚部为iC. z的共加复数为= _i + iD. z是方程/一2工+2 = 0的一个根【答案】AD-8.【答案】(x-75/(x+后-(x+ &i)(x-&i)(x+2)(x-2)【解析】(1)由于(4+6)一后)=犬+3,所以/+6%2+9 = (丁+3)2 =*gi)2(x+Gi)2.(2)由于(x + &i)(x-0i) = / +2 ,所以 V -2x2 -8 = (x2 +2)(x2 -4)= (x

16、+ V2i)(x-/2i)(x+2)(x-2).【一隅三反】(2022春福建泉州高一校考阶段练习)已知2i-3是关于x的方程f+6x + q = 0qwR)的一个根，则 该方程的另一个根为.【答案】-3-2i【解析】2i-3是关于x的方程/+6x + q = 0(qeR)的一个根，设该方程的另一个根为4,可得勺+(方-3) = -6,解得毛=-3-2i.故答案为：-3-2i.1. (2022春江苏南京高南京市中华中学校考期末)已知4,z?是实系数元二次方程的两个虚数根， 且马，z2 满足方程 2zl+(l-i)z2=3 + 5i.求Z1和Z?.(2)写出一个以4和z,为根的实系数一元二次方程.

17、【答案】(l)4=4 + 9i, =4-91(2)-8x+97 = 0 (答案不唯一)【解析】(1)因为卬Z2是实系数-元二次方程的两个虚数根,则卬Z?互为共规复数, 设4=a+i, z2 =a-b ,代入24+(1 -i”？ =3 + 5i 中，得% + 2Zi+(l。(一加)= 3 + 5i,a = 4,/.z, =4 + 9i , z, =4-9i ；b = 3【解析】(1)因为卬Z2是实系数-元二次方程的两个虚数根,则卬Z?互为共规复数, 设4=a+i, z2 =a-b ,代入24+(1 -i”？ =3 + 5i 中，得% + 2Zi+(l。(一加)= 3 + 5i,a = 4,/.z

18、, =4 + 9i , z, =4-9i ；b = 3整理得3a - 0 + S a)i=3 + 5i , /.3a-b = 3b-a = 5，解得所以(解得:【解析】因为（i-l）z = 2i,所以z;六=对A： |z| = +（T）2 =五,故选项A正确；对B： z的虚部为-1,故选项B错误；对C z的共加复数为W = i，故选项C错误；对D：因为方程f-2天+2 = 0的根为2士而二,2所以z是方程丁 -2x+2 = 0的一个根，故选项D正确.故选：AD.【例5-2（2022春上海闵行高一闵行中学校考阶段练习）已知?z?为复数，有以下四个命题，其中真 命题的序号是（）若41,则74/1；

19、若4 = 4 ,则4 w R ；若+闫=0,则Z=Z2=0;若马+Z2是虚数,则卬Z?都是虚数.A.B.C.D.【答案】C【解析】4/2为复数,若匕|1,因为4没有大小（虚部为0,即为实数时除外），故-是错误的，若 Z=Z,设 Z| =a + bi（a,Ze R）,则 Z=。一万（/?eR）,由 Z=Z,得 =0,所以4eR,正确， 若+同=0,则4=4=0,正确,若Z+Z2是虚数，马,马不一定都是虚数，比如Z|=l-3i,Z2=T,而4+Z2是虚数,故错误, 故正确， 故选：C.【一隅三反】（2022春广东广州高一校联考期中）（多选）己知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是 （999999

20、9）A.B.复数一2-i的虚部为-iC.若复数z为纯虚数，则，=z?D.若z为复数，则zS为实数【答案】AD【解析】A： （，=。2）5=（-1）5=-1,故 A 正确；B：对于更数-2-i的虚部为-1,故B错误：C：由复数z为纯虚数，设z = i（eR/工。），则|z=b） z?=（历）2=一万,所以，工Z2,故C错误;D：设复数z = a+历（。2w R ）,则一加，所以zN = /-（历）2 =/+/wR ,故D正确.故选：AD（2022高一单元测试）（多选）下列关于复数2pz2的命题中,正确的是（?）A.若匕一Z2|=0,则 Z=Z2B.若 Z1=Z?,则 Z=Z2C.若=优|,则4.

21、马二马七D.若=忆|,则Z： = Z2?【答案】ABC【解析】对于A：因为匕=2|=0,则422=0,则4 =72,所以云=云，故A正确；对于B：若Z1 = Z2 ,则4 = 4 ,故B正确；对于 C：令 Z=a + i, z2 =c +（h , a,b,c,d gR ,由=|,所以。2+从=/+/,所以 4 =一历，则为 z =( + bi(a-/?i) = 2+/,同理可得 z2-z2 =c?+/，所以Z1 4 =4马，故C正确；对于D：令z)=i, z2 =1,则=d=1,但是z；=-l、z22 =1,所以zwz2,故D错误：故选：ABC(2023高一课时练习)已知复平面内平行四边形48

22、CQ, A点对应的更数为2 + i,向量网对应的复数 为l + 2i,向量3C对应的复数为3-i,求：(1)点。对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积.【答案】(1)5(2)7【解析】(1)二向量助对应的复数为l + 2i、所以向量84 = (1,2),BC对应的复数为3-i,所以向量次: = (3,-1),BD=BA + BC = (1,2) + (3,-1) =(4,1),OB = 6M-BA =(2,1)-(1,2) =(!,-!),.8 = 08+80 = (1,7) + (4) = (5,0),点。对应的复数为5 .(2) BA BC =|ll BC|cos,.,cos/,= 3-2 =J,18Ali8cl x/5xV10 5V2B g0,可,sin B =7/. 5 =| BA | C|sin = x/5xVi()x故平行四边形ABC。面积为7.(4)(M_ +(12i)_; (5)1-i1+i-2G + i (正广 +(4-8i)、(_4 + 8i)2l + 2&i l + i)VTT-/7i【答案】(l)-l + i(2)-且i(3)li(4)0(5)2i