2023年高考数学之平面向量专题突破专题九 平面向量的奔驰定理含解析.docx

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1、2023年高考数学之平面向量专题突破2023年高考数学之平面向量专题突破专题九平面向量的奔驰定理1奔驰定理如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCSPACSPAB0证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，即，SPBCSPACSPAB0由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一推论：已知P为ABC内一点，且xyz0(x，y，zR，xyz0，xyz0)则有(1)SPBCSPACSPAB|x|y|z|(2)|，|，|【例题选讲】例

2、1(1)设点O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为()A3BC2D答案A解析分别取AC、BC的中点D、 E，230，2()，即24，O是DE的一个三等分点，3秒杀根据奔驰定理得，SABCSAOC(123)23(2)在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且，则等于()ABCD答案B解析如图，由点D在ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有SABDSABC，SACDSABC，SBCDSABCSABC，所以秒杀由得，230，根据奔驰定理得，SBCDSABD13(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，则SABCSPBC等于()A143B194C245D

3、296答案B解析由，得()，整理得，由，得()，整理得，整理得4690，根据奔驰定理得，SABCSPBC(469)4194(4)已知点P，Q在ABC内，232350，则等于()ABCD答案A解析根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123，SQBCSQACSQAB235，SPABSQABSABC，PQAB，又SPBCSABC，SQBCSABC，(5)点O为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设，则实数和的值分别为()A，B，C，D，答案A解析秒杀根据奔驰定理，得3240，即32()4()0，整理得，故选A(6)设点P在ABC内且为ABC的外心，BAC30，如图若PBC，PCA，P

4、AB的面积分别为，x，y，则xy的最大值是_答案解析根据奔驰定理得，xy0，即2x2y，平方得24x224y228xy| |cosBPC，又因为点P是ABC的外心，所以|，且BPC2BAC60，所以x2y2xy，(xy)2xy2，解得0xy，当且仅当xy时取等号所以(xy)max【对点训练】1设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_2设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_3已知P，Q为ABC中不同的两点，且320，0，则SPABSQAB为_4已知D为ABC的边AB的中点，M在DC上满足53，则ABM与ABC的面积比为()ABCD5若

5、M是ABC内一点，且满足4，则ABM与ACM的面积之比为()ABCD26已知O是面积为4的ABC内部一点，且有20，则AOC的面积为_7已知点D为ABC所在平面上一点，且满足，若ACD的面积为1，则ABD的面积为_8已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，实数x，y满足xy0，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记1，2，3，则23取最大值时，3xy的值为()ABC1 D2专题九平面向量的奔驰定理1奔驰定理如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCSPACSPAB0证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，即，SPBCSPACSPAB0由于这个定理对应的

6、图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一推论：已知P为ABC内一点，且xyz0(x，y，zR，xyz0，xyz0)则有(1)SPBCSPACSPAB|x|y|z|(2)|，|，|【例题选讲】例1(1)设点O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为()A3BC2D答案A解析分别取AC、BC的中点D、 E，230，2()，即24，O是DE的一个三等分点，3秒杀根据奔驰定理得，SABCSAOC(123)23(2)在ABC中，D

7、为ABC所在平面内一点，且，则等于()ABCD答案B解析如图，由点D在ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有SABDSABC，SACDSABC，SBCDSABCSABC，所以秒杀由得，230，根据奔驰定理得，SBCDSABD13(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，则SABCSPBC等于()A143B194C245D296答案B解析由，得()，整理得，由，得()，整理得，整理得4690，根据奔驰定理得，SABCSPBC(469)4194(4)已知点P，Q在ABC内，232350，则等于()ABCD答案A解析根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123，SQBCSQ

8、ACSQAB235，SPABSQABSABC，PQAB，又SPBCSABC，SQBCSABC，(5)点O为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设，则实数和的值分别为()A，B，C，D，答案A解析秒杀根据奔驰定理，得3240，即32()4()0，整理得，故选A(6)设点P在ABC内且为ABC的外心，BAC30，如图若PBC，PCA，PAB的面积分别为，x，y，则xy的最大值是_答案解析根据奔驰定理得，xy0，即2x2y，平方得24x224y228xy| |cosBPC，又因为点P是ABC的外心，所以|，且BPC2BAC60，所以x2y2xy，(xy)2xy2，解得0xy，当且仅当xy

9、时取等号所以(xy)max【对点训练】1设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_1答案解析设D为AC的中点，连接OD，则2又2，所以，即O为BD的中点，从而容易得AOB与AOC的面积之比为秒杀由2，得20，根据奔驰定理得，AOB与AOC的面积之比为2设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为_2答案4解析D为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点又D为AB的中点，SAOCSADCSABC，则4秒杀因为20，根据奔驰定理得，43已知P，Q为ABC中不同的两点，且320，0，则SPABSQAB为_3答案12解析因为322()0，所以P在与

10、BC平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得SPABSABC，0，可得Q是ABC的重心，因此SQABSABC，SPABSQAB12，故选A秒杀由320，0，根据奔驰定理得，SPABSABC16，SQABSABC1326，所以SPABSQAB12，故选A4已知D为ABC的边AB的中点，M在DC上满足53，则ABM与ABC的面积比为()ABCD4答案C解析因为D是AB的中点，所以2，因为53，所以2233，即23，所以5333，所以，设h1，h2分别是ABM，ABC的AB边上的高，所以秒杀由53，得30，根据奔驰定理得，5若M是ABC内一点，且满足4，则ABM与ACM的面积之比为()AB

11、CD25答案A解析设AC的中点为D，则2，于是24，从而2，即M为BD的中点，于是秒杀由4，得20，根据奔驰定理得，6已知O是面积为4的ABC内部一点，且有20，则AOC的面积为_6答案1解析如图，设AC中点为M，BC中点为N因为0，所以220，所以0，O为中位线MN的中点，所以SAOCSANCSABC41秒杀根据奔驰定理得，SOBCSOACSOAB112因为SABC4，所以SAOC17已知点D为ABC所在平面上一点，且满足，若ACD的面积为1，则ABD的面积为_7答案4解析由，得54，所以4()，即4所以点D在边BC上，且|4|，所以SABD4SACD4秒杀由，得840，根据奔驰定理得，SABDSACD41，所以SABD48已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，实数x，y满足xy0，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记1，2，3，则23取最大值时，3xy的值为()ABC1 D28答案D解析由题意可知1231因为P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，所以1，所以23，所以232，当且仅当23时，等号成立，所以23取最大值时，P为EF的中点延长AP交BC于M，则M为BC的中点，所以PAPM，所以()，又因为xy0，所以xy，所以3xy2故选D秒杀根据奔驰定理得，