2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题10 含参函数的极值、最值讨论含解析.docx

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1、2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题10含参函数的极值、最值讨论 考点一含参函数的极值【例题选讲】例1设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处的切线与直线yx1垂直，求切线方程(2)求函数f(x)的极值例2已知函数f(x)lnxax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数例3设f(x)xlnxax2(3a1)x(1)若g(x)f(x)在1，2上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围例4(2016山东)设f(x)xln xax2(2a1)x，aR(1)令g

2、(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围例5已知函数f(x)ex1，其中e2.718为自然对数的底数，常数a02023年高考数学专项练习(1)求函数f(x)在区间(0，)上的零点个数；(2)函数F(x)的导数F(x)f(x)，是否存在无数个a(1，4)，使得lna为函数F(x)的极大值点？请说明理由2023年高考数学专项练习【对点训练】1已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)令g(x)f(x)(ax1)，求函数g(x)的极值2设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex(1

3、)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围3已知函数f (x)x23x(1)若a4，讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有3个极值点，求实数a的取值范围4已知函数f(x)axx2ln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5ln2，求实数a的取值范围5(2018全国)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0时，f(x)0(2)若x0是f(x)的极大值点，求a考点二含参函数的最值【例题选讲】例1已知函数f(x)lnxax(

4、aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值例2已知函数f(x)ax2(12a)xln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0，求函数f (x)在区间m，2m上的最大值例4已知函数f(x)n，g(x)x2(m，n，aR)，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.2023年高考数学专项练习(1)求实数m，n的值及函数f(x)的最大值；(2)当a时，记函数g(x)的最小值为b，求b的取值范围2023年高考数学专项练习例5(2019全国)已知函数f(x)2x3ax2b(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使

5、得f(x)在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由2023年高考数学专项练习【对点训练】1已知函数g(x)alnxx2(a2)x(aR)(1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值；(2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a)2已知函数f(x)(xa)ex(aR)(1)当a2时，求函数f(x)的图象在x0处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间1，2上的最小值3已知函数f(x)axlnx，F(x)exax，其中x0，a0时，若f (x)在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围考点三含参函数的极值与最值的综合问题【例题选讲】例1已知函数f(x)，

6、其中a为正实数，x是f(x)的一个极值点2023年高考数学专项练习(1)求a的值；(2)当b时，求函数f(x)在b，)上的最小值例2已知函数f(x)aln (xb)(1)若a1，b0，求f(x)的最大值；(2)当b0时，讨论f(x)极值点的个数例3设函数f(x)axex(a1)(1)求证：f(x)有极值；(2)若xx0时f(x)取得极值，且对任意正整数a都有x0(m，n)，其中m，nZ，求nm的最小值2023年高考数学专项练习例4已知函数f(x)alnx(a0)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在1，e上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说

7、明理由2023年高考数学专项练习例5已知函数f (x)(ax1)ln x(1)若a2，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线l的方程；(2)设函数g(x)f (x)有两个极值点x1，x2，其中x1(0，e，求g(x1)g(x2)的最小值2023年高考数学专项练习例6已知函数g(x)xlnx(1)若函数g(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)函数f(x)g(x)mx，若f(x)存在单调递减区间，求实数m的取值范围；(3)设x1，x2(x1x2)是函数f(x)的两个极值点，若m，求f(x1)f(x2)的最小值2023年高考数学专项练习【对点训练】1已知函数f(x)xlnx(1)求函数f

8、(x)的极值点；(2)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函数g(x)在区间(0，e上的最小值(其中e为自然对数的底数)2023年高考数学专项练习2已知函数f(x)2023年高考数学专项练习(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值3已知函数f(x)alnxx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，e上的最小值h(a)4已知常数a0，f(x)aln x2x(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围5已知函数f(

9、x)asin xsin2x，aR(1)若f(x)在上有极值点，求a的取值范围；2023年高考数学专项练习(2)若a1，x时，f(x)bxcosx，求b的最大值2023年高考数学专项练习6已知函数f(x)lnxx2axa(aR)(1)若函数f(x)在(0，)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在xx1和xx2处取得极值，且x2x1(e为自然对数的底数)，求f(x2)f(x1)的最大值2023年高考数学专项练习专题10含参函数的极值、最值讨论 考点一含参函数的极值【例题选讲】例1设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处的切线与

10、直线yx1垂直，求切线方程(2)求函数f(x)的极值解析(1)由已知，得f(x)x(a1)(x0)，又由题意可知yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，2023年高考数学专项练习所以f(2)1，即2(a1)1，解得a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx22023年高考数学专项练习(2)f(x)x(a1)(x0)2023年高考数学专项练习当0a1时，若x(0，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(a，1)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x(1，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a

11、)a2aln a，极小值是f(1)2023年高考数学专项练习当a1时，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，2023年高考数学专项练习此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0，1)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x(a，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增2023年高考数学专项练习此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a2023年高考数学专项练习综上，当0a1时，f(x)的极大值是a2aln a，极小值是；当a1时，f(x)没有

12、极值；当a1时f(x)的极大值是，极小值是a2aln a2023年高考数学专项练习例2已知函数f(x)lnxax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解析(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，2023年高考数学专项练习令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a2023年高考数学专项练习当a0时，f(x)0在(0，)上恒

13、成立，则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x，则f(x)0，2023年高考数学专项练习若x，则f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x2023年高考数学专项练习例3设f(x)xlnxax2(3a1)x(1)若g(x)f(x)在1，2上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解析(1)由f(x)lnx3ax3a，即g(x)ln x3ax3a，x(0，)，g(x)3a，2023年高考数学专项练习g(x)在1，2上单调递增，3a0对x1，2恒成立，即a对x1，2恒成立，得a；2023年高考数学专项练习g(x)在1，2上单调递

14、减，3a0对x1，2恒成立，即a对x1，2恒成立，得a，2023年高考数学专项练习由可得a的取值范围为2023年高考数学专项练习(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；当0a1，又f(x)在上单调递增，x(0，1)时，f(x)0，2023年高考数学专项练习f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；2023年高考数学专项练习当a时，1，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，2023年高考数学专项练习x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递

15、减，不合题意；当a时，00，f(x)单调递增，2023年高考数学专项练习当x(1，)时，f(x)02023年高考数学专项练习(1)求函数f(x)在区间(0，)上的零点个数；(2)函数F(x)的导数F(x)f(x)，是否存在无数个a(1，4)，使得lna为函数F(x)的极大值点？请说明理由2023年高考数学专项练习解析(1)f(x)ex，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增，2023年高考数学专项练习所以当x(0，)时，f(x)minf，因为ff(0)0，2023年高考数学专项练习所以存在x0，使f(x0)0，且当0xx0时，f(x)x0时，f(x)02023年高考数学专项练习故函

16、数f(x)在(0，)上有1个零点，即x0(2)方法一当a1时，ln a0因为当x时，exa02023年高考数学专项练习由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0下面证：当a时，ln ax0，即证f0，所以g(x)在上单调递增，2023年高考数学专项练习由g(1)0，所以存在唯一零点t0，使得g0，2023年高考数学专项练习且x时，g(x)0，g(x)单调递增2023年高考数学专项练习所以当x时，g(x)max由g(1)0，g(e)0，2023年高考数学专项练习得当x时，g(x)0故f0，0ln ax0当0xln a时，exa0，f(x)0，F(x)单调递增；当ln ax0，f(x)0，2023

17、年高考数学专项练习F(x)f(x)0，F(x)单调递减所以存在a(1，4)，使得ln a为F(x)的极大值点2023年高考数学专项练习方法二因为当x时，exa02023年高考数学专项练习由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0所以存在无数个a(1，4)，使得ln a为函数F(x)的极大值点，即存在无数个a(1，4)，使得ln ax0成立，由(1)，问题等价于存在无数个a(1，4)，使得f0，所以g(x)在上单调递增，因为gln0，2023年高考数学专项练习所以存在唯一零点t0，使得g0，2023年高考数学专项练习且当x时，g(x)0，g(x)单调递增；2023年高考数学专项练习所以当x时，g

18、(x)mingt0ln t0t01，2023年高考数学专项练习由g0，可得ln t0，代入式可得g(x)mingt01，2023年高考数学专项练习当t0时，gt010，2023年高考数学专项练习所以必存在x，使得g(x)0，即对任意a，f0，g(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，函数g(x)无极值点当a0时，g(x)，令g(x)0得x.2023年高考数学专项练习当x时，g(x)0；当x时，g(x)0时，函数g(x)有极大值ln a，无极小值2设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的

19、取值范围2解析(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2exf(1)(1a)e2023年高考数学专项练习由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1此时f(1)3e0所以a的值为1(2)f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex若a，则当x时，f(x)0所以f(x)在x2处取得极小值2023年高考数学专项练习若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10，所以2不是f(x)的极小值点2023年高考数学专项练习综上可知，a的取值范围是2023年高考数学专项练习3已知函数f (x)x23x(1)若a4，讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有3

20、个极值点，求实数a的取值范围3解析(1)因为a4时，f (x)x23x，所以f (x)2x3(x0)，2023年高考数学专项练习令f (x)0，得x2；令f (x)0，得x0或0x0，得x1或x0；由g(x)0，得0x0，得a0，2023年高考数学专项练习当a0时，0，g()2()33(a)a2a(1)0，2023年高考数学专项练习故a0时，g(x)在(，0)上有唯一零点；令g(1)1a1，故1a0时，g(x)在(0，1)上有唯一零点；又1a0，所以g(x)在(1，)上有唯一零点综上可知，实数a的取值范围是(1，0)4已知函数f(x)axx2ln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2

21、)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5ln2，求实数a的取值范围4解析(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)a2x2x2，2023年高考数学专项练习当a2时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a2时，f(x)a2x2023年高考数学专项练习由f(x)0得x1，x2且x2x102023年高考数学专项练习由f(x)0得x1xx2，由f(x)0得0xx1，或xx2，函数f(x)的单调递增区间为，2023年高考数学专项练习单调递减区间为，2023年高考数学专项练习综上所述，当a2时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间；2023年高考数学专项练习当a2时，函数f(

22、x)的单调递减区间为，2023年高考数学专项练习单调递增区间为2023年高考数学专项练习(2)由(1)知，当f(x)存在极值时，a2即方程2x2ax10有两个不相等的正根x1，x2，2023年高考数学专项练习2023年高考数学专项练习f(x1)f(x2)a(x1x2)(xx)(ln x1ln x2)2023年高考数学专项练习a(x1x2)ln(x1x2)1ln 1ln 2023年高考数学专项练习依题意1ln5ln 2，即a216，a4或a42023年高考数学专项练习又a2a4，即实数a的取值范围是(4，)5(2018全国)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x(1)若a0，证明：当1x

23、0时，f(x)0时，f(x)0(2)若x0是f(x)的极大值点，求a5解析(1)证明：当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).2023年高考数学专项练习设函数g(x)f(x)ln (1x)，则g(x).2023年高考数学专项练习当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0故当x1时，g(x)g(0)0，2023年高考数学专项练习且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0.所以f(x)在(1，)单调递增又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.2023年高考数学专项练习(2)()若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)l

24、n (1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾2023年高考数学专项练习()若a0，设函数h(x)ln(1x).2023年高考数学专项练习由于当|x|min1，时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同2023年高考数学专项练习又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x).2023年高考数学专项练习如果6a10，则当0x，且|x|min1，时，h(x)0，故x0不是h(x)的极大值点2023年高考数学专项练习如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1，0)，且|x|min1，时，h(x)0，所以x0不是h(x)

25、的极大值点2023年高考数学专项练习如果6a10，则h(x)，2023年高考数学专项练习则当x(1，0)时，h(x)0；当x(0，1)时，h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点综上，a考点二含参函数的最值【例题选讲】例1已知函数f(x)lnxax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值解析(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)2023年高考数学专项练习当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，2023年高考数学专项练习故函数f(x)

26、的单调递增区间为，单调递减区间为2023年高考数学专项练习综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为2023年高考数学专项练习(2)当01，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a2023年高考数学专项练习当2，即0a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a2023年高考数学专项练习当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数2023年高考数学专项练习又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；2023年高考

27、数学专项练习当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln22a2023年高考数学专项练习例2已知函数f(x)ax2(12a)xln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0，x0，所以2ax10，令f(x)0，得x1，所以f(x)的单调递增区间为(1，)2023年高考数学专项练习(2)当a1，即a0时，f(x)在(0,1上是减函数，所以f(x)在上的最小值为f(1)1a.2023年高考数学专项练习当1，即1a时，f(x)在上是减函数，在上是增函数，2023年高考数

28、学专项练习所以f(x)在上的最小值为f1ln(2a)2023年高考数学专项练习当，即a0，求函数f (x)在区间m，2m上的最大值解析(1)因为函数f (x)的定义域为(0，)，且f(x)，由得0xe所以函数f (x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)，2023年高考数学专项练习且f (x)极大值f (e)1，无极小值(2)当即0m时，函数f (x)在区间m，2m上单调递增，所以f (x)maxf (2m)1；2023年高考数学专项练习当me2m，即me时，函数f (x)在区间(m，e)上单调递增，在(e，2m)上单调递减，2023年高考数学专项练习所以f (x)maxf (e

29、)11；2023年高考数学专项练习当me时，函数f (x)在区间m，2m上单调递减，所以f (x)maxf (m)12023年高考数学专项练习综上所述，当0m时，f (x)max1；当me时，f (x)max1；当me时，f (x)max12023年高考数学专项练习例4已知函数f(x)n，g(x)x2(m，n，aR)，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.2023年高考数学专项练习(1)求实数m，n的值及函数f(x)的最大值；(2)当a时，记函数g(x)的最小值为b，求b的取值范围2023年高考数学专项练习解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，2023年高考数学

30、专项练习因为f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，所以解得2023年高考数学专项练习所以f(x)，f(x)，令f(x)0，得xe，2023年高考数学专项练习当0x0，f(x)单调递增；当xe时，f(x)0得x1，由g(x)0得0x1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)的最小值bg(1)1.当a(e，0)时，由(1)知方程a0有唯一实根，又fe，f(1)0，f(x)在上单调递增，所以存在t，使得g(t)0，即ln tat.2023年高考数学专项练习当x(0，t)时，g(x)0，所以g(x)在(0，t)上单调递减，在(t，)上单调递增，g(x)的最小

31、值bg(t)tln tt2tt，令h(t)t，t，2023年高考数学专项练习则h(t)0，所以h(t)在上单调递减，从而bh(t).2023年高考数学专项练习综上所述，当a(e，0时，b；当a时，b不存在2023年高考数学专项练习例5(2019全国)已知函数f(x)2x3ax2b(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由2023年高考数学专项练习解析(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x若a0，则当x(，0)时，f(x)0；2023年高考数学专项练习当x时，f(x)0故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减2023年高考数学专项练习若a0，f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(0，)时，f(x)0；2023年高考数学专项练习当x时，f(x)0故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减2023年